猜想03轴对称（易错必刷40题13种题型专项训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期末考点预测（人教版）

这是一份猜想03轴对称（易错必刷40题13种题型专项训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期末考点预测（人教版），文件包含猜想03轴对称易错必刷40题13种题型专项训练原卷版docx、猜想03轴对称易错必刷40题13种题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

三．等腰三角形的判定（共3小题） 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
五．等边三角形的性质（共1小题） 六．等边三角形的判定与性质（共2小题）
七．含30度角的直角三角形（共3小题） 八．生活中的轴对称现象（共1小题）
九．轴对称的性质（共2小题） 十．轴对称图形（共2小题）
十一．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共8小题） 十二．作图-轴对称变换（共1小题）
十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）
一．线段垂直平分线的性质（共4小题）
1．（2023春•定边县校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（ ）
A．56°B．58°C．60°D．63°
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得EB＝EC，从而可得∠EBC＝∠ECB，再根据已知可得CE＝AC，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A＝∠AEC＝80°，然后利用三角形的外角性质可得∠EBC＝∠ECB＝40°，再利用角平分线的定义∠FBC＝20°，最后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BE＝AC，
∴CE＝AC，
∵∠ACE＝20°，
∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，
∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，
∴∠EBC＝∠ECB＝40°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠EBC＝20°，
∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022秋•涟源市期末）如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．
【解答】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在AC，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
3．（2022秋•吉林期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F．若∠B+∠C＝70°，则∠EAF的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠BAC＝110°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，从而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，然后利用等量代换可得∠BAE+∠FAC＝70°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝70°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋•怀化期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．等腰三角形的性质（共9小题）
5．（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cmB．5cmC．2cm或5cmD．不能确定
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
6．（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26B．26或34C．34D．20
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时；当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时，
∵6+6＝12＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，
∴它的周长＝14+14+6＝34；
综上所述：它的周长为34，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
7．（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70°B．70°或40°C．110°D．110°或40°
【分析】利用平角定义，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC，
当∠DAC＝70°时，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，
∴等腰三角形的顶角的度数为110°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°
【分析】分两种情况讨论：①若该等腰三角形为钝角三角形；②若该等腰三角形为锐角三角形；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
9．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，且∠DAC＝100°，则∠C＝ 50° ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性质可得∠DAC＝∠B+∠C＝100°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2022秋•衡山县期末）已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 24 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，
∴这个等腰三角形的周长＝10+10+4＝24；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的周长为24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
11．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的是中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的是中点，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
∴∠EDC的度数为15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2022秋•忠县期末）如图△ABC中，点D在AB上，已知AD＝BD＝CD．
（1）求∠ACB的大小；
（2）若∠A＝30°，AB＝4，求△BCD的周长．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝AB＝2，然后再根据已知可得AD＝BD＝CD＝2，从而利用三角形的周长公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，
∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°；
（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴BC＝AB＝2，
∵AD＝BD＝CD，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2，
∴△BCD的周长为6．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2022秋•开封期末）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用三角形的三边关系可得：20﹣8＜2m﹣2＜20+8，然后进行计算即可解答；
（2）分两种情况：当AB＝AC＝20时；当BC＝AC＝8时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．
∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，
解得：7＜m＜15；
∴m的取值范围为：7＜m＜15；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴分两种情况：
当AB＝AC＝20时，
∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；
当BC＝AC＝8时，
∵8+8＝16＜20，
∴不能组成三角形；
综上所述，△ABC的周长为48．
【点评】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
三．等腰三角形的判定（共3小题）
14．（2022秋•平桥区校级期末）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．
【解答】解：如图所示：
使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，
所以所有符合条件的点C的个数是6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
15．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
所以△ABC是等腰三角形，点C的个数为8个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
16．（2022秋•邳州市期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2022秋•潢川县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证△MEB和△NEC是等腰三角形，从而可得MB＝ME，NE＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+ME+EN+AN
＝AM+MB+CN+AN
＝AB+AC
＝3+4
＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
18．（2022秋•荆门期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝ 12 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DF＝DC，进而可得EB+DC＝ED+FG，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，
∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝4，ED＝8，
∴EB+DC＝EG+DF
＝ED+FG
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
五．等边三角形的性质（共1小题）
19．（2022秋•睢阳区期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4或36 ．
【分析】分两种情形：①当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．②当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D．分别求解即可．
【解答】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴AD＝AM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴AD＝AM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
六．等边三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝ 7 ．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠DEB＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，
∵DE＝2，
∴DM＝3，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝DM＝，
∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，
∴BC＝2BN＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质等知识，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键．
21．（2022秋•东洲区期末）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 400 ．
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．
【解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．
七．含30度角的直角三角形（共3小题）
