2024年中考数学第二次模拟考试（呼和浩特卷）

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第二次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．函数中自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
故选：B．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查整式的运算，根据整式相关运算法则，逐项判定即可，解题的关键是掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式法则及完全平方公式．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：B．
3．2023年5月8日是第76个世界红十字日，今年活动的主题是“携手人道、关爱生命”．热血奉献，与爱同行，感谢每一位捐献血液、护佑生命的无偿献血者．本年度截止到现在，全国已经无偿献血1亿5487.4万人人次，其中数据1亿5487.4万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：1亿5487.4万，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数绝对值大于等于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数绝对值小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数．
4．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．
【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．
5．如图，直线，是等边三角形，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点B作，可得，依次求解，，，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】
解：如图，过点B作，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B
6．为了提高物品使用率，减少浪费，把废置物品通过义卖的形式变换成现金，用来帮助那些需要帮助的人，某中学举办了“聚沙成塔让爱心助力梦想”校园爱心义卖活动，下面是随机抽取的20名学生义卖获得现金钱数的统计：
请根据学生获得现金数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为20名学生B．众数是15元C．中位数是8元D．平均数是元
【答案】D
【分析】根据样本的定义，中位数，众数，平均数的确定方法，进行判断即可．
【详解】解A、样本为20名学生义卖获得现金钱数，故选项A错误；
B、义卖获得现金钱数为12元的人数最多，众数是12元，故选项B错误；
C、将数据排序后，中位数为元，故选项C错误；
D、平均数为：（元），故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题考查样本，中位数，众数，平均数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
8．如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象交于，两点．则的值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】把代入即可得到反比例函数的解析式为，再将代入解析式即可求得的值．
【详解】解：将代入中得：
，
解得，
反比例函数的解析式为：，
在反比例函数的图象上，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10．如图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则；④若，则；以上结论正确的有（ ）

A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④
【答案】D
【分析】
根据正方形的性质，得，结合旋转性质，得，再证明，即可判断①；再通过两边成比例，夹角相等，即可证明是正确的．通过两个对应角相等，证明，列式换算，得，即可判断③作答；最后根据相似三角形的性质以及勾股定理列式，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴
∴
∴
∴
∴
故是正确的；
∵四边形是正方形
∴
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴
则
∴是正确的；
∵线段绕点C逆时针旋转90°得到
∴是等腰直角三角形，
则

∴
∵
∴
∴
∴
故是错误的；
∵，
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
则
在中，

则
∵是等腰直角三角形，
则
∴
故④是正确的
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在实数范围内因式分解 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了因式分解，解题的关键是先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．工人小王想制作一个圆锥模具，这个模型的侧面是一个半径为6cm，圆心角为的扇形铁皮制作的，请你帮他计算一下这块铁皮的底面半径为 ，铁皮的面积是 ．
【答案】
【分析】
本题考查圆锥是计算，扇形的面积等知识．设圆锥的底面半径为rcm．构建方程求出，可得结论．
【详解】解：设圆锥的底面半径为rcm．
则有，
∴，
∴铁皮的面积．
故答案为：，．
13．若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，根据解集中有且只有两个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组，
由①得：，
由②得：，
，
不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的整数解为3，4，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是本题的突破点．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动，当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，此时 ．

【答案】8
【分析】取的中点M，连接、，可得，再用勾股定理求出，当O、M、C三点共线时，有最大值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
取的中点M，连接、，如图所示：

