2024年湖南省怀化市溆浦县葛竹坪镇中学中考数学一模试卷

这是一份2024年湖南省怀化市溆浦县葛竹坪镇中学中考数学一模试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A．极差是10B．众数是90分
C．平均数是91分D．中位数是90分
2．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝5
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．若∠AOC：∠BOE＝3：7，则∠BOD的度数为（ ）
A．18°B．24°C．27°D．35°
4．（3分）长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．三种视图都相同B．主视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同D．左视图与俯视图相同
5．（3分）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．如图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．
6．（3分）2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价x%销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）
A．b＝a（1﹣2x%）B．b＝a（1﹣x%）2
C．b＝a﹣a（1﹣x%）2D．b＝a﹣a（1﹣2x%）
7．（3分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＝1C．a＞1D．a≤1
8．（3分）如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切．若BC＝80cm，CD＝20cm，则此轮胎的半径为（ ）
A．40cmB．45cmC．50cmD．60cm
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），那么下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．（3分）在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条OA、OB的夹角∠AOB＝120°，点O为和所在圆的圆心，点C、D分别在OA、OB上，经测量，OA＝27cm，AC＝18cm，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（ ）
A．243πcm2B．240πcm2C．216πcm2D．108πcm2
二、填空题（共24分）
11．（3分）因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝ ．
12．（3分）“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，在1号染色体内，缠绕了大约245520000个核苷酸碱基对，大概包含了人类细胞中8%的DNA，将数据245520000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）如果m、n是一元二次方程x2﹣x＝2的两个实数根，那么多项式n2﹣mn+m的值为 ．
14．（3分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
17．（3分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），（﹣1，b）．设点P（x，y1）Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时x的取值范围为 ．
18．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，点M，N分别是AD，CD边上的动点，点P是对角线AC上一点，PM+PN的最小值是 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）化简：，并从﹣2＜x＜2中选一个你喜欢的整数代入求值．
20．（9分）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C种类的扇形所对的圆心角的度数为 ；
（3）某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
21．（9分）某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．
（1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？
（2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？
22．（8分）为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱DD′的夹角∠D′AB＝37°，支撑臂AB＝50cm，∠ABC＝72°．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82）
（1）求B点与支撑柱DD′的距离；
（2）若AD＝280cm，支撑臂BC＝70cm，求路灯C离地面的距离．
23．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O，⊙O交线段AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
24．（6分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接BE、DF，求证：四边形BFDE为平行四边形．
25．（10分）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）与周次x（x是正整数，1≤x＜5）的关系可近似用函数y＝x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）从第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg，y与周次x（5≤x≤7）的关系可近似用函数y＝﹣+bx+5刻画．
（1）求a，b的值．
（2）若前五周该蔬菜的销售量m（kg）与每周的平均销售价格y（元/kg）之间的关系可近似地用如图2所示的函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：
①求m与y的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额w（元）最大？最大销售额是多少？
