18.2特殊平行四边形 期末综合复习训练题 2023-2024学年人教版八年级数学下册

这是一份18.2特殊平行四边形 期末综合复习训练题 2023-2024学年人教版八年级数学下册，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角互补的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB=CDB．AC⊥BDC．CD=BCD．AC=BD
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BD=6，AC=63，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．6B．12C．18D．24
4．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．60°
5．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为（ ）
A．22B．23C．32D．42
7．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（ ）

A．30°B．22.5°C．15°D．5°
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
二、填空题
9．一个矩形的长和宽分别是36 ，23，则它的面积为 ．
10．如图，菱形ABCD中，其面积为96cm2，AD=10cm，则AD与BC间的距离是 cm．
11．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD=20cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是 cm．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接EO并延长，交BC于点F，若OA=25，BC=2AB，则图中阴影部分的面积为 ．
13．数学课上，小明把一张矩形纸片ABCD进行折叠，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，已知AD=8且EF=3，则AB= ．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，DM=1，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为 ．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 ．
三、解答题
17．图①、图②是两张大小、形状完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：

(1)在图①中以AB为边画菱形ABCD，点C、D在小正方形顶点上，且菱形ABCD的面积为3；
(2)在图②中以AB为边画正方形ABEF，点E、F在小正方形的顶点上；
(3)请直接写出图②中正方形ABEF的面积为______．
18．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是矩形ABCD外一点，AE∥BD，BE∥AC．
(1)求证：四边形AEBO是菱形；
(2)若AB=OA=4，求CE的长．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：四边形OEFG是矩形．
20．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO=45°．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若正方形ABCD的面积为72，BF=4，求菱形AECF的面积．
21．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．
(1)求证：PD=PB；
(2)点P是线段AO上的动点，点Q是BA延长线上的动点，且PD=PQ，当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？若没变化，猜想∠DPQ度数，并给予证明．
22．【问题原型】人教版教材八年级下册第69页有这样一道题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE=EF．请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线BC上任意一点（B，C两点除外）时”，结论AE=EF都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图（2），四边形ABCD是正方形，点E为BC反向延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F，求证：AE=EF．
【拓展迁移】
如图3，在正方形ABCD中，AB=1，E为BC边上一动点（点E，B不重合），以AE为直角边在BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，连接DF．则在点E的运动过程中，△ADF周长的最小值为______．
参考答案
1．解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，A选项错误；
B.对角互补的平行四边形是矩形，B选项正确；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C选项错误；
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D选项错误,
故选：B.
2．解：应添加的条件是AC⊥BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，
∴EH∥FG，HG∥EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
A、添加的条件是AB=CD时，四边形EFGH为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、添加的条件是AC⊥BD，则EH⊥EF，所以四边形EFGH为矩形，故此选项符合题意；
C、添加的条件是CD=BC，四边形EFGH为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加的条件是AC=BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC=BD，∴EH=12BD，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
∴EH=HG=GF=EF，
则四边形EFGH为菱形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=3，AO=OC=12AC=33，AB=BC=CD=DA，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=OD2+OA2=32+332=6，
∴菱形ABCD的周长是4AD=24，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，
设∠BAE=2x，则∠DAE=90°−2x，
∴∠AEB=180°−∠BAE2=90°−x，∠AED=180°−∠DAE2=45°+x，
∴∠BEF=180°−∠AEB−∠AED=45°，
故选：B．
5．解：连接BD．
∵BE⊥AD，AE=ED，
∴BD=AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
∴∠ADC+∠EBF=180°，
又∵∠ADC+∠A=180°，
∴∠EBF=∠A=60°．
故选：B．
6．解：如图，连接CP，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=2AC=42 ，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC=∠PEC=90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE=CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段CP的值最小，则线段DE的值最小，
此时，AP=BP，
∴CP=12AB=12×42=22，
∴DE的最小值为22，
故选：A．
7．解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=12×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=12∠BAC=12×45°=22.5°．
故选：B．
8．解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°．
∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°．
在△ABE和△ADE中，
AE=AE∠BAC=∠DACAB=AD，
∴△ABE≌△ADE，
∴BE=DE，
∴DE=FG，故①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
由①知：OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE，
∴∠OFB=∠ADE，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°，
∴∠OFB+∠AHD=90°，
即：∠FMH=90°，
∴DE⊥FG．故②正确；
③由②知：∠OFB=∠ADE．
即：∠BFG=∠ADE．故③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=42．
∴DE=12AC=22．
由①知：FG=DE，
∴FG的最小值为22，故④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
9．解：矩形的面积 36×23=182．
故答案为：182
10．解：设AD与BC间的距离为ℎ cm，依题意得AD⋅ℎ=96cm2，AD=10cm，
∴ℎ=9.6cm，
故答案为：9.6．
11．解：如图（1）中，
∵四边形是正方形，BD=20cm
∴AB=AD=22BD=102cm，
如图（2）中，连接AC交BD于O，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，BD=2OB
∵ ∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴ OB=AB2−OA2=56cm，
∴BD=2OB=106cm，
故答案为：106．
12．解：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，AC=2OA=45，AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AEO≌△CFOAAS，
∴S△AEO=S△CFO，
设AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得，AC=AB2+BC2=5x=45，
解得，x=4，
∴AB=4，BC=8，
∴S阴影=S△AOB+S△COF+S△DOE=S△AOB+S△AOE+S△DOE=12S矩形ABCD=12×4×8=16，
故答案为：16．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，∠B=90°，
由折叠的性质可得BE=EF=3，AB=AF，∠AFE=∠B=90°，
∴∠EFC=90°，
∵CE=BC−BE=5，
∴在Rt△EFC中，由勾股定理得CF=CE2−EF2=4，
设AB=AF=x，则AC=x+4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
∴x+42=x2+82，
解得x=6，
∴AB=6，
故答案为：6．
14．解：根据题意，连接BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴NB=ND．
∴DN+MN=BN+MN．
当点B、N、M在同一条直线上时，ND+MN有最小值．
在Rt△BCM中
BC=4，CM=DC−DM=4−1=3，
根据勾股定理得BM=42+32=5，
即DN+MN的最小值为5．
故答案为：5．
15．解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE
∵AD∥BC
∴∠OBE=∠ADO=30°
∴∠BOE=(180°−30°)÷2=75°．
故答案为：75°
16．解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠EMC=∠ENC=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90，AD=CD
∴∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
∵∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEMASA，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，故②正确；
∴DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC,
∴∠ADE=∠CDG，
∵AD=CD，
∴△ADE≌△CDGSAS，故①正确；
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DCG=∠DAE=45°，∠ACD=45°，
∴∠ACG=90°是定值，故③错误；
∵△ADE≌△CDG
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=2AB=32是定值．故④正确；
故答案为：①②④．
17．解：（1）如图①，取AB=BC=CD=DA=5，
∵BD=2，AC=32，
∴S菱形ABCD=12×BD×AC=3，
∴菱形ABCD即为所求作；

