2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷

这是一份2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．中秋节晚上一定能看到月亮
B．明天的气温一定会比今天的高
C．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖
D．地球上，上抛的篮球一定会下落
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，则⊙O的直径AB为（ ）
A．5cmB．4cmC．6cmD．8cm
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2023B．2023C．﹣2024D．2024
7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
8．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
10．（3分）已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程x2﹣13x+42＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或18B．17C．18D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为 ．
13．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼 条．
14．（3分）已知a是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+2a＝ ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径画弧，过点C作CE∥AB，交于点E，则的值为 ．
三、解答题（共5小题，共52分.解答应写出过程）
17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时
19．（10分）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h），其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（80，2），B（m，1）．
（1）求k与m的值；
（2）受天气影响，若行驶速度不得超过120km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
20．（12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．
21．（14分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
故选：C．
2．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．中秋节晚上一定能看到月亮
B．明天的气温一定会比今天的高
C．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖
D．地球上，上抛的篮球一定会下落
【解答】解：A、可能发生，是随机事件；
B、可能发生，是随机事件；
C、可能发生，是随机事件；
D、是一定会发生的事件，符合题意；
故选：D．
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
【解答】解：∵y＝2（x+3）7+1，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，2）．
故选：B．
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣7×1×3＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，则⊙O的直径AB为（ ）
A．5cmB．4cmC．6cmD．8cm
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC＝CD＝DA＝4cm，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的直径AB为8cm．
故选：D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2023B．2023C．﹣2024D．2024
【解答】解：将x＝1代入ax2+bx﹣2＝0，得a+b﹣4＝6，
∴a+b＝4，
∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣4＝2023，
故选：B．
7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
8．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣2，
∴a＝1＞0，开口向上，
∴当x＜﹣4时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大，
∵1＜2，
∴y4＞y1，
∵1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣4）＝1，
∴y1＞y4，
∴y2＞y1＞y4，
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°（ ）
A．64°B．61°C．62°D．60°
【解答】解：∵∠BOD的度数为122°，
∴∠A＝BOD＝61°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，
故选：B．
10．（3分）已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程x2﹣13x+42＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或18B．17C．18D．不能确定
【解答】解：∵三角形的两条边分别是3和8，设第三边为a，
∴7﹣3＜a＜6+7，
即5＜a＜11，
解方程x2﹣13x+42＝4，得：x1＝6，x7＝7，
∴该方程的两个根都在a的取值范围内，
∴当x＝6时，该三角形的周长为：3+8+6＝17，
当x＝3时，该三角形的周长为：3+8+4＝18．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，
故答案为（3，﹣2）．
12．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为 （2，2） ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）4+2，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣5）2+2的顶点坐标为（4，2）．
故答案为：（2，2）．
13．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼 2000 条．
【解答】解：估计池塘里有鱼100÷＝2000（条），
故答案为：2000．
14．（3分）已知a是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+2a＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴a2﹣4a﹣1＝0，
∴a3﹣2a＝1，
∴﹣a2+2a＝﹣1；
故答案为：﹣5．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上 1 ．
【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，
∵∠D＝90°，
∴B'D＝＝＝3，
∴B'C＝CD﹣B'D＝1，
故答案为：1．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径画弧，过点C作CE∥AB，交于点E，则的值为 ．
【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，
过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠FAC＝45°，
∴△AFC为等腰直角三角形，
设AF＝x，则CF＝x，
∴AC＝＝，
∴AB＝，
∵AE、AB均为⊙的半径，
∴AE＝2x，
∴EF＝＝，
∴CE＝，
∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，
∴四边形FAGE为矩形，
∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，
∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，
∴BE＝＝，
∴＝．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，共52分.解答应写出过程）
17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象过点A（1，n），
∴n＝﹣8+5，
∴n＝4，
∴点A坐标为（4，4），
∵反比例函数y＝（k≠0）过点A（4，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）联立，
解得或，
即点B的坐标（5，1），
若一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠6）的值，
则1＜x＜4．
19．（10分）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h），其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（80，2），B（m，1）．
（1）求k与m的值；
（2）受天气影响，若行驶速度不得超过120km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
【解答】解：（1）把A（80，2）代入，
即2＝，
解得k＝160，
则反比例函数的解析式是，
把（m，6）代入得m＝160，
∴k的值为160，m的值为160；
（2）把v＝120代入解析式，
解得t＝，
∴汽车通过该路段最少需要h．
20．（12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∵CD⊥AC，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，
∴△ACD∽△BDE，
∴＝，
∴CD•BE＝AD•DE．
21．（14分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（2，m），
∴m＝2×1+2＝8，
∴A（1，2），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）由题意，点M，n），n），
∵7＜n＜6，
∴＜0，
∴S△BMN＝×（||）×n＝+）×n＝﹣2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大．