（3）若该蔬菜第7周的销售量是100kg，由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少n%（n＞0）．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，请通过计算估算出a的整数值．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；②如图2，若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当QB＝QC时，求点Q的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）如图，在中考体育模拟测试中，某校10名学生体育模拟测试成绩如图所示，对于这10名学生的体育模拟测试成绩，下列说法错误的是（ ）
A．极差是10B．众数是90分
C．平均数是91分D．中位数是90分
【解答】解：A、∵100﹣85＝15，
∴极差是15，
故A符合题意；
B、∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；故此选项不符合题意；
C、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；
故此选项不符合题意；
D、∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝5
【解答】解：，
两边同乘x（x﹣2），得3x＝2（x﹣2），
整理、解得：x＝﹣4．
检验：将x＝﹣4代入x（x﹣2）≠0，
∴方程的解为x＝﹣4．
故选：A．
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．若∠AOC：∠BOE＝3：7，则∠BOD的度数为（ ）
A．18°B．24°C．27°D．35°
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°＝∠AOC+∠BOE，
∵∠AOC：∠BOE＝3：7，
∴，
∴∠BOD＝∠AOC＝27°．
故选：C．
4．（3分）长沙宁乡出土的“四羊方尊”是我国商代青铜器工艺品中杰出的代表作之一，现收藏于中国国家博物馆．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．三种视图都相同B．主视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同D．左视图与俯视图相同
【解答】解：“四羊方尊”的俯视图与主视图，左视图不同，故A，C，D不符合题意；
“四羊方尊”的主视图，左视图相同，故B符合题意；
故选：B．
5．（3分）对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．如图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．
【解答】解：∵函数图象经过点（2，0），
∴2k+b＝0，
即，故D选项正确，不符合题意；
∵函数图象不经过第二象限，
∴k＞0，b＜0，故A选项正确，不符合题意；
∴kb＜0，故B选项正确，不符合题意；
根据题意无法确定k+b的正负，故C选项错误，符合题意；
故选：C．
6．（3分）2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为a元的商品降价x%销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价x%，此时售价降低了b元，则（ ）
A．b＝a（1﹣2x%）B．b＝a（1﹣x%）2
C．b＝a﹣a（1﹣x%）2D．b＝a﹣a（1﹣2x%）
【解答】解：根据题意得，b＝a﹣a（1﹣x%）2，
故选：C．
7．（3分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＝1C．a＞1D．a≤1
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故选：D．
8．（3分）如图是长沙某4S店新能源车轮胎展厅陈列的轮胎正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切．若BC＝80cm，CD＝20cm，则此轮胎的半径为（ ）
A．40cmB．45cmC．50cmD．60cm
【解答】解：连接OA，过O点作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵轮胎正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝80cm，AD∥BC，
∴OE⊥AD，
∴CD＝EF＝20cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝40cm，
设轮胎的半径为r，则，OA＝OE＝r，OF＝r﹣20，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF2+AF2＝OA2，
即（r﹣20）2+402＝r2，
解得：r＝50，
∴轮胎的半径是50cm．
故选：C．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），那么下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），
∴当m＞2时，ax2+bx+c﹣m＜0，
∴当m＞2时，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，④正确；
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，与直线y＝﹣1有两个交点，
∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，
设函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1两个交点的横坐标为x1，x2，函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1两个交点的横坐标为x3，x4
∵＝1，＝1，
∴x1+x2＝2，x3+x4＝2，
∴x1+x2+x3+x4＝4，
∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4，⑤正确；
故选：C．
10．（3分）在源远流长的岁月中，小小的扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条OA、OB的夹角∠AOB＝120°，点O为和所在圆的圆心，点C、D分别在OA、OB上，经测量，OA＝27cm，AC＝18cm，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（ ）
A．243πcm2B．240πcm2C．216πcm2D．108πcm2
【解答】解：由题意可知：∠AOB＝∠COD＝120°，
∵OA＝27cm，AC＝18（cm），
∴OC＝OA﹣AC＝27﹣18＝9（cm），
∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积
＝
＝243π﹣27π
