2023年河北省石家庄市裕华区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年河北省石家庄市裕华区中考一模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省石家庄市裕华区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算的结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（  ）

A．90° B．95° C．105° D．110°
3．是2023的（　　）
A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（    ）

A．60° B．56° C．52° D．40°
6．从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步步将“上九天揽月”的神话变为现实．已知地球和月球间的平均距离约为，384000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
7．如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是

A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
8．在小正方形组成的网格图中，四边形的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是（　　）
  
A．
B．
C．四边形是菱形
D．将边向右平移3格，再向上平移7格就与边重合
9．已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a+b的值是（　　）
A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7
10．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
11．将一副直角三角板按照图片所示的方式摆放，其中，，．若，则的度数为（    ）

A．75° B．80° C．90° D．105°
12．直线y＝2x＋2与x轴、y轴交于A、C，与双曲线（m是常数）交于D点，四边形ACBE为矩形，B在的图像上，且DE⊥x轴于H，则m＝（    ）

A． B． C． D．2
13．如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．
14．一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（    ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
15．九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    )
A． B．
C． D．
16．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
  
A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分

二、填空题
17．从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．
18．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分別为的三角形是“和谐三角形”．概念理解：如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合），则的度数为___________，___________（选填“是”或“不是”）“和谐三角形”．
  
19．为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6．

（1）按图示规律，第一个图案的长度___________，第二个图案的长度___________．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数与走廊的长度之间的关系___________．

三、解答题
20．已知P＝A·B-M．
(1)若A＝(-3)0，B＝，M＝|-1|，求P的值；
(2)若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．

21．语文水平的提高与阅读时间有很大关系，小丽班上的语文老师对某次质量检测的成绩进行分析，他将班级前30名同学的成绩进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

（i）前30名同学成绩的频数分布直方图如图1所示．
（数据分成6组：，，，，，）
（ii）语文成绩得分在中的是81.5，85.5，89.5．
（iii）前30名同学每天阅读时间和语文检测成绩情况统计图如图2所示，且小丽同学的语文成绩是89.5分．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这30名同学中小丽同学的成绩排名是第_______．
(2)在30名同学每天阅读时间和语文检测成绩情况统计图中，包括小丽在内的少数几名同学所对应的点位于虚线l的上方．请在图中用“○”圈出代表小丽的点．
(3)在这30名同学中，请估计检测成绩不低于80分的同学平均每天的阅读时间（阅读时间落在某个组内，以本组最小值算）．
22．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．

（1）①计算：S甲＝　 　，S乙＝　 　；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲　 　S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 　 　（用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且直线轴．

(1)求a，b，c的值．
(2)求线段CD的长．
(3)过点作平行于y轴的直线与抛物线交于点E，抛物线在点C，E之间的部分（包括点C、E）记作图象W，若图象W向下平移个单位长度与直线AD有唯一的公共点时，请求出m的取值范围．
24．今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为，已知小明目高米，距旗杆的距离为15.8米，小刚目高米，距小明24.2米，求国旗的宽度是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：）

25．如图，直线：分别与轴、轴交于A，两点，直线与交于点，与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，与交于点．

(1)求直线的表达式及的面积；
(2)设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长，并写出的取值范围；
②以点，，为端点的三条线段中，若的长是另外两条线段中的一条线段的一半，直接写出此时的值．
26．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝　 　°，CD＝　 　；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．

参考答案：
1．C
【分析】根据同底数幂乘法的运算法则求解即可．
【详解】原式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题．
【详解】∵CD=AC，∠A=50°
∴∠CDA=∠A=50°
∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°
∴∠DCA=80°
根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC
∴BD=CD
∴∠B=∠BCD
∵∠B+∠BCD=∠CDA
∴2∠BCD=50°
∴∠BCD=25°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
3．B
【分析】仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义可得答案．
【详解】解：是2023的相反数，
故选B
【点睛】本题考查的是相反数的含义，熟记相反数的定义是解本题的关键．
4．C
【分析】根据二次根式加法、二次根式减法、二次根式乘法、二次根式除法分别进行判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】延长DE，FA交于点H，由正五边形的性质，解得，再由三角形的外角和性质解得，据此代入数值解答即可．
【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图，