∵，
∴，
在中，，
∴，
当O、M、C三点共线时，有最大值，
此时，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理应用等知识，涉及到了动点问题，解题关键是理解题意，找到当O、M、C三点共线时，有最大值，
．
15．如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，根据勾股定理得到的长，进而求出的长，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：连接，，，过点作于，于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，即
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是 ．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算求解：
(1)计算
(2)解方程组
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
【详解】（1）原式＝2+3
5；
（2）整理方程组得：，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为：．
【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
18．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在处接到指挥部通知，在他们东北方向距离海里的处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时海里的速度沿北偏东某一方向出发，在处成功拦截捕鱼船．
(1)图中 ；
(2)求图中点到捕鱼船航线的距离；
(3)求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【答案】(1)
(2)海里
(3)巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时
【分析】
（1）由平行线的性质可得，再利用角的和差运算可得答案；
（2）过点作的延长线于点，在中，求解，而，再利用锐角的余弦可得答案；
（3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，，，
∴，
∴；
（2）
解：过点作于点，由，得，
(海里；
（3）
设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时；
由题意得：，，，，
在中，由勾股定理得：，
解得：(不合题意舍去．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时．
19．开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些足球和篮球．其中购买足球的总价为1000元，购买篮球的总价为1800元，且购买篮球的数量是购买足球数量的2倍．已知购买一个足球比一个篮球贵10元．
(1)求购买足球和篮球的单价各是多少元；
(2)为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买30个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3000元．那么最多可购买多少个A品牌足球?
【答案】(1)购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
(2)最多可购买10个品牌足球．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设购买蓝球的单价为元，则购买足球的单价为元，根据数量总价单价，结合购买篮球的数量是购买排足数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买蓝球的单价为元，则购买足球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
（2）解：设可购买个品牌足球．则购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
又是整数，
的最大值为10．
答：最多可购买10个品牌足球．
20．某校为了解学生的视力情况，随机抽取本校部分学生进行调查，其中：表示正常；表示轻度近视；表示中度近视；表示重度近视，并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表．

请根据图表信息解答下列问题：
(1)这次抽查的学生人数是_________人；_________度；补全条形统计图；
(2)该校共有学生1800人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
(3)某班重度近视的4人中有两名男生和两名女生，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)200；108；补全图形见解析
(2)540人
(3)
【分析】（1）用组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出组人数，接着计算出组人数，然后用乘以组人数所占的百分比得到的值，最后补全条形统计图；
（2）用组人数所占的百分比乘以1800即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：这次抽查的学生人数为（人），
组人数为（人），
组人数为（人），
所以扇形统计图中组的圆心角的度数为，
即；
补全条形统计图为：

故答案为：200；108；
（2）（人），
所以估计该校学生中“中度近视”的人数为540人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)在轴上有一动点，，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点，连接．若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把，代入得，求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得，；，；根据轴，得出，根据得出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，；
把，代入
得，
反比例函数解析式为；
（2）当时，，
解得，则，；
当时，，则，；
轴，
、点的纵坐标都为，
，
，
整理得，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22．如图1，以等腰三角形的一腰为直径的交于点D，过点D作于点E．
(1)直接写出与的位置关系
(2)如图2，若点O在上向点B移动，以点O为圆心，长为半径的圆仍交于点的条件不变，那么（1）中结论是否还成立？请说明理由
(3)如图3，如果，那么圆心O在的什么位置时，与相切？
【答案】(1)是⊙O的切线
(2)成立，见解析
(3)当时
【分析】
（1）根据圆周角定理结合等腰三角形的性质，得到是的中位线，进而得到，即可得出结论；
（2）根据等边对等角，推出，解进而得到，推出，即可得出结论；
（3）设与相切于点，连接，根据切线的性质和正弦的定义，求出半径的长即可．
【详解】（1）连接，如图：
∵为直径，
∴，
∵为等腰三角形，为腰，
∴，
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）成立，理由如下：
连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）设与相切于点，连接，则：，
设的半径为，则：，
∴，
∵，
∴，
∴当时，与相切．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
23．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，为边上的一点且，．将沿翻折得到，与交于且，直线交直线于点，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）的长为；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质和正方形的性质可得，，，推得，，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）设，根据勾股定理可求得，推得，根据相似三角形的判定和性质可得，求得，，根据平行线的性质可得，，求得，即可求得；
（3）过点作于，根据折叠的性质可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，，，根据勾股定理即可可得．
【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形
∴，，
∴，
在和中，
∴
（2）解：如图：

设
在中，
∴
解得
∴
∵，
∴
∴
即
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴的长为；
（3）解：如图，过点作于

∵沿翻折得到，
∴，
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵
在中，
∴，
∴
在中，
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
24．如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若，求的长度；
(2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标；
(3)如图2，当时，点在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线交抛物线于另一点D，直线交抛物线于另一点E，作轴于M，若，试判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是为定值，该定值为2
【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度；
（2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是，点B的坐标是，由得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，则，由，则，由得到，则，进一步得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，得到，由得到，解得，则，即，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
即的长度为4；
（2）当，时，，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点D的坐标是，
设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标是；
（3）当时，，
∵，
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
联立，，
∴，
∴，
∴，
过点D作轴于点H，

∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得到，，
∴，
设直线的解析式为，
联立，
则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
获得义卖现金/元
5
8
10
12
15
人数/人
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