猜想04 二元一次方程组（易错必刷30题6种题型）（原卷版+解析版）

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题型一：二元一次方程组都概念
题型二： 解二元一次方程组
题型三：解二元一次方程组的应用
题型四：列二元一次方程组
题型五：二元一次方程组的实际应用
题型六：二元一次方程组与其他知识的交汇问题
【题型通关】
题型一：二元一次方程组都概念
1．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）已知是二元一次方程的一组解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．7
【答案】B
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案．
【详解】解：由题意，
得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
2．（2023上·山西运城·八年级统考期末）关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入方程求得的值，将的值代入，可得关于的方程，可求得．
【详解】解：根据题意，将代入方程，可得，
将代入，得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是前提，严格遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键．
3．（2022上·陕西西安·八年级校考期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】将代入二元一次方程组，求出，再利用算术平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的算术平方根为2，
故选：C．
题型二： 解二元一次方程组
4．（2023上·河北保定·八年级统考期末）用代入消元法解方程组代入消元正确的是（ ）
A．由①得，代入②后得
B．由②得，代入②
C．由①得，代入②得
D．由②得，代入①得
【答案】D
【分析】先根据等式的性质用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A.，由①得：，故本选项不符合题意；
B.，由②得：，代入①得，故本选项不符合题意；
C.，由①得：，故本选项不符合题意；
D.，由②得，代入①得，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能正确运用代入消元法解二元一次方程组是解此题的关键．
5．（2022·山东威海·统考一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】将代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，利用②﹣①，可求出代数式的值．
【详解】解：将代入原方程组得，
②﹣①得：，
∴代数式的值是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解即使方程组中每个方程都成立的一组未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
6．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
7．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为；
（2）
整理得，
得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
8．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）下面是小华同学解方组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解得：②得：③．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）
①+③得：．．．．．．．．．（2）
将代入②得：．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）
所以该方程的解是．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）
(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）；
(2)请你帮小华同学写出正确的解题．
【答案】(1)（1）（2）
(2)见解析
【分析】（1）根据加减消元法的步骤判断即可；
（2）利用加减消元法正确求解．
【详解】（1）解：第一次出错在（1）步，
第二次出错在（2）步，
故答案为：（1），（2）；
（2）正确的过程为：
解方程组：，
解：②得：③，
③+①得：，
解得：，
将代入②得：，
所以原方程组的解为．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法．
题型三：解二元一次方程组的应用
9．（2023上·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得，
∴，解方程组得，，代入方程得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
10．（2022上·广东河源·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 乙同学因把 写错了解得 那么 的正确的值应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把代入得，由方程组中第二个式子可得：．再由，可得a，b的值，从而可得答案．
【详解】解：把代入得：
，
由②得：，
∵乙同学因把 写错了解得 ，
∴，
∴，解得：，
∴B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．
11．（2022上·重庆·八年级校联考期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】A
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得
，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
，
③+④得：
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，而为整数，
∴，
∴满足条件的所有整数a的和，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2022下·浙江杭州·七年级校考期中）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，把代入方程，求出的值，再把的值代入，进行计算，即可得出结果．
【详解】解：∵小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，
∴方程的解为，
∴把代入方程，
可得：，
由，可得：，
把代入，可得：，
∴方程的解为：，
∴把代入，
可得：，
由代入，可得，
把代入，可得：，
∴方程的解为．
故选：C
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，解本题的关键在理解题意，正确求出的值．
13．（2022下·河北保定·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论a取什么实数，的值始终不变．
A．①②B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】C
【分析】①把a=1代入方程组中进行计算，求出x，y的值，然后再代入x+2y=-2中，进行计算即可解答；②把x=y代入原方程组中，进行计算即可解答；③先解方程组，求出x，y的值，然后代入x-2y>8中进行计算即可解答;④先解方程组，求出x，y的值，然后代入2x+y中进行计算即可解答．
【详解】解：①当a=1时，原方程组为，
解得：，
把代入x+2y=-2中，
∴左边=-4，右边=-2，
∴左边≠右边，
∴当a=1时，方程组的解不是方程x+2y=-2的解，
故①错误；
②把x=y代入原方程组中，可得：
，
解得：a=-，
故②正确；
③，
①+②得：2x=6+2a，x=3+a，
①-②得：2y=-4a-4，
∵x-2y>8，
∴3+a-(-4a-4) >8，
∴a>，
故③正确；
④由③得2x=6+2a，y=-2a-2，
∴2x+y=6+2a-2a-2=4，
∴不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的是：②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，求不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2022下·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若关于的不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．9B．6C．-2D．-1
