2024年河北省石家庄市裕华区中考数学模拟试题（解析版）

这是一份2024年河北省石家庄市裕华区中考数学模拟试题（解析版），共31页。试卷主要包含了 计算的结果正确的是， 下列关于的叙述，错误的是， 下列命题正确的是， 某微生物的直径为，则原数为等内容，欢迎下载使用。

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法的运算法则求解即可．
详解】原式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（ ）
A. 90°B. 95°C. 105°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题．
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
3. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平角为180度，直角为90度，计算角度差即可；
【详解】解：∵，，，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查了平角，直角，角度的计算；掌握相关概念是解题关键．
4. 下列关于的叙述，错误的是（ ）
A. 的次数是1B. 表示a的4倍与2的和
C. 多项式D. 可因式分解为
【答案】D
【解析】
【分析】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．
【详解】解：A.的次数是1，故答案正确；
B .表示a的4倍与2的和，故答案正确；
C. 是多项式，故答案正确；
D. 进行因式分解为：，故答案错误；
故选D．
【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键．
5. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
6. 一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【详解】解:如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以都是等边三角形．
所以

所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15；
故选C．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 有公共顶点且相等的两个角是对顶角B. 两条平行线间的距离处处相等
C. 同位角相等D. 有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】利用对顶角的定义、平行线间的距离的定义、平行线的性质及垂直的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，故有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，选项A错误，不符合题意；
B、两条平行线间的距离处处相等，正确，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线间的距离的定义、平行线的性质及垂直的定义等知识，难度不大．
8. 某微生物的直径为，则原数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
9. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长是（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=3，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD=，
∵OE=CE，
∴∠EOC=∠ECO，
∵∠EOC+∠EOD =∠ECO+∠EDO=90，
∴∠EOD =∠EDO，
∴OE=ED，
∴OE=ED=CE，
∴OE=CD=．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
10. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（ ）
A. 勒洛三角形是轴对称图形
B. 图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等
C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等
D. 图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 勒洛三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.
【详解】勒洛三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点A到上任意一点的距离都是DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离不一定相等，到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；
勒洛三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
【点睛】主要考查了轴对称图形，弧长的求法以及对于新概念的理解．
11. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对选项逐个进行计算即可判断．
【详解】A．，此选项正确，不符合题意；
B．，此选项正确，不符合题意；
C．，此选项正确，不符合题意；
D．，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、负整数指数幂及实数的运算，熟练掌握它们的运算法则是解答的关键．
12. 在锐角中，在边上求作一点，使得是等腰直角三角形，如图所示作图痕迹中不符合要求的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本作图，根据各选项中的作图痕迹确定是否为或是否为进行判断即可．
【详解】A．由作图得点为的垂直平分线与的交点，则，所以，所以是等腰直角三角形，所以A选项不符合题意；
B．由作图得点为的平分线与的交点，则，所以是不是等腰直角三角形，所以B选项符合题意；
C．由作图得点为以为直径的圆与的交点，则，所以是等腰直角三角形，所以C选项不符合题意；
D．由作图得，所以是等腰直角三角形，所以D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，圆周角定理的推论．
13. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设小菱形的边长为a，连接，利用菱形的性质判断，利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质求出、的长度，最后利用正切定义求解即可．
【详解】解：连接，
∵图是由全等的含角的小菱形组成的网格，
∴平分，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴
∴，
设小菱形的边长为a，
则，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
15. 如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形可得线段的中点在直尺处，再求出直尺中一厘米代表的单位长度个数，即可解答．
【详解】解：∵点A，B分别在直尺的，处，，
∴线段中点在直尺处，
∵点A对应，直尺0刻度位置对应，
∴直尺中一厘米是数轴上个单位长度．
∴点A与中点距离为个单位长度，
∵．
∴线段中点对应的数为4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的定义，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求法，以及将线段平均分成两段的点是线段的中点．
16. 某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解．
【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为，
由点在该函数图象上，得，解得．
所以，．可得点，．
由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数．
因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分． 17小题2分，18~19小题各4分，每空2分． 把答案写在题中横线上）
17. “与的积”可以用含的式子表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式及写法，根据题意列出代数式即可，解题的关键是理解题意，列出代数式，同时理解在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“ ”或省略不写，数字与字母相乘时，数字写在字母前．
【详解】解：用含的式子表示为，
故答案为：．
18. 已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球．
（1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是___________；
（2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为___________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
（1）根据概率公式，用红球的个数除以总的球的个数，即可得到从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率；
