2024年江苏省连云港外国语学校中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

这是一份2024年江苏省连云港外国语学校中考数学适应性试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.8的相反数是( )
A. 18B. −18C. −8D. 8
2.下列图形中，属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=8，S△CDO=2，则S正六边形ABCDEF的值是( )
A. 20
B. 30
C. 40
D. 随点O位置而变化
5.我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为( )
A. 3x+13x=100B. 3x+13(100−x)=100
C. 13x+3(100−x)=100D. 3x+13×100−x=100
6.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是( )
A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7. 16的平方根是______．
8.分解因式：2x2−4x+2= ．
9.若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m)，则m的值为______．
10.已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是______cm．
11.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA：AA′=1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为______．
12.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度.
13.如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯，都是斜边在x轴上，叙边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,1)，A3(0,0)则依图中所示规律，A2024的坐标为______．
14.如图，直线l1与反比例函数y=3x(x>0)的图象相交于A，B两点，线段AB的中点为点C，过点C作CD⊥x轴于点D.直线l2过原点O和点C.若直线l2上存在点P(m,n)，满足∠APB=∠ADB，则m+n的值为______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：−12024+(− 22)0−2cs60°+| 5−3|．
16.(本小题6分)
解方程组：x+y=72x−y=2．
17.(本小题6分)
先化简(x−1−3x+1)÷x2−4x2+2x+1，然后从−1，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
18.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE=DE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=10，tan∠BAC=2，求四边形ABCD的面积．
19.(本小题10分)
为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
20.(本小题10分)
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
21.(本小题10分)
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m，∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
(1)DE= ______．
(2)设塔AB的高度为h(单位：m)；
①用含有h的式子表示线段EA的长，则EA= ______.(结果保留根号)；
②求塔AB的高度(tan27°取0.5、 3取1.7，结果取整数)．
22.(本小题10分)
2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
23.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．
24.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
(1)如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
(2)如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
(3)如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：8的相反数是−8．
故选：C．
直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、C、D中的图形不是中心对称图形，故ACD不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故B符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】B
【解析】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，
过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，
∵∠FED=120°，FE=ED，
∴∠EFD=∠FDE，
∴∠EDF=12(180°−∠FED)
=30°，
∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．
∴∠CDF=120°−∠EDF=90°．
同理∠AFD=∠FAC=∠ACD=90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∵S△AFO=12FO×AF，
S△CDO=12OD×CD，
在正六边形ABCDEF中，AF=CD，
∴S△AFO+S△CDO=12FO×AF+12OD×CD
=12(FO+OD)×AF
=12FD×AF
=10，
∴FD×AF=20，
DM=cs30°DE= 32x，
DF=2DM= 3x，
EM=sin30°DE=x2，
∴S正六边形ABCDEF=S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC
=AF×FD+2S△EFD
=x⋅ 3x+2×12 3x⋅12x
= 3x2+ 32x2
=20+10
=30，
故选：B．
正六边形ABCDEF的面积=S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD= 3AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．
本题考查正多边形和三角形的面积，解本题关键掌握正六边形的性质和解直角三角形．
5.【答案】B
【解析】解：设大和尚有x人，则小和尚有(100−x)人，
由题意得：3x+13(100−x)=100．
故选：B．
设大和尚有x人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，找到等量关系是正确列出方程关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．
设⊙P与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】
解：设⊙P与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，PE/​/OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE=OF=PE=PF=5，
∵A(0,8)，
∴OA=8，
∴AE=8−5=3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC=OA=8，BC/​/OA，AC/​/OB，
∴EG/​/AC，
∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