＝216π（cm2），
∴贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为216cm2，
故选：C．
二、填空题（共24分）
11．（3分）因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝ 3m（n﹣2）2 ．
【解答】解：原式＝3m（n2﹣4n+4）＝3m（n﹣2）2，
故答案为：3m（n﹣2）2
12．（3分）“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章．据报道，在1号染色体内，缠绕了大约245520000个核苷酸碱基对，大概包含了人类细胞中8%的DNA，将数据245520000用科学记数法表示为 2.4552×108 ．
【解答】解：245520000＝2.4552×108，
故答案为：2.4552×108．
13．（3分）如果m、n是一元二次方程x2﹣x＝2的两个实数根，那么多项式n2﹣mn+m的值为 5 ．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣x＝2的两个实数根，
∴把x＝n代入x2﹣x＝2，得n2＝2+n，
则m+n＝1，mn＝﹣2
∴n2﹣mn+m＝2+n﹣mn+m＝2+（n+m）﹣mn＝2+1﹣（﹣2）＝5，
故答案为：5．
14．（3分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是 2034 ．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣5＝0的实数根，
∴a2+3a﹣5＝0，
∴a2＝5﹣3a，
∴a2﹣3b+2020＝5﹣3a﹣3b+2020＝2025﹣3（a+b），
∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2﹣3b+2020＝2025﹣3×（﹣3）＝2034．
故答案为：2034．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 2 ．
【解答】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝＝3，
∴，
∴FE＝2，
故答案为：2．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 15° ．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AKD＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAO＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
17．（3分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），（﹣1，b）．设点P（x，y1）Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时x的取值范围为 x＞2或﹣1＜x＜0 ．
【解答】解：∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是；
∵点P（x，y1），Q（x，y2）分别是两函数图象上的点．

当y1＞y2时x的取值范围是x＞2或﹣1＜x＜0．
故答案为：x＞2或﹣1＜x＜0．
18．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，点M，N分别是AD，CD边上的动点，点P是对角线AC上一点，PM+PN的最小值是 ．
【解答】解：如图，找到M关于AC的对称点M′，连接PM′，M′N，过点B作BE⊥DC，垂足为E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴PM＝PM′，
∴PM′+PN≥M′N，
∵BE⊥DC，
∴M′N最小的值为BE的长，
∵∠B＝120°，
∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EBC＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∴PM+PN的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19．（6分）化简：，并从﹣2＜x＜2中选一个你喜欢的整数代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝﹣；
当x取﹣1，0，2时，原式无意义，
把x＝1代入得：
原式＝﹣
＝﹣3．
20．（9分）“茶颜悦色”是长沙的地标美食名片之一，某“茶颜悦色”分店为了了解该地青年朋友对去年销量较好的“三季虫”（A）、“人间烟火”（B）、“声声乌龙”（C）、“幽兰拿铁”（D）四种不同口味的喜爱情况，对该地青年进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题．
（1）a＝ 2 ，b＝ 45 ；
（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C种类的扇形所对的圆心角的度数为 72° ；
（3）某“茶颜悦色”分店决定从A、B、C、D四种口味中，随机选取两种口味作为门店特色口味推销给消费者，请用列表法或画树状图法，求A、B两种口味同时被选中的概率．
【解答】解：（1）抽样调查的人数为12÷30%＝40（人），
∴a＝40×5%＝2，
∴B种类的人数为40﹣12﹣8﹣2＝18，
∴b%＝×100%＝45%，
∴b＝45．
故答案为：2；45．
（2）补全条形统计图如图所示．
C种类的扇形所对的圆心角的度数为．
故答案为：72°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中A、B两种口味同时被选中的结果有2种，
∴A、B两种口味同时被选中的概率为．
21．（9分）某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．
（1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？
（2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？
【解答】解：（1）设A品牌运动装的采购单价是x元/件，B品牌运动装的采购单价是y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A品牌运动装的采购单价是200元/件，B品牌运动装的采购单价是220元/件；
（2）设该商家采购A品牌运动装m件，则采购B品牌运动装（2m+10）件，
根据题意得：，
解得：18≤m≤20，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商家共有3种采购方案，
方案1：采购A品牌运动装18件，B品牌运动装46件；
方案2：采购A品牌运动装19件，B品牌运动装48件；
方案3：采购A品牌运动装20件，B品牌运动装50件．