（2）根据题意和题目中的数据，可以得到，然后计算即可．
【详解】解：（1）由题意可得，
从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是，
故答案为：；
（2）由题意可得，
，
解得，
故答案为：3．
19. 如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为，六边形的边长为．
（1）长为______；
（2）为圆上一点，则的最小值为______．
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点是解决问题的关键．
（1）根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系即可求出答案；
（2）当A、Q、D三点共线时，最小，此时，根据面积法即可求出．
【详解】（1）如图，连接、、，则，
六边形是正六边形，
，，
，
在 中，，，
，
故答案为：7．
（2）
连接，过O作的垂线，设圆的半径为R，
∵，
∴当A、Q、D三点共线时，最小，此时，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为．
（1）当时，求线段的长；
（2）若点与点关于原点对称，求点表示的数；
（3）若点在点的左侧，求的正整数值．
【答案】（1）；
（2）点表示的数为；
（3）的正整数值为，，．
【解析】
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键．
（1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题；
（2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得．
（3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：当时，点表示的数为，
点表示的数为，
；
【小问2详解】
解：点与点关于原点对称，
，解得，
，
点表示的数为；
【小问3详解】
解：若点在点的左侧，
，
解得，
正整数值为，，．
21. 为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，30，36
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）等级的人数除以所占的百分比，求出总人数，等级的人数除以总人数求出的值，等级所占的比例，求出圆心角；
（2）根据（1）中求出的等级的人数求出总人数；
（3）画出树状图进行求解即可．
【小问1详解】
解：（人），等级的人数为：（人），
∴，
∴，
A所对的圆心角度数是；
故答案为：40，30，36；
【小问2详解】
补全条形图如下：
【小问3详解】
画出树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果，
∴．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
22. 福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
（1）用含m，n的代数式表示Q；
（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
（3）若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．
（2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：将代入，得：
；
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写．
23. 图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图．
（1）当时，求关于x的函数表达式；
（2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费；
②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？
【答案】（1）
（2）①车费为元；②选择甲品牌比选择乙品牌节省元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式以及求函数值等知识．
（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）①将代入（1）中的函数表达式计算即可． ②利用待定系数法求出关于x的函数表达式，将分别代入，中计算并比较大小，求其差值即可．
【小问1详解】
解：当时，设，将和代入表达式，
则有，
解得，
【小问2详解】
①∵小明选择甲品牌共享电单车到B地，
∴当时，，
∴车费为4.5元；
②小明到C地的路程为，
，由图象可得，选择甲品牌更省车费，
此时，，
设，代入，
得，
，
，
∴当时，
；
（元）
∴选择甲品牌比选择乙品牌节省元．
24. 如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键．
（1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数；
（2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解；
（3）分别表达，再求和即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
正六边形为的内接正六边形，
是的直径，，
，
；
【小问2详解】
与相切，是的直径，
，
正六边形为的内接正六边形，
，
在中，，
；
【小问3详解】
正六边形为的内接正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25. 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
（1）求抛物线和的函数表达式；
（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
（3）点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
（2）或
（3）和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将代入，
点．
点与点关于直线对称，
点．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点，分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为．
将，代入 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 的点．
当 时，，．
，
解得，
根据图像可知，
综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或；
【小问3详解】
解：设，则，，
，
点为上一点，
，且的值随的增大而增大，
当时，，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时坐标为．
26. 在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形．
（1）如图1，当点N在线段上时，
①若，求的长；
②求的值．
（2）如图2，当时，
①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；
②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长．
【答案】（1）①2；②
（2）①（）；②或或3或
【解析】
【分析】（1）①先根据已知可得为 的中位线，则，由平行线的性质和矩形的性质可得，从而可得的长；②如图2，过点作于点，于点．先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由中位线定理可得，都为的中位线，证明，列比例式可解答；
（2）①先证明四边形为正方形，①当点落在边上时，如图3，过点作于点，证明，可得，可得的值；当点在上时，如图4，点，重合，此时；从而可得当矩形在内部（包括边界）时的取值范围；如图5，当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，由勾股定理可得结论；②分四种情况：分别画图根据图形和相似三角形，全等三角形的性质和判定可解答．
【小问1详解】
解：①当时，如图1，
，
此时点是的中点，
是的中点，
为 的中位线．
，
在矩形中，，
．
点是的中点．
为中位线．
；
②过点作于点，于点，如图2，
，
，
四边形为矩形，
，
由①同理得，都为的中位线．
，，
，
，
．
．
，
．
，
在中，；
【小问2详解】
解：在矩形中，当时，四边形为正方形．
，，
①当点落在边上时，过点作于点，如图3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，此时；
当点在上时，点，重合，如图4，此时；
当矩形在内部（包括边界）时，取值范围是：；
当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，如图5，
，
，，
，
在中，；
②分四种情况：
如图4，
，即在矩形内部的线段长为；
过点作于，过点作于，如图6，
同理得：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即在矩形内部的线段长为；
过点作于，如图7，

则，
，即在矩形内部的线段长为3；
如图8，
则，
，
，在矩形内部的线段长为；
综上，在矩形内部的线段长为或或3或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，三角函数，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，同时在求边的长度时，利用同角三角函数也可以求边长或表示边长，比利用相似或勾股定理简单．