山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)，共8页。试卷主要包含了04，考试结束后，请将答题卡上交，已知，是第二象限的角，则，如图，，，线段，相交于点，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为
A．B．C．D．
2．若是不共线的向量，且，，，则
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
3．
A．B．C．D．
4．已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为
A．B．C．D．
5．已知，是第二象限的角，则
A．B．C．D．
6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为
A．B．C．D．
7．如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若，，则原四边形的周长是
A．
B．
C．
D．
8．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9．下列有关平行六面体的命题正确的是
A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
B．平行六面体的八个顶点在同一球面上
C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形
D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面
10．如图，，，线段，相交于点，则
A．
B．
C．
D．
11．相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为，弦，相交于点．且，则
A．
B．
C．当时，为定值
D．当时，四边形的面积最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数（），函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为，则_____________．
13．已知正三角形与正方形的中心为同一点，的边长为，则______________．
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知复数．
（1）求；
（2）若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．
16．（15分）
在等腰梯形中，，，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
17．（15分）
在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为，已知_________．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．
18．（17分）
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，
求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面
的高度为，求在转动一周的过程中，关于的
函数解析式；
（2）证明：；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．
（参考数据：）
2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测高一数学答案
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．
1-8：BABA DCDA
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题6分，共18分．
9．AD； 10．AC； 11．BCD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．； 13．； 14．．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
解：（1）由题意知：2分
所以4分
所以6分
（2）将代入方程，得8分
所以，，因为，
所以，且11分
解得，，13分
（15分）
解：过作于1分
等腰梯形中易知2分
又，故可得3分
如图所示：
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，

（1）则，4分
所以，5分
故6分
因为与垂直，所以，7分
解得8分
（2）设，则，10分
则11分
则12分
对，其对称轴13分
故其最小只能为14分
所以的最小值为15分
17．（15分）
解：（1）选择条件①：因为，
在中，由余弦定理得2分
所以3分
由余弦定理得4分
因为5分
所以6分
选择条件②：因为，所以，
由正弦定理得.2分
即，3分
则，4分
因为，所以5分
因为，所以6分
（2）因为，所以，即7分
即8分
又因为9分
所以10分
由于，所以的外接圆半径为11分
由正弦定理可得，12分
可得13分
由余弦定理可得14分
所以所以的周长为15分
18. （17分）
解：（1）向量的相伴函数为1分
当时，2分
又，则3分
所以4分
故
5分
（2）因为
6分
7分
故函数的相伴特征向量8分
则与方向相同单位向量为9分
（3）因为函数的相伴特征向量，
所以11分
12分
设点，又，，
所以13分
若，则14分
即，15分
因为，故，
又，故当且仅当时，成立16分
故在的图象上存在一点，使得17分
19．（17分）
解：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，
以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系
设时，游客甲位于点2分
以为终边的角为3分
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为4分
由题意可得，5分
（2）令，7分
所以8分
10分
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为，
则甲、乙距离地面的高度差13分
利用，
可得，
，14分
当（或），即（或）时，的最大值为，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为17分