2023-2024学年山东省青岛第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合交集求解即可；
【详解】因为
所以
故选：C
2．已知命题p：，方程有解，则为（ ）
A．，方程无解B．，方程有解
C．，方程无解D．，方程有解
【答案】A
【分析】利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知，命题p：“，方程有解”的否定为：“，方程无解”.
故选：A
3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念判断即可.
【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应，
选项A中集合中2对应的数有两个，故错误；
选项B中集合中3没有对应的数，故错误；
选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误；
选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，
故选：D
4．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案.
【详解】解：因为二次函数的对称轴为，
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确；
故选：D.
5．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域为，
由得，
所以对于函数，
由，解得，
所以的定义域为.
故选：D
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断AD，利用作差法判断BC.
【详解】对于A：当时，，显然不等式不成立，故A错误；
对于B：因为，，则，
所以，故B错误；
对于C：由得，又即，所以，故C错误；
对于D：因为，，所以，所以，
即，故D正确.
故选：D
7．已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数图象对称轴方程，再结合给定单调区间及单调性，求解不等式即得.
【详解】由函数是偶函数，得函数的图象关于y轴对称，
而函数的图象可由函数的图象向左平移2个单位而得，
因此函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增，
于是，即，整理得，解得，
所以所求x的取值范围为.
故选：C
8．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.
【详解】函数在上单调递增，，则，即，
由，得，即，
又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，因此或，
解，当时，，，此时不等式组无解，
当时，，，不等式组的解为，
当时，，，则有，解得，即，
因此不等式组的解为，
解，由，得，则，不等式组无解，
所以“立冬函数”的x的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
二、多选题
9．下列各组函数中，不能表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【分析】求出函数的定义域，在定义域相同时比较对应法则，逐项判断即可．
【详解】对于A，定义域为，定义域为，
故不是同一个函数；
对于B，定义域为，定义域为，且，
为同一函数；
对于C，定义域为，定义域为，故不是同一个函数；
对于D，定义域为，定义域为，故不是同一个函数；
故选：ACD
10．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增D．函数有4个单调区间
【答案】ABD
【分析】比较，的函数值大小，求得函数的解析式，作出其图象，结合图像，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意，，函数，
由于，
则时，；
时，，
则，作出其图象如图：

对于A，结合图像可知，的图象关于y轴对称，则为偶函数，A正确；
对于B，结合以及图象可知有3个解，
即，B正确；
对于C，结合图像可知函数在区间上单调递减，在上单调递增，C错误；
对于D，由图像可知区间上单调递减，在上单调递增，
即函数有4个单调区间，D正确，
故选：ABD
11．关于函数性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于对称D．在定义域上是增函数
【答案】AC
【分析】根据函数的定义域、值域、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于函数，
由解得或或，
若，则，不符合，所以，
若，则，符合，
若，则，符合，
由，解得或，
此时，
综上所述，的定义域是，A选项正确.
由上述分析得，
由于，所以是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于对称，C选项正确.
当时，，单调递增.
当时，，单调递增.
所以的值域为，所以B选项错误.
的单调递增区间是、，
但不能说在定义域上单调递增，所以D选项错误.
故选：AC
12．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，的最小值为9．
B．若，的最小值为4
C．若，的最小值为
D．若，的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，则，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为9，故A正确；
若，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以取不到最小值，故B错误；
若，则，所以，
由，，以及可知，，则当时，
即时，有最小值为，故C正确；
因为
，设，则，
又，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是减少变量，再利用二次函数的性质求出其最值，D选项的关键是利用换元法，设，再利用基本不等式求出最值.
三、填空题
13．设函数，若，则实数 ；
【答案】或
【分析】由分段函数定义域解相应方程可得答案.
【详解】当，；
当，.
故答案为： 或 .
14．设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ；
【答案】
【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案.
【详解】由已知的：，则，
因为，且，
如图：
则，即，则实数m的取值范围为.
