精品解析：2024年河北省九地市中考三模数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2024年河北省九地市中考三模数学试题（解析版），共30页。
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分）
1. 在有理数，0，3，中，相反数最小的数是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义、有理数的大小比较，先求出有理数，0，3，的相反数，再进行大小比较即可求解．
【详解】解：的相反数是3，0的相反数是0，3的相反数是，的相反数是1，
∵，
∴相反数最小的数是3，
故选：C．
2. 哈尔滨旅游火了!在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入亿元，创历史新高！那么，将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿，
故选D．
3. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知，再由，可得出的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
【详解】解：将沿方向平移到，，，
，
，
平移距离为3．
故选：B．
4. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．通过举例子可判断A和B，根据不等式的性质可判断C和D．
【详解】解：A．当，满足，但，故A不正确；
B．当，满足，但，故B不正确；
C．∵，∴，∴，故C正确；
D ∵，∴，∴，故D不正确．
故选C．
5. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故选；B．
6. 如图是摘自《生日歌》简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数的求法，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解： 将出现的音符从小到大的顺序排列：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7，
∴中位数为，
故选：C．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．无法变形，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
8. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
9. 如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出点的坐标．
【详解】解：图中直角三角形的两直角边为，，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么值是：，
故选：D．
10. 用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可．
【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确；
C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误；
D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
11. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，根据题干给定的方法，设，进而得到，两式相减后，进行求解即可．
【详解】解：设，
，得：，
，得：，
∴
故选B．
12. 如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对，
则，
解得：，，，
，
故选：A．
13. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【详解】解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，
∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式的运用以及正切的定义，能够求出是本题解题关键．先根据扇形的面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：根据题意可知：，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
15. 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意，，
四边形为正方形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是掌握先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
16. 如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据即可判断；②根据题意可推出四边形是正方形，结合即可判断；③证，结合即可判断；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
∴
即：，故③错误；
∵，，
∴四边形均是矩形
∵，
∴四边形是正方形
∴
∴
∵
∴，故①正确；
∵,
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故②正确；
故选：A
二、填空题（本大题共3小题，共10分．17小题2分，18-19小题各4分，每空2分）
17. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2．
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为x≥2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
18. 如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．

（1）外接圆的直径的最小值是______；
（2）内切圆的半径的最大值是______．
【答案】 ①. ## ②. ##0.2
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．
（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；
（2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解
【详解】解：（1）为直角三角形，
外接圆直径为斜边的长，
当时，作为外接圆的直径最小，如图，
，，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：