五边形ABCDE是正五边形，







故选：B．
【点睛】本题考查正五边形的性质、两直线平行，内错角相等、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】将数据384000用科学记数法表示为3.84×105．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．D
【详解】解：剪去乙或丙时，可构成“一四一”型的正方体展开图；
剪去甲时，可构成“一三二”型正方体展开图；
剪去丁时，围不成正方体．
故选D．
8．C
【分析】根据图形即可判断四边形 的对边是否平行和相等，根据勾股定理求出、的长即可判断是否是菱形，根据平移的性质即可判断答案D是否正确．
【详解】解：A、由图形可知：和是连接的长方形的对角线，即，正确，故本选项不符合题意；
B、由图形可知：和是连接的长方形的对角线，即，正确，故本选项不符合题意；
C、由图形可知：，即四边形是平行四边形，设小正方形的边长是，由勾股定理得：，但，，则四边形不是菱形，故本选项符合题意；
D、将边向右平移格，再向上平移格就与边重合，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平移的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是能正确观察图形和利用勾股定理进行计算．用的数学思想是数形结合思想．
9．A
【分析】根据，，应用平方差公式，求出的值为多少即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的性质和应用，解题的关键是要明确：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
10．A
【分析】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
11．A
【分析】作，再根据平行线的性质求∠BOE，∠DOE，即可得出答案．
【详解】过点O作，

∵，
∴，
∴∠BOE=∠B=30°，∠DOE=∠D=45°，
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=30°+45°=75°．
故选：A．
【点睛】这是一道关于三角板和平行线性质的综合题，构造平行线是解题的关键．
12．C
【分析】由三角形相似，可得BF：CF＝OC：OA＝2：1，设BF＝a，则CFa，可得点B（a，2a），进而求得D（a﹣1，2a），由反比例函数的性质可得a•（2a）＝（a﹣1）•2a，可求a的值，即可求解．
【详解】解：如图过B点作BF⊥y轴

∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点A（﹣1，0），点C（0，2）
∴OA＝1，OC＝2，
∵四边形ACBE为矩形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，
∴∠CAO＝∠BCF，
∵BF⊥y轴
∴∠AOC＝∠CFB＝90°，
∴△BCF∽△CAO，
∴BF：CF＝OC：OA＝2：1，
设BF＝a，则CFa，
∴OF＝2a，
∴B（a，2a），
∵DE⊥x轴
∴DE∥OC，
∴，即，
∴DH＝2a，
∵点D（a﹣1，2a），
∵点D，点B都在反比例函数y上，
∴a•（2a）＝（a﹣1）•2a，
∴a，
∴D（，）
∴m，
故选：C．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点B、D坐标是本题的关键．
13．D
【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可．
【详解】解：延长BD交AC于点F，如图

AD平分，




D是BF的中点，
E是BC中点，

故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．D
【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值．
【详解】解：A、发生变化前的平均数：，发生变化后的平均数：，故该选项错误；
B、发生变化前的中位数：，发生变化前的中位数：3，故该选项错误；
C、发生变化前的众数：3，发生变化前的众数：3，故该选项错误；
D、发生变化前的方差：，发生变化后的方差：，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键．
15．C
【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
16．A
【分析】首先过的圆心作于，交于，连接，由垂径定理，即可求得的长，继而求得的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】解：过的圆心作于，交于，连接，
  
∴（厘米），
在中，（厘米），
∴（厘米），
∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
∴（厘米/分）．
∴“图上”太阳升起的速度为厘米/分．
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．
17．
【详解】分析：
由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，
∴抽到有理数的概率是：．
故答案为．
点睛：知道“从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.
18． 是
【分析】根据三角形内角和求出，由此得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴是“和谐三角形”
故答案为：，是．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键．
19．
【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长，第二个图案边长；
（2）由（1）得出则第n个图案边长为．
【详解】解：（1）第一个图案的长度，
第二个图案的长度；
故答案为：，；
（2）解：观察可得：第一个图案中有花纹的地面砖有1块，第二个图案中有花纹的地面砖有2块，……，故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；
第一个图案边长，
第二个图案边长，
则第n个图案边长为；
所以带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度之间的关系为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式等，解题的关键是分析、归纳出其中的规律．
20．(1)-3
(2)x≥-1，数轴见解析

【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义即可得出A、B、M的值，再代入P＝A·B-M计算即可；
（2）根据题意可得出P＝A·B-M＝-2x+1，即得出关于x的不等式，解出x，再在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）由题意得，A＝1，B＝-2，M＝1，
∴P＝1×(-2)-1＝-3；
（2）由题意得，P＝A·B-M＝3x- (5x-1)＝-2x+1．
∵P≤3，
∴-2x+1≤3，
解得：x≥-1；
在数轴上表示如图所示．

【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，代数式求值，整式的减法以及解不等式并在数轴上表示出来．掌握新运算法则P＝A·B-M是解题关键．
21．(1)3
(2)见解析
(3)33分钟