22．（2022秋•白云区校级期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°
【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形为锐角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，
∴这个等腰三角形的底角是75°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，
∴这个等腰三角形的底角是15°；
综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
23．（2022秋•洪山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DCB．AD＝2DCC．AB＝4DCD．BD＝2AC
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD＝3DC，BD＝AC，BC＝4DC，AC＝2DC．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BD＝AC，
∴D不符合要求；
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边，是解题的关键．
24．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC．
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．
【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD＝DC＝BC，从而可得AD＝DC＝BD，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，再利用三角形的内角和定理可得∠B+∠C＝90°，最后根据垂直定义可得∠AEC＝90°，从而可得∠CAE+∠C＝90°，进而根据同角的余角相等即可解答；
（2）在Rt△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AC的长，然后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，
∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，
∴2（∠B+∠C）＝180°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∴∠CAE＝∠B；
（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，
∴AC＝2CE＝4，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，
∵∠B＝∠CAE＝30°，
∴AB＝AC＝4，
∴AB的长为4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
八．生活中的轴对称现象（共1小题）
25．（2022秋•高阳县校级期末）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
A．2步B．3步C．4步D．5步
【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步．
故选B．
【点评】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短的路线是解题的关键．
九．轴对称的性质（共2小题）
26．（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 3 个
【分析】依据大正方形的对称轴，即可画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形．
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
27．（2022秋•华容区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°B．α﹣45°C．αD．90°﹣α
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
一十．轴对称图形（共2小题）
28．（2022秋•海安市期末）观察如图的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
29．（2023•岳麓区校级三模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
一十一．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共8小题）
30．（2022秋•天河区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）
D．点C（﹣3，2）在第一象限内
【分析】分别根据点的几何意义；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．
【解答】解：A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是|﹣5|＝5，故本选项不合题意；
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2），故本选项符合题意；
D．C（﹣3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．
31．（2022秋•广宗县期末）若点A（a，3），B（2，﹣b）关于y轴对称，则点M（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，即可得到结论．
【解答】解：∵点A（a，3）、点B（2，﹣b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，﹣b＝3，
解得：a＝﹣2，b＝﹣3，
∴点M（a，b）在第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
32．（2022秋•扶沟县校级期末）已知点M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a﹣b＝ ﹣7 ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
33．（2022秋•灵宝市期末）在平面直角坐标系中，点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣1，2）关于y轴对称，则m+n＝ ﹣1 ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣1，2）关于y轴对称，
∴m+1＝1，1﹣n＝2，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴m+n＝0﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
34．（2022秋•辛集市期末）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点A（﹣2，3）按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1（﹣1，3），再将A1（﹣1，3）关于x轴对称得到A2（﹣1，﹣3），再将A2（﹣1，﹣3）关于y轴对称得到A3（1，﹣3）…依次类推．点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（ ）（注：“012”算3次变换）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点B（1，1）按序列“012”作变换，表示点B先向右平移一个单位得到B1（2，1），再将A1（2，1）关于x轴对称得到B2（2，﹣1），再将B2（2，﹣1）关于y轴对称得到B3（﹣2，﹣1）…依次类推，点（1，1）经过“012”变换得到点（﹣2，﹣1），点（﹣2，﹣1）经过“012”变换得到点（1，1），说明经过6次变换回到原来的位置，
100÷6＝16……4，
所以点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
35．（2022秋•金牛区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．﹣
【分析】根据新定义可得：有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），并根据y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．
【解答】解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴，
解得：k＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，新定义“k阶结伴数对”的理解和运用，能根据题意列出方程组是解此题的关键．
36．（2022秋•宁波期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（ ）
A．向左平移6个单位B．向右平移6个单位
C．向下平移8个单位D．向上平移8个单位
【分析】关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝对值即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴轴对称，
∴平移后的坐标为（3，﹣4），
∵横坐标增大，
∴点是向右平移得到，平移距离为|3﹣（﹣3）|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识点，用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数；点的左右移动只改变点的横坐标．
37．（2022秋•钦州期末）下列各点中，点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
一十二．作图-轴对称变换（共1小题）
38．（2022秋•盱眙县期末）△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．
（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标： A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1） ；
（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标： （a，2﹣b） ；
（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线l′的对称点Q′的坐标： （c，2m﹣d） ．
【分析】（1）分别作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据（1）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论；
（3）根据（2）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；
故答案为：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；
（2）由题可得，点P'的横坐标为a，
设点P'的纵坐标为y，则＝1，
解得y＝2﹣b，
∴点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为（a，2﹣b），
故答案为：（a，2﹣b）；
（3）由题可得，点Q′的横坐标为c，
设点Q'的纵坐标为y，则＝m，
解得y＝2m﹣d，
∴点Q（c，d）关于直线l′的对称点Q′的坐标为（c，2m﹣d）．
故答案为：（c，2m﹣d）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
一十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）
39．（2022秋•洪山区校级期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 30° ．
【分析】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．
【解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
40．（2022秋•邹城市校级期末）如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝ ．
【分析】在AC边上截取CM′＝BM，证明△CPM′≌△BPM可得PM′＝PM，得PM+PN＝PM′+PN，因为PM′+PN≥M′N，当NM′⊥AC时，NM′最小，可得NM′＝2，即PM+PN最小为2，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，根据等边三角形的性质可得PM′＝PM″，根据含30度角的直角三角形可得BM″的长，进而可得AB的长．
【解答】解：如图，在AC边上截取CM′＝BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠CBA＝60°，
∵P为BC中点，
∴CP＝BP，
在△CPM′和△BPM中，
，
∴△CPM′≌△BPM（SAS），
∴PM′＝PM，
∴PM+PN＝PM′+PN，
∵PM′+PN≥M′N，
当NM′⊥AC时，NM′最小，
∴NM′＝AM′＝2，即PM+PN最小为2，
如图，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，
∵△ABC是等边三角形，P为BC中点，
∴PM′＝PM″，∠PAM′＝30°，
∵AM′＝AM″＝2，
∴PM″＝PM′＝2×＝，
∵∠PBM″＝60°，
∴BM″＝，
∴AB＝AM″+BM″＝2+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握最短路径问题．