【答案】C
【分析】求出不等式组的解集为：，利用不等式组有解且最多有3个整数解，可得，解方程组可得：，讨论可知当，当时，方程组有整数解，进一步可求出符合条件的所有整数的和．
【详解】解：由题意可知：
解不等式的组，解不等式①得；解不等式②得，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有解，且最多有3个整数解，
∴，
解方程组可得：，
当时，方程组有整数解；
当时，方程组有整数解；
∴符合条件的所有整数的和为-2．
故选：C
【点睛】本题考查不等式组，方程组，解题的关键是熟练掌握解不等式组，求出a的取值范围，解方程组．
题型四：列二元一次方程组
15．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，所列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，根据环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，列出方程组即可．
【详解】解：设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，由题意，得：
，
故选D．
【点睛】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
16．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百，今并买一顷，价钱一万，问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱，今共买好、坏田1顷，总价值10000钱，问好、坏田各买了多少亩？”设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据等量关系：共买好，坏田1顷，价线10000钱，列出方程组．
【详解】解：
设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意有：，故C正确．
故选：C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．
17．（2023上·四川达州·八年级校考期末）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数，如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设甲数为x，乙数为y，根据把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，列出方程组．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，
由题意得，．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键．
18．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，恰有2车空出；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据每车坐三人，两车空出来可列方程，根据每车坐两人，多出九人无车坐可列方程，从可以得到相应的方程组．
【详解】解：根据题意，可列方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
19．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）新世纪商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高．设上衣和裤子在调价前单价分别为x和y元，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据“上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高”列方程组即可．
【详解】解：设上衣和裤子在调价前单价分别为和元，根据题意可列方程组为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组．
20．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组．
【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，
依题意，得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型五：二元一次方程组的实际应用
21．（2023下·云南玉溪·八年级统考期末）某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？
(2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？
【答案】(1)租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元
(2)共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少
【分析】（1）设租用甲、乙两种客车每辆各需元，根据题意可以列出相应的方程组，即可求解；
（2）设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，根据题意列出不等式，求出x的取值范围，进而列出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设租用甲、乙两种客车每辆各需元，
则，
解得：，
答：租用甲客车每辆需300元，租用乙客车每辆需400元；
（2）解：设租用辆甲客车，则租用辆乙客车，由题意得：
．
由题意得：，解得：，
的取值范围是：，且为整数．
∴一共有3种租车方案．
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，
∴当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少
答：共有三种不同的租车方案，当租用2辆甲客车，6辆乙客车时，租车的总费用最少．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
22．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
(1)求，两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】(1)品牌足球单价为元，品牌足球单价为元
(2) 当品牌足球购买了 个，品牌足球购买了个，费用最低为元
【分析】（1）设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元，根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可．
【详解】（1）设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元
根据题意，得
解得
∴ 品牌足球单价为 元， 品牌足球单价为 元；
（2）根据题意可知， 品牌足球 个，依题意，
解得；
∴
∴ 随 的增大而减小
∴当 时， 最小，此时
综上， 取得最小值元， 此时 品牌足球购买了 个， 品牌足球购买了个
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最小值是解决本题的关键
23．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）参观红色基地，研学红色文化．根据校团委的部署，八年级名师生准备租车到革命历史展览馆参观学习．车站有大小两种车型，每辆大车可坐人，每辆小车可坐人，已知租用大车1辆和小车2辆共需元，租用大车2辆和小车1辆共需元.
(1)租大车、小车两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租辆车，其中大车辆有a辆，租车费用w元，能保障所有的八年级师生到革命历史展览馆参观学习，租车费用不超过元，有哪几种租车方案？租车费用最少为多少？
【答案】(1)租用大客车每辆元，租用小客车每辆元
(2)当大车租用5辆，小车租辆时，能保障所有师生送到展览馆且租车费用最少，最少费用为元
【分析】（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：“租用大车1辆和小车2辆共需元，租用大车2辆和小车1辆共需元”列出方程组，求解即可；
（2）根据总费用＝两种租车费用之和，列出函数解析式，再根据题意求出a的取值范围，根据a为整数确定租车方案，并根据函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设租用大车每辆x元，租用小车每辆y元，
