专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组（考题猜想易错必刷30题10种题型专项训练）（原卷版+解析版）

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不等式的性质
解一元一次不等式
一元一次不等式的应用
一元一次不等式组的整数解
一元一次不等式组的应用
不等式的解集
一元一次不等式的整数解
解一元一次不等式组
由实际问题抽象出一元一次不等式组
一次函数与一元一次不等式
一．不等式的性质（共5小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
【答案】C
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2
B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2
C．若x＞y，则2x＞2y
D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
【答案】B
【解答】解：A、∵x＞y，y＞2，
∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x＞y，
∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如果a＜b．那么3﹣2a ＞ 3﹣2b．（用不等号连接）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＜b，
两边同乘﹣2得：﹣2a＞﹣2b，
不等式两边同加3得：3﹣2a＞3﹣2b，
故答案为：＞．
4．设a＜0，且有|a|•x≤a，试化简：|x+1|﹣|x﹣3|＝ ﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＜0，
∴原不等式变形为﹣ax≤a，
∴x≤﹣1
∴|x+1|﹣|x﹣3|＝﹣（x+1）+（x﹣3）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
5．已知关于x、y的方程组求：（1）若3x+3y＝18，求a值；（2）若﹣5x﹣y＝16，求a值．
问题解决：
（1）王题解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①+②可得3x+3y＝3a+3，又因为3x+3y＝18，则a值为 5 ；
（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n得，再将③+④得：（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，⋯⋯请根据王磊的解题思路求出m、n及a的值．
问题拓展：
（3）已知关于x，y的不等式组，若x+5y＝2，求a的取值范围．
【答案】（1）5，
（2）m＝1，n＝﹣3，a＝﹣1．
（3）a＞1．
【解答】解：（1）①+②得：3x+3y＝3a+3，
∵3x+3y＝18，
∴3a+3＝18，
∴a＝5．
故答案为：5．
（2）∵（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，
∴，
∴m＝1，n＝﹣3，a＝﹣1．
（3）已知关于x，y的不等式组，
①×3得：3x+6y＞﹣3a+9④，
②×（﹣1）得：﹣2x﹣y＞﹣4a⑤，
④+⑤得：x+5y＞﹣7a+9，
∵x+5y＝2，
∴2＞﹣7a+9．
∴a＞1．
二．不等式的解集（共2小题）
6．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m≤1D．m＞1
【答案】C
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式，①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
m≤1，
故选：C．
7．如果关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＜﹣1C．m＞1D．m＞﹣1
【答案】B
【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
故选：B．
三．解一元一次不等式（共2小题）
8．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣3D．x＜﹣3
【答案】D
【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，
∴m＜0且﹣＝，
∴＝﹣＜0，
∵m＜0．
∴n＞0；
由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3，
所以x＜﹣3；
故选：D．
9．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则不等式＜1的解为 x＞﹣10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可知：不等式＜1可化为：[]＜1，
化简得：3x﹣4（x+1）＜6，即﹣x＜10，
即x＞﹣10，
所以，不等式的解集为x＞﹣10．
四．一元一次不等式的整数解（共1小题）
10．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 9≤a＜12 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤；
其正整数解为1，2，3，
则3≤＜4，
所以a的取值范围9≤a＜12．
五．一元一次不等式的应用（共5小题）
11．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9．如果|（x]|＝3，则x的取值范围为 3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2 ．
【答案】3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．
【解答】解：由题意可得，
当x＞0时，|（x]|＝（x]＝3，则3＜x≤4，
当x＜0时，|（x]|＝﹣（x]＝3，则﹣3＜x≤﹣2，
故答案为：3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．
12．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得：，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31﹣m＜2m，
解得：m＞，