故答案为：
15．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为 ；
【答案】31
【详解】，
时，，，
时，不等式化为，或，∴，
所以或，
又，
所以，它的子集有32个，非空子集有31个，
故答案为：31.
16．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得，求得的取值范围，然后利用函数的单调性求得的取值范围.
【详解】依题意，，，且，，
，
由得，
所以的取值范围是.
所以在上单调递增，
当时，取得最大值，则，
而在上单调递减，
当时，取得最小值，则，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】求解一个表达式的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性等等.利用基本不等式，要注意的是“一正二定三相等”；利用函数的单调性，要注意的是熟练判断各类函数的单调性.
四、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求和；
(2)若是成立的充分不必要条件，这样的实数m是否存在？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，或
(2)存在实数m, 实数m的取值范围是
【分析】（1）解不等式得到，，再计算交集和补集即可.
（2）确定，集合A是集合B的真子集，得到不等关系，解得答案.
【详解】（1）得，故集合，
把代入B得，解得，故集合，
故，或；
（2），且，得集合，
是成立的充分不必要条件，故集合A是集合B的真子集，
则有解得，故实数m的取值范围是.
五、证明题
18．设函数是增函数，对于任意都有．
(1)证明是奇函数；
(2)关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先用赋值法求出，再根据奇函数定义可证明；
（2）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可．
【详解】（1）∵对于任意都有，
令，则；再令，则
∴，
所以函数是奇函数．
（2）令，则，
∴不等式可化为，
即，又函数在上是增函数，
∴，即，
又该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴.
六、解答题
19．已知，．
(1)关于x的方程有两个正根，求实数a的取值范围；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）方程有两个正根，，解得答案.
（2）考虑，，三种情况，根据对应方程的根的关系得到不等式的解.
【详解】（1）方程有两个正根，设为，，则，解得.
（2）①当时，不等式可化为，故；
当时，设方程的两根为、，
则，，，
②若，则，，故或，
③若，
（i）当，即时，，故，
（ii）当，即时，不等式无解．
综上所述：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或．
七、应用题
20．新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价固定成本生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【答案】(1)；
(2)当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元
【分析】（1）分、分别求解即可；
（2）根据、及二次函数、基本不等式求解即可.
【详解】（1）解：当时，；
当时，．
所以；
（2）解：当时，，
当时，y取得最大值，最大值为500万元；
当时，，
当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元．
综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元
八、解答题
21．已知幂函数是其定义域上的增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在使得的最小值为0
【分析】（1）直接由幂函数的定义、性质列出方程求解即可.
（2）由题意得，换元得，，通过对对称轴的位置进行分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，
解得或
当时，在定义域上不为增函数，
当时，在为增函数，
所以．
（2），令，因为，所以，
则令，，对称轴为．
①当，即时，函数在上为增函数，
，解得满足题意．
②当，即时，在上递减，在上递增，
所以，
解得，不符合题意，舍去．
③当，即时，函数在上为减函数，
，
解得．不符合题意，舍去．
综上所述：存在使得的最小值为0．
22．已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求实数b的值；
(2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性；
(3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在区间上是减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数性质求解参数并检验；
（2）利用单调性的定义按照步骤证明即可；
（3）由题意函数在上的值域为函数在上的值域的子集，利用单调性求解的值域，分类讨论利用二次函数的单调性求解值域，然后列不等式求解即可.
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以.
经检验为奇函数，所以.
（2）由（1）可得，下面证明函数在区间上是减函数.
证明：任取，则有
.
再根据，可得，，，，
又，所以，即，
所以函数在区间上单调递减.
（3）若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，则当时，，，
所以，记函数在区间内的值域为.
当时，在上单调递减，
则，，得在区间内的值域为．
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，则，，
所以在区间内的值域为，
因为，所以，所以，所以，
当时，
（i）当时，，在上单调递减，且，
则，，
得在区间内的值域为，
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
得在区间内的值域为，
所以，该不等式组无解；
（iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，实数m的取值范围为.