【分析】（1）分析图1，根据小丽同学的语文成绩，即可知道小丽同学的成绩排名；
（2）根据小丽同学的成绩排名是第3，即可找到小丽同学对应的点；
（3）检测成绩不低于80分的同学有5名，结合图2，即可求出检测成绩不低于80分的同学平均每天的阅读时间．
【详解】（1）解：由图1可知，语文成绩得分在的有2人，语文成绩得分在中的是81.5，85.5，89.5
∵小丽同学的语文成绩是89.5
∴小丽同学的成绩排名是第3
（2）解：根据小丽同学的成绩排名是第3，即可找到小丽同学对应的点，如图所示．

（3）解：（分钟）．
答：检测成绩不低于80分的同学平均每天的阅读时间为33分钟．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、统计图等知识点，读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
22．（1）①m2+12m+27，m2+10m+24；②＞；（2）①m+5；②正确，理由见解析．
【分析】（1）①根据长方形的面积公式以及多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
②通过作差法比较大小．
（2）①根据一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，求出正方形的边长．
②先用含有m的代数式表示出S正与S乙的差，进而判断S正与S乙的差与m的关系．
【详解】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
∴C正＝4m+20．
∴该正方形的边长为．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵S正，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键．
23．(1)，，
(2)2
(3)

【分析】（1）由题意设抛物线解析式为，把顶点坐标及点B的坐标分别代入即可求得；
（2）由（1）求得的解析式可得点C的坐标，由直线轴解方程则可求得点D的坐标，从而求得CD的长；
（3）由已知可求得点E的坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，则可求得当x=0与x=4时的函数值，从而可确定m的取值范围．
【详解】（1）解：设抛物线为．
∵抛物线的顶点A的坐标为，
∴．
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴，．
即，，．
（2）∵交y轴于点C，
∴点C的坐标为．
∵点D在抛物线上，且直线轴，
∴，解得，，
∴点D的横坐标为，
∴．
（3）当时，，
∴点E的坐标为．
设直线AD的解析式为．
∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴     
∴
∴直线AD的解析式为．
当时，．
∵，
∴图象W向下平移1个单位长度时，点C在直线AD上．
当时，．
∵，
∴图象W向下平移3个单位长度时，点E在直线AD上．
∴当时，图象W向下平移m个单位长度与直线AD有唯一的公共点．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数图象的平移，注意数形结合是解决（3）的关键．
24．国旗的宽度是1.6米．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．解直角三角形DME得DM的长，即可求出DG，再解三角三角形CNF得CN的长，即可求出CG，利用CG-DG即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，
∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米），
在Rt△DME中，
∴
∴（米），
∴（米）；
在Rt△CNF中，
∴，即（米），
∴（米），
∴（米）
答：国旗的宽度是1.6米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-仰角俯角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．(1)；
(2)①-2≤m≤0；②以点，，为端点的三条线段中，当的长是另外两条线段中一条线段的长的一半时，的值为，，，

【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到的表达式为，再根据平面直角坐标系中三角形的面积求法，结合点坐标即长度即可得到面积；
（2）①根据轴，根据纵坐标求解即可得出；②根据以点，，为端点的三条线段中，若的长是另外两条线段中的一条线段的一半，分情况讨论即可得出．
【详解】（1）解：将代入得，即，
∴，
设的表达式为：，
将，代入得，解得，
∴的表达式为，
∵直线：与轴的交点A的坐标为，
∴；
（2）解：根据题意，可知，，，
，，
①，
由于点在线段上，因此；
② 如图1，当 即，，

∴；
如图2，，，

∴；
如图3，，，

∴；
如图4，当 即，，

∴；
综上所述，以点，，为端点的三条线段中，当的长是另外两条线段中一条线段的长的一半时，的值为，，，．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及到待定系数法求表达式、平面直角坐标系中求三角形面积、两点之间距离公式和解一元一次方程的知识点，根据题意准确分类是解决问题的关键．
26．（1）90°，；（2）无变化，证明见解析；（3）；（4）BD=或．
【分析】（1）根据直径的性质，由DE∥AB得即可解决问题．
（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．
【详解】解：（1）①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．
∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．
∵BC=n，∴CD=．
故答案为90°，n．
（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．
∵，∴△ACE∽△BCD，
∴．

（3）如图4中，当α=∠ACB时．
在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．
在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，
∴AE===3，
由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，
∴BD=．
（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，
①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．
在Rt△DBC中，BD===2．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四边形BCEM是矩形，∴，
∴AM=5，AE==，
由（2）可知=，
∴BD=．
∴BD为2或．

【点睛】本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．