∵m是正整数，
∴m最小值＝11，
设购买树苗总费用为W＝20m+5（31﹣m）＝15m+155，
∵k＞0，
∴W随m的增大而增大，
当m＝11时，W最小值＝15×11+155＝320（元）．
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
13．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数 4x+21人．
由题意得 4x+21＜55，
∴x＜8.5
1≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7
解得 7＜x≤9．
∴7＜x＜8.5．
因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．
当宿舍8间时，住宿生53人，
答：住宿生53人．
14．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．
那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；
（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 3≤x＜4 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
【答案】（1）4，﹣7；
（2）3≤x＜4；
（3）；
（4）﹣1或或1或2．
【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．
故答案为：4，﹣7．
（2）如果[x]＝3．
那么x的取值范围是3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，
那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．
解得：≤x＜2．
∵3x+1是整数．
∴x＝．
故答案为：．
（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵4a＝[x]+1，
∴a＝
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
∴﹣1≤[x]＜3，
∴[x]＝﹣1，0，1，2．
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1，
当[x]＝0时，a＝，x＝，
当[x]＝1时，a＝，x＝1，
当[x]＝2时，a＝，x＝2，
∴x＝﹣1或或1或2．
15．某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品．
（1）请用含x或y的代数式填空完成表：
（2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值．
（3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值．
【答案】（1）3y；3（60﹣x）；
（2）x的值为40；y的值为60．
（3）m的最大值为480，最小值为405．
【解答】解：（1）由题意可以填表如下：
故答案为：3y；3（60﹣x）．
（2）由题意可得，，
解得．
∴即x的值为40；y的值为60．
（3）设有x个A型包装袋包装甲类农产品，则有y＝2x个B型包装袋包装甲类农产品．
∵用于包装甲类的A，B型包装袋的数量之和不少于90个，
∴x+2x≥90，
∴x≥30．
∵90﹣2x≥0，
∴x≤45；
∴30≤x≤45，
∴m＝2x+3（60﹣x）+6x+5（ 90﹣2x）＝﹣5x+630，
∵﹣5＜0，
∴当30≤x≤45时，m随x增大而减小，
∴当x＝45时，m有小值405，
当x＝30时，m有最大值480，
∴m的最大值为480，最小值为405．
六．解一元一次不等式组（共3小题）
16．若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k≥2C．k＜1D．1≤k＜2
【答案】A
【解答】解：因为不等式组有解，k＜2．
故选：A．
17．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
求下列不等式的解集：（x+2）（x﹣3）＞0
我们知道：“两个有理数相乘，同号得正”，则：或解得：x＞3或x＜﹣2．
求下列不等式的解集：①；②．
【答案】见试题解答内容
【解答】①解：∵两个有理数相乘，异号得负，
∴或，
解得：空集或﹣1＜x＜5，
即不等式的解集为﹣1＜x＜5．
②解：﹣1＞0，
＞0，
即＞0，
∵两个有理数相乘，同号得正，
∴或，
解得：6＜x＜7或空集，
即不等式的解集为6＜x＜7．
18．解不等式组并写出它的正整数解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，
即不等式组的正整数解是1，2．
七．一元一次不等式组的整数解（共4小题）
19．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1B．a＜﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2＜a≤﹣1
【答案】C
【解答】解：如图，
由图象可知：不等式组恰有3个整数解，
需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．
故选：C．
20．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．5B．8C．9D．15
【答案】B
【解答】解：，
解不等式①得x≤k，
解不等式②得x＜7，
由题意得k＜7，
解关于y的方程2y＝3+k得，
y＝，
由题意得，≥1，
解得k≥﹣1，
∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数，
∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，
当k＝﹣1时，y＝＝1，
当k＝0时，y＝＝，
当k＝1时，y＝＝2，
当k＝2时，y＝＝，
当k＝3时，y＝＝3，
当k＝4时，y＝＝，
当k＝5时，y＝＝4，
当k＝6时，y＝＝，
∵为整数，且k为整数，
∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5，
∵﹣1+1+3+5＝8，
∴符合条件的所有整数k的和为8．
故选：B．
21．若不等式组的最大整数解与最小整数解的差为3，则m的值可能为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】C
【解答】解：，