（2）如图②，取AB=BE=EF=FA=5，
∵AB2+BE2=10，AE2=10，
∴AB2+BE2=AE2，
∴∠B=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴正方形ABEF即为所求作；

（3）S正方形ABEF=AB⋅BE=5．
故答案为：5．
18．（1）证明：如图1，
∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，
∴AO=BO，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）解：如图2，连接EO并延长交AB于点F，交CD于点G，

∵四边形AEBO是菱形，
∴AO=BO，AB⊥EO，EF=OF，AF=BF，
∵AB=OA=4，
∴AB=BO=AO=4，
∴△ABO是等边三角形，
∴AF=BF=12AB=12×4=2，
∴OF=AO2−AF2=42−22=23，
∵AO=CO，AF=BF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，BC=2OF=43,
∴四边形BCGF是矩形，
∴EG=63，BF=CG=2，
∴CE=632+22=47．
19．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD，
=12×8×6 ，
=24；
（2）∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥AB，即OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴▱OEFG是矩形．
20．（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA=OC，OE=OF，
∵DE=BF，
∴OE+DE=OF+BF，
即BO=DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠ADO=45°，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴ 12AC⋅BD=72，
∴ 12×4BO2=72，
∴BO=DO=CO=AO=6，
∴AC=12，
∵BF=4，
∴OF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF=2EO=2OF=4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积=12AC⋅EF=24．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°，
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP
∴PD=PB；．
（2）解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；
证明：作PM⊥AB,PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°，
∴四边形AMPN是正方形，PM=PN，
∴∠MPN=90°，
∵PD=PQ,PM=PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPMHL
∴∠DPN=∠QPM，
∵∠QPN+∠QPM=90°，
∴∠QPN+∠DPN=90°，即∠DPQ=90°．
22．解：问题原型：证明：如图1，取AB的中点G，连接EG，
∴BG=AG=12AB，
∵点E是BC的中点，
∴EC=BE=12BC，
∴AG=BG=BE=EC，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是正方形ABCD的外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°=∠AGE，
∵∠AEF=90°=∠ABC，
∴∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠FEC，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AGE≌△ECFASA，
∴AE=EF，
问题应用：
证明：如图2，
在AB延长线上截取BG=BE，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
又∵BG=BE，
∴AG=CE．
∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°，∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC
又AG=CE，∠AGE=∠ECF，
在△EAG和△FEC中，∠EAG=∠FECAG=CE∠AGE=∠ECF，
∴△EAG≌△FECASA，
∴AE=EF．
拓展迁移：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEG=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEG=∠BAE，
在AB上取点H，使AH=CE，连接HE，
∴BH=BE，
∴∠BHE=45°，
∴∠AHE=135°，
∵AH=CE，∠HAE=∠CEF，AE=EF，
∴△HAE≌△CEFSAS，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∴∠DCF=45°，
作点D关于CF的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时AF+DF的最小值即为AM的长，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=5，
∴以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为1+5