∴CG=AE=3，EG=OB，PG⊥CD，
∴CD=2CG=6，
∴DB=BC−CD=8−6=2，
∵PD=5，DG=CG=3，
∴PG=4，
∴OB=EG=5+4=9，
∴D(9,2)．
故选：A．
7.【答案】±2
【解析】解：由于 16=4，
所以 16的平方根是± 4=±2，
故答案为：±2．
根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
8.【答案】2(x−1)2
【解析】解：2x2−4x+2，
=2(x2−2x+1)，
=2(x−1)2．
先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
9.【答案】5
【解析】解：将直线y=x向上平移3个单位，得到直线y=x+3，
把点(2,m)代入，得m=2+3=5．
故答案为：5．
先根据平移规律求出直线y=x向上平移3个单位的直线解析式，再把点(2,m)代入，即可求出m的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
10.【答案】12
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得12⋅2π⋅r⋅13=65π，
解得r=5，
所以圆锥的高= 132−52=12(cm)．
故答案为：12．
设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到12⋅2π⋅r⋅13=65π，解得r=5，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.【答案】1：3
【解析】解：∵OA：AA′=1：2，
∴OA：OA′=1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′=OA：OA′=1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
根据题意求出OA：OA′=1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
12.【答案】45
【解析】解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°，
∴∠B=∠BAE=108°，
由图形的折叠可知，∠BAM=∠EAM=12∠BAE=54°，
∠BAF=∠FAB′=12∠BAM=27°，
∠AFB′=∠AFB=180°−∠B−∠BAF=180°−108°−27°=45°．
故答案为：45．
由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．
本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．
13.【答案】(2,−1012)
【解析】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，
当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数，
因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为−1012．
故答案为：(2,−1012)．
根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半相反数，然后确定出点A2024的坐标即可．
本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
14.【答案】5+ 5或3− 5
【解析】解：如图，作△ABD的外接圆，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB=∠ADB满足条件．
由题意A(1,3)，B(3,1)，
∵AC=BC，
∴C(2,2)，
∵CD⊥x轴，
∴D(2,0)，
∵AD= 12+32= 10，AB= 22+22=2 2，BD= 12+12= 2，
∴AD2=AB2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴BD⊥AB，
∵OC⊥AB，
∴OC/​/BD，
∵AC=CB，
∴AF=FD，
∴F是AD的中点，F(32,32)，
∵直线OC的解析式为y=x，
∴P(m,n)，
∵PF=FA= 102，OF=3 22，
∴OP=3 22− 102，
∴m=32− 52，
∴m=n=32− 52，
∴m+n=3− 5，此时P(32− 52,32− 52)，
根据对称性可知，点P关于点C的对称点P′(52+ 52,52+ 52)，
∴m+n=5+ 5，
综上所述，m+n的值为5+ 5或3− 5，
故答案为：5+ 5或3− 5．
如图，作△ABD的外接圆，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB=∠ADB满足条件．想办法求出点P的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题
15.【答案】解：原式=−1+1−2×12+3− 5
=−1+3− 5
=2− 5．
【解析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16.【答案】解：x+y=7①2x−y=2②，
①+②得3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，得3+y=7，
解得y=4，
∴方程组的解是x=3y=4．
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
17.【答案】解：(x−1−3x+1)÷x2−4x2+2x+1
=[(x−1)(x+1)x+1−3x+1]⋅(x+1)2x2−4
=x2−4x+1⋅(x+1)2x2−4
=x+1，
∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，x2−4≠0，
∴x≠−1，x≠2，
将x=1代入上式：
原式=1+1=2．
【解析】先根据分式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
18.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
在△BOE与△DOE中，
OB=ODOE=OEBE=DE
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠BEO=∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
BE=DE∠AEB=∠AEDAE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC=OBAO=2，
∴设AO=x，BO=2x，
∴AB= AO2+BO2= 5x=10，
∴x=2 5，
∴AO=2 5，BO=4 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO=4 5，BD=2BO=8 5，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4 5×8 5=80．
【解析】(1)连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到BO=OD，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论；
(2)解直角三角形得到AO=2 5，BO=4 5，根据菱形的性质得到AC=2AO=4 5，BD=2BO=8 5，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)18÷36%=50(人)，
选择“采艾叶”的学生人数为：50−8−18−10=14(人)，
补全条形统计图如图所示：
(2)1000×850=160(人)，160÷30≈6(间)，
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要6间．
【解析】(1)从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有18人，占被调查人数的36%，根据频率=频数总数进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