（2）令，，,内切圆半径为，则
，，
，
，，
，
，即，
∴，
，即最小时，r最大，
作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
19. 如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．
（1）当G经过点B时，点A________（填“在”或“不在”）G上；
（2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为________．
【答案】 ①. 不在 ②. 且
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题：
（1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案；
（2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围．
【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴，
则轴，
∴设点，
∵顶点A，B在直线上，
将代入得，
点A的坐标为，
令，解得，
点B的坐标为，代入，得，
双曲线G的解析式为，
当时，，
点A不在双曲线G上，
故答案为：不在；
（2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），
分别为、、、、、，
由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大，
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值；
当时，有，即；
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值；
当时，有，即；
但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，；
综上，k取值范围为且，
故答案为：且．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
20. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数)，其面积分别为
（1）请比较和的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先用代数式表示，，再作差比较即可求解；
（2）根据正方形的周长与面积的公式计算即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
为正整数，
，
即；
（2）正方形的周长为：
，
该正方形的面积为：．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除运算，列代数式是解题的关键．
21. 下面是某同学在完成作业本某小题的过程．
……①
……②
……③
（1）上面的解题从第_______步开始出错；
（2）写出正确的解题过程．
【答案】（1）①； （2）见解析．
【解析】
【分析】（1）第①步应该先通分，而不应该去分母，因此从第①步开始出错；
（2）先将看成分母为1的分式，再通分，最后按照同分母分式相加减进行计算即可．
【小问1详解】
上面的解题从第①步开始出错，
故答案为：①
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，注意要把整式看成分母为1 的分式，再与其它分式进行通分，这是解题的关键．
22. 端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题；
（1） ，“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若学校有2000名学生，请估计选择类活动的人数；
（4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）25，54；
（2）见详解 （3）大约有200人
（4）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法．
（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出的值，再计算出诵诗词的人数即可求得所对应圆心角的度数；
（2）根据（1）补全条形统计图；
（3）用2000乘以类活动所占的百分比即可；
（4）先画树状图，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：总人数为：（人），
（人），
诵诗词的人数：（人），
“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域圆心角的度数为：
，
故答案为：25，54；
【小问2详解】
解：由（1）得诵诗词的人数：（人），
则补全图形如下：
【小问3详解】
解：，
（人），
答：选择类活动的人数大约有200人；
【小问4详解】
解：依题意，树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．．
23. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %；
（2）求段的函数解析式；
（3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？
【答案】（1）30 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）利用3小时的所充电池电量除以3即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先利用该汽车电池电量从充至所充电量除以普通充电器对该汽车每小时的充电量求得普通充电器所用时间，再把代入求得快充电器所用时间，即可求解．
【小问1详解】
解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：设直线的表达式为，
把、代入得，，
解得，
∴直线的表达式为；
【小问3详解】
解：由（1）可得，普通充电器对该汽车每小时的充电量为，
∴该汽车电池电量从充至，普通充电器所用时间为，
把代入得，，
解得，
∴该汽车电池电量从充至，快充电器所用时间为，
∴快速充电器比普通充电器少用．
24. 如图，以为直径的上有两点E，F，E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果N是的中点，且，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证；
（3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，，证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解．
小问1详解】
证明：如图所示，

∵E是弧的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：如图所示，

∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，取的中点，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：点，，在同一条直线上；
（3）若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和方程思想的应用．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线的表达式为：，则时，，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当、为对角线时，同理可解．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
证明： 设直线的表达式为
∵，
∴直线的表达式为：，
∵
∴当时，则
解得或
∴
∵与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，
∴
∴点，
则时，，
即点在直线上，
故点，，在同一条直线上；
【小问3详解】
解：存在，理由：
∵，，为线段的中点，
∴则点，
设点，点，
∵
∴当时，则
解得或
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式得
∴
∵点，点，点，
∴，
解得：，
即点的坐标为，
∵点第一象限内
∴点的坐标为
当为对角线时，则
同理可得：
∴解得：，
则点的坐标为：，
∵点在第一象限内
∴点的坐标为：都不符合题意
当为对角线时，则
则，
∴
判别式
此时方程无解
综上，点的坐标为
26. 【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形， 如图1， 正方形纸片，边长为4．
【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形 ，沿直线折叠使点B落在边上的点 P处（A，D 两点除外）， 点 C的对应点为点 G． 经过思考，讨论， 同学们分享了他们的发现：
（1）如图2， 当点 P 落在 上任意一个位置时，平分． 请判断这个结论是否正确，并说明理由；
（2）如图3，若与相交于点 H， 当点P是的中点时，可以求出的长度． 请写出解答过程；
【拓展运用】小辉同学在（2）的基础上，求出了的长，进而求得了的周长，发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值．进一步研究他发现：当点 P在上任意位置时，如图4，的周长是一个定值． 小辉的结论是否正确？若正确， 请给出证明； 若不正确，请说明理由．
【答案】（1）都平分这个结论正确，理由见解析；（2）；（3）小辉的结论正确，证明
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：
（1）先由正方形的性质求出，再由折叠的性质得到，则由等边对等角和等角的余角相等证明出，则，即平分；
（2）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到；证明，利用相似三角形的性质即可求出；
（3）如图所示，过点B作于Q，连接，证明，得到，再证明，得到，则可推出的周长，则的周长等于正方形的边长的2倍，即的周长是一个定值．
【详解】解：（1）平分这个结论正确，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
∵点P为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）小辉的结论正确，证明如下：
如图所示，过点B作于Q，连接，
∴，
由（1）得，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∴的周长等于正方形的边长的2倍，
∴的周长是一个定值．