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的最小整数解为2，
由题意得：
不等式组的最大整数解为5，
∴，
∴10＜m≤12，
故选C．
22．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
由①得：x≤3，
由②得：x＞a，
∴不等式的解集为：a＜x≤3，
∵关于x的不等式组有5个整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，3，
∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
23．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
【答案】C
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为：，
即．
故选：C．
九．一元一次不等式组的应用（共1小题）
24．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140，
解得：x＝50，
∴2x﹣10＝90．
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；
（2）由题意可得，
，
解得：20＜a≤22，
∵a是整数，
∴a＝21或22，
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；
（3）第一种方案共需费用：
22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元），
第二种方案共需费用：
22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元），
所以，第一种方案的总费用最少．
一十．一次函数与一元一次不等式（共6小题）
25．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ）
A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣2
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选：B．
26．如图直线l1：y＝x﹣1与l2：y＝ax+b的交点在y轴上，则不等式组的解集为（ ）
A．无解B．x＞﹣1C．0＜x＜1D．﹣2＜x＜1
【答案】C
【解答】解：∵x﹣1＜0的解集是x＜1，
从图象可知ax+b＜﹣1的解集是x＞0，
∴不等式组的解集为0＜x＜1，
故选：C．
27．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，
∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
28．如图，直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），那么不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是 1＜x＜2 ．
【答案】1＜x＜2．
【解答】解：∵直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），
∴不等式0＜mx+n的解集是：x＜2，不等式mx+n＜kx+b的解集是：x＞1，
∴不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2．
29．如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）．
（1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围；
（2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2），
∴当y1＜y2时，x＞2；
（2）将（2，2）代入y1＝﹣x+b，得b＝3，
∴y1＝﹣x+3，
∴A（6，0），B（0，3），
∴S△BOC＝×3×2＝3，
当点P与点B重合时，△OPC的面积为3，
此时，P（0，3）；
当点P在射线CA上时，点C为PB的中点，
设点P的坐标为（a，b），
则＝2，＝2，
解得a＝4，b＝1，
∴P（4，1），
综上所述，点P的坐标为（0，3）或（4，1）．
30．已知函数y＝其中m为常数，该函数的图象记为G，图象G交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）点A的坐标为 （m，0） （用含m的式子表示）；
（2）当点B的坐标为（0，2）时，m的值为 ﹣1或2 ；
（3）直线x＝2m与图象G交于点C，判断线段AB，OC的关系并证明．
【答案】（1）A（m，0）；（2）m＝﹣1或2；（3）当m≤0时，OC＝AB，AB⊥OC；当m＞0时，OC＝2AB，AB⊥OC．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝得2x﹣2m＝0或﹣x+m＝0，
解得x＝m，
∴A（m，0）；
故答案为（m，0）；
（2）把x＝0代入y＝，得y＝﹣2m或y＝m，
∵B（0，﹣2m）或（0，m），
∵点B的坐标为（0，2），
∴m＝﹣1或2；
故答案为﹣1或2；
（3）当m≤0时，OC＝AB，AB⊥OC；
当m＞0时，OC＝2AB，AB⊥OC．
①当m≤0时，
把x＝2m代入y＝﹣x+m，
解得，y＝﹣m，
∴C（2m，﹣m）．
当x＝0时，y＝2x﹣2m＝﹣2m，
∴B（0，﹣2m）．
∴CD＝OA，OD＝OB．
∵∠CDO＝∠A0B＝90°，
∴△OCD≌△ABO（SAS）．
∴AB＝OC，∠COD＝∠ABO．
∵∠COD+∠COB＝90°，
∴∠BHO＝90°，
∴AB⊥OC且AB＝OC．
②当m＞0时，
同理CD＝OD＝2m，OC＝2m，OA＝OB＝m，AB＝m．↓
∴OC＝2AB．
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠AHO＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴AB⊥OC且2AB＝OC．
综上所述，当m≤0时，OC＝AB，AB⊥OC；
当m＞0时，OC＝2AB，AB⊥OC．
包装袋型号
A
B
甲类农产品质量（千克）
2x
3y
乙类农产品质量（千克）
3（60﹣x）
5（90﹣y）
包装袋型号
A
B
甲类农产品质量（千克）
2x
3y
乙类农产品质量（千克）
3（60﹣x）
5（90﹣y）
A地
B地
C地
运往D地（元/立方米）
22
20
20
运往E地（元/立方米）
20
22
21