根据题意可列方程组为：，
解得：，
答：租用大客车每辆元，租用小客车每辆元；
（2）解：根据题意可得：租用乙种客车辆，且
，
解得：，
根据题意可得：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∵，a取整数，
∴，6，7，
∴当时，w有最小值，此时最小值为元．
答：当大车租用5辆，小车租辆时，能保障所有师生送到展览馆且租车费用最少，最少费用为元．
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．
24．（2023下·四川达州·八年级校考期末）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加台监控摄像设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元，
(1)求，的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过元，则至少购买甲型设备多少台？
(3)在（2）购买设备资金不超过元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于米，请你设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)，
(2)至少购买甲型设备台
(3)最省钱的购买方法为购买甲型设备台，乙型设备台
【分析】（1）购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元，甲型的单价为元/台，乙型的单价为元/台，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）可知甲、乙的单价，根据题意，列不等式求解即可；
（3）根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：甲型的单价为元/台，乙型的单价为元/台，
∴，解得，，
∴甲型的单价为元/台，乙型的单价为元/台，
∴，．
（2）解：设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，
根据题意，得，解得，
∴至少购买甲型设备台．
（3）解：根据题意，得，解得，
由（2）可知，，
∴，
∴的取值为或，共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备台，乙型设备台，费用为（元）；
方案二：购买甲型设备台，乙型设备台，费用为（元）；
∵，
∴方案二省钱．
∴最省钱的购买方法为购买甲型设备台，乙型设备台．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，不等式组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法，根据不等式组的解集确定合适方案的方法是解题的关键．
25．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）某水果店准备购进两种水果进行销售，若购进种水果和种水果各千克共花费元，购进种水果千克和种水果千克共花费元．
(1)求购进种水果和种水果的单价；
(2)若该水果店购进了两种水果共千克，其中种水果售价为元每千克，种水果售价为元每千克，设购进种水果千克，获得总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②要使销售水果的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该水果店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】(1)购进种水果的单价为10元每千克，购进B种水果的单价为18元每千克
(2)①②购进种水果17千克，种水果83千克，可以获得最大利润，最大利润是666元．
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用
（1）根据购进种水果和种各千克共花费元，购进种水果千克和种水果千克共花费元，可以列出相应的二元一次方程组求得；
（2）①根据题意，可以写出关于的函数关系式；
②根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】（1）解：设购进水果单价为元，水果的单价为元，
，
得
答：购进种水果的单价为元，购进B种水果的单价为元；
（2）解：①由题意可得，
，
即关于的函数关系式为；
②所获利润不低于进货价格的，
，
解得，，
为整数，，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进种水果千克，种水果千克，可以获得最大利润，最大利润是元．
26．（2023下·内蒙古赤峰·八年级校考期末）某商店销售A，两种型号的打印机，销售5台A型和10台型打印机的利润和为2000元，销售10台A型和5台型打印机的利润和为1600元．
(1)求每台A型和型打印机的销售利润；
(2)商店计划购进A、两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于型打印机数量的一半．设购进A型打印机台，这100台打印机的销售总利润为元，求该商店购进A、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元
(2)购进A型号的打印机34台，型号的打印机66台时，销售总利润最大，最大利润为13280元
【分析】（1）设每台A型打印机的销售利润为x元，每台B型打印机的销售利润为y元，列出方程组求解即可；
（2）由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于a的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可．
【详解】（1）解：设每台A型打印机的利润元，每台B型打印机的利润为元．
根据题意得
解得
答：每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元．
（2）解：由题意得：
随的增大而减小
，即
是正整数，
当时，最大，（元），
（台）
答：当商店购进A型号的打印机34台，型号的打印机66台时，销售总利润最大，最大利润为13280元．
【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出一次函数解析式．
27．（2023下·河南开封·八年级统考期末）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年人选中国非物质文化遗产．某网店负责人小明在开封某汴绣专营店选中两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表：
(1)第一次小明用24400元购进了两款汴绣共20件，求两款汴绣各购进多少件；
(2)第二次小明进货时，计划购进款汴绣数量不少于款汴绣数量的，且小明计划购进两款汴绣共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进款汴绣6件，款汴绣14件
(2)购进款汴绣12件，购进款汴绣件时才能获得最大利润，最大利润为7200元
【分析】（1）设购进款汴绣x件，款汴绣y件，根据一共购买20件花费了24400元列出方程组求解即可；
（2）设购进款汴绣m件，利润为W，则购进款汴绣件，根据计划购进款汴绣数量不少于款汴绣数量的，列出不等式求出m的取值范围，再根据总利润单价利润销售量，列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设购进款汴绣x件，款汴绣y件，
由题意得，，
解得，
∴购进款汴绣6件，款汴绣14件；
（2）解：设购进款汴绣m件，利润为W，则购进款汴绣件，
∵计划购进款汴绣数量不少于款汴绣数量的，
∴，
∴，
由题意得，
，
∵，
∴W随m增大而减小，
∴当时，W最大，最大为，
∴购进款汴绣12件，购进款汴绣件时才能获得最大利润，最大利润为7200元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组，不等式和函数关系式是解题的关键．
题型六：二元一次方程组与其他知识的交汇问题
28．（2022下·重庆璧山·七年级校联考期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
29．（2022上·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【答案】(1)方程组的解为
(2)（i）；（ii）原方程组的所有整数解是或
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）（i）把方程变形后，再把将①代入方程②，即可；甲型
乙型
价格（单位：元/台）
有效监控半径（单位：米/台）
类别
价格
款汴绣
款汴绣
进货价（元/件）
800
1400
销售价（元/件）
980
1680