(2)求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率=频数总数即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
20.【答案】(1)13；
(2)根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是59．
【解析】解：(1)甲选择A景点的概率为13，
故答案为：13；
(2)见答案．
(1)由概率公式直接可得答案；
(2)先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】3m (3 3+h)m
【解析】解：(1)由题意得：
∠CED=90°，
∠DCE=30°，
DE=12CD=3m，
故答案为：3m；
(2)①由题意得：
∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB=AC=h m，
由(1)得：
CE= CD2−DE2
= 62−32
=3 3(m)，
∴EA=CE+AC=(3 3+h)m；
故答案为：(3 3+h)m；
②如图，过D作DF⊥AB于F，
∴四边形DEAF是矩形，
∠BDF=27°，
∴AF=DE=3m，
DF=EA=(3 3+h)m，
∴BF=(h−3)m，
在Rt△BDF中，
tan∠BDF=BFDF，
即tan27°=h−3h+3 3，
解得：h≈11，
∴塔AB的高度为11m．
(1)由直角三角形的特征得DE=12CD，即可求解；
(2)①由等腰三角形的性质得AB=AC=h，由勾股定理得CE= CD2−DE2，求出CE，即可求解；
②过D作DF⊥AB于F，由矩形的性质可求DF=EA=(3 3+h)m，BF=(h−3 3)m，由正切函数得tan∠BDF=BFDF，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质，能熟练利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，
根据题意得：500x+10=400x，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=40+10=50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
(2)设购买y件A款文化衫，则购买(300−y)件B款文化衫，
根据题意得：50y+40(300−y)≤1480050y+40(300−y)≥14750，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
(3)设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w=50×0.7y+(40−m)(300−y)=(m−5)y+300(40−m)，
∵(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m−5=0，
∴m=5．
答：m的值为5．
【解析】(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，利用数量=总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入(x+10)中，可求出A款文化衫的单价；
(2)设购买y件A款文化衫，则购买(300−y)件B款文化衫，利用总价=单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
(3)设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同(即w的值与y值无关)，利用一次函数的性质，可得出m−5=0，解之即可得出m的值．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM=90°，
∵∠CEA=90°，
∴AM//CD，
∴∠CDB=∠APB，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB．
(2)解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC=90°，
∵∠CAB+∠∠C=90°，∠CDB=∠CAB，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC=8，
∵AB=10，
∴BD=6，
∵∠BAD+∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，
∴∠APB=∠DAB，
∵∠BDA=∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴ABPB=BDAB，
∴PB=AB2BD=1006=503，
∴DP=503−6=323．
故答案为：323．
【解析】(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4，
∵∠ACB=90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A′CB=90°，A′B=AB=5，
Rt△A′BC中，A′C= A′B2−BC2=4，
∴AA′=AC+A′C=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A′BC′=∠ABC，BC′=BC=3，
∵CE//A′B，
∴∠A′BC′=∠CEB，
∴∠CEB=∠ABC，
∴CE=BC=3，
Rt△ABC中，S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，AC=4，BC=3，AB=5，
∴CD=AC⋅BCAB=125，
Rt△CED中，DE= CE2−CD2= 32−(125)2=95，
同理BD=95，
∴BE=DE+BD=185，C′E=BC′+BE=3+185=335，
∵CE//A′B，
∴BMCE=BC′C′E，
∴BM3=3335，
∴BM=1511;
(3)DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP//A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC=BC′，∠ACB=∠A′C′B=90°，AC=A′C′，
∴∠BCC′=∠BC′C，
而∠ACP=180°−∠ACB−∠BCC′=90°−∠BCC′，
∠A′C′D=∠A′C′B−∠BC′C=90°−∠BC′C，
∴∠ACP=∠A′C′D，
∵AP//A′C′，
∴∠P=∠A′C′D，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC，
∴AP=A′C′，
在△APD和△A′C′D中，
∠P=∠A′C′D∠PDA=∠A′DC′AP=A′C′，
∴△APD≌△A′C′D(AAS)，
∴AD=A′D，即D是AA′中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA′C的中位线，
∴DE=12A′C，
要使DE最小，只需A′C最小，当A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，
∴DE最小为12A′C=1．
【解析】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
(1)先求出AC=4，再在Rt△A′BC中，求出A′C= A′B2−BC2=4，从而可得AA′=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，先证明CE=BC=3，再根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，求出CD，进而可得DE和BE及C′E，由CE//A′B得BMCE=BC′C′E，即可得BM=1511;
(3)过A作AP//A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，先证明∠ACP=∠A′C′D=∠P，得AP=AC=A′C′，再证明△APD≌△A′C′D得AD=A′D，DE是△AA′C的中位线，DE=12A′C，要使DE最小，只需A′C最小，此时A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，即可得DE最小值为12A′C=1．