22．（8分）为优化社区风貌，提升“夜长沙”气质，某小区购进一款新型路灯，如图是路灯架造型示意图．已知支撑臂AB与支撑柱DD′的夹角∠D′AB＝37°，支撑臂AB＝50cm，∠ABC＝72°．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82）
（1）求B点与支撑柱DD′的距离；
（2）若AD＝280cm，支撑臂BC＝70cm，求路灯C离地面的距离．
【解答】解：（1）如图，由题意可得：BD′⊥DD′，∠D′AB＝37°，AB＝50cm，
∴，
∴BD′＝30（cm），
∴B点与支撑柱DD′的距离为30cm；
（2）如图，过B作BK∥DD′交DE于K，过A作AS⊥BK于S，过C作CT⊥BK于T，过C作CE⊥DK于E，
则∠ABS＝∠D′AB＝37°，四边形AD′BS，四边形TKEC为矩形，
∴SK＝AD＝280（cm），AD′＝BS，TK＝CE，
∵BD′⊥DD′，∠D′AB＝37°，AB＝50cm，
∴AD′＝AB•cs∠D′AB＝50×0.80＝40（cm），
∴BS＝40cm，
∴BK＝BS+SK＝40+280＝320（cm），
∵∠ABC＝72°，∠ABS＝∠D′AB＝37°，
∴∠TBC＝72°﹣37°＝35°，
∵BC＝70cm，
∴BT＝BC•cs∠TBC＝70×0.82＝57.4（cm），
∴CE＝TK＝320﹣57.4＝262.6（cm）．
∴路灯C离地面的距离为262.6cm．
23．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O，⊙O交线段AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADO＝∠AHO＝90°，AD∥BE，
∴∠DAO＝∠CEO，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠CAO，
∴∠DAO＝∠CAO，
∴OD＝OH，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠DAH＝45°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴OC＝OD＝OH，
∵AB＝2+2，
∴OD+＝2+2，
∴OD＝2，
∵∠DAO＝∠HAO＝DAH＝22.5°，
∴∠AOD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴阴影部分的面积＝△ADO的面积﹣扇形DOF的面积＝＝2．
24．（6分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接BE、DF，求证：四边形BFDE为平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，∠E＝∠F，
∴ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
25．（10分）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）与周次x（x是正整数，1≤x＜5）的关系可近似用函数y＝x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y（元/kg）从第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg，y与周次x（5≤x≤7）的关系可近似用函数y＝﹣+bx+5刻画．
（1）求a，b的值．
（2）若前五周该蔬菜的销售量m（kg）与每周的平均销售价格y（元/kg）之间的关系可近似地用如图2所示的函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：
①求m与y的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额w（元）最大？最大销售额是多少？
（3）若该蔬菜第7周的销售量是100kg，由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少n%（n＞0）．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，请通过计算估算出a的整数值．
【解答】解：（1）由图1可知，点（1，4.4）在函数y＝x+a上，
则4.4＝×1+a，得a＝4，
∵函数y＝﹣x2+bx+5过点（5，6），
∴6＝﹣×52+5b+5，得b＝0.7，
即a，b的值分别为4，0.7；
（2）①m＝﹣25y+250；
②当1≤x≤4时，
∵m＝﹣25y+250，，
∴m＝﹣10x+150，
∴，
∵x是正整数，∴当x＝2或3时，w有最大值624；
当x＝5时，，m＝﹣25y+250＝100，
当5≤x≤6时，∵m＝100，，
∴，
∵x是正整数，5≤x≤6，∴当x＝5时，w有最大值600；
综上所得：第2周或第3周销售额最大，最大销售额是624元；
（3）由题意得：[100（1﹣a%）+5]×5（1+0.8n%）＝5×100，
解得：（舍去），
∵≈5.4，
∴n≈﹣10+5×5.4＝17．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；②如图2，若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当QB＝QC时，求点Q的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）①如图1，
作PD⊥AB于D，交AC于E，连接AP，CP，作PF⊥AC于F，
∵A（﹣5，0）C（0，5），
∴OA＝OC＝5，直线AC的解析式为：y＝x+5，
∵∠AOC＝90°，
∴AC＝5，
∴要使PF最大，只需△APC的面积最大，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），E（m，m+5），
∴PE＝（﹣m2﹣4m+5）﹣（m+5）＝﹣m2﹣5m，
∴S△PAC＝PE•OA＝+，
∴当m＝﹣时，S△PAC最大＝，
由得，
，
∴PF＝，
∴点P到直线AC距离的最大值为：；
②∵抛物线的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣2，
∴设Q（﹣2，t），
由﹣x2﹣4x+5＝0得，
x1＝﹣5，x2＝1，
∴B（1，0），
由QB2＝QC2得，
（﹣2﹣1）2+t2＝（﹣2）2+（t﹣5）2，
∴t＝2，
∴Q（﹣2，2）；
（3）如图2，
当▱ACNM时，
∵A（﹣5，0），C（0，5），N的横坐标为：x＝﹣2，
∴xM＝﹣7，
∴当x＝﹣7时，y＝﹣（﹣7）2+4×7+5＝﹣16，
∴M（﹣7，﹣16），
当▱ACMN时（图中▱ACM′N′），
此时xM′＝（﹣2）+5＝3，
∴当x＝3时，y＝﹣9﹣12+5＝﹣16，
∴M′（3，﹣16），
当▱AMCN（图中▱AM″CN′′），
此时xM″＝（﹣5）﹣（﹣2）＝﹣3，
∴当x＝﹣3时，y＝﹣9+12+5＝8，
∴M″（﹣3，8），
综上所述：M（﹣7，﹣16）或（3，﹣6）或（﹣3，8）．