福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭教研片区2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

这是一份福建省莆田市仙游县郊尾、枫亭教研片区2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题．，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题．（40分每小题4分）
1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9B. ﹣9C. D. ﹣
【答案】A
解析：∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
因此﹣9的相反数是9．
故选A．
2. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列说法正确的是
A. 为了了解2022年足球世界杯的收视率，选择全面调查
B. 为了审核语文教科书书稿中的错别字，选择抽样调查
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是必然事件
D. 已知一组数据为1，2，3，3，5，则这组数据的中位数为3
【答案】D
解析：解：A、关于收视率的调查一般不适合选择全面调查，故A不正确；
B、教科书书稿中错别字的审核需要选择全面调查，故B不正确；
C、“经过有交通信号灯的路口，可能遇到绿灯”是随机事件，故C不正确；
D、这组数据中中间的那个数是3，中位数就是3，故D正确．
故选：D．
4. 2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船载人飞行任务取得圆满成功．3位航天员进驻核心舱，进行了为期约为261000分钟的驻留，创造了中国航天员连续在轨飞行时长新纪录．将数据261000用科学记数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：，
故选：C．
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a2+a4＝a6B. （a+b）2＝a2+b2
C. ﹣a6÷a2＝﹣a3D. （﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【答案】D
解析：解：与指数不同，不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故选D．
6. 如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.
7. 如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A. 65°B. 50°C. 40°D. 25°
【答案】C
解析：解：连接OC，
∵BC与半⊙O相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．
故选：C
8. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解不等式2x－5＜1得：x＜3，
解不等式3x＋1≥2x得：x≥－1，
∴不等式组的解集为：－1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
9. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
解析：解：关于的一元二次方程有实数根，
∴ ，
∴，即且．
故选：C．
10. 若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ②④C. ①③D. ①③④
【答案】C
解析：解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点，
，
整理得：，
，
故①正确；
，
函数关于对称，
，开口向上，
当时，y随x的增大而增大；
故②错误；
，
当时，，则恒过定点，
故③正确；
若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是，
则，，
，
即：，
解得：，
故④错误，
故选：C．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 分解因式：_____．
【答案】
解析：，
故答案为：a（a+2）．
12. 已知一组数据，，，，的众数为3，则平均数为______．
【答案】2
解析：解：∵一组数据，，，，的众数为3，
∴，
∴这组数的平均数是：，
故这组数的平均数为：2，
故答案为：2．
13. 如图，直线，相交于点，.若，则的度数是______.
【答案】120°
14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
解析：解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
15. 圆在中式建筑中有着广泛应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径__________
【答案】1.3
解析：解：设圆的半径为，
由题意可知，，，
中，，，
所以，
解得．
故答案为：1.3
16. 如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
【答案】2．
解析】解：延长BC，交x轴于点D，
设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x−a，2y)，
∴2y(x−a)=2，
∴xy−ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
解析：解：
．
18. 已知：E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE．
【答案】证明见解析.
解析：试题分析：根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠DCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得结论．
试题解析：∵AF=CE．∴AE=CF，
∵在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠CDF=∠ABE．
19. 化简求值：的值，其中．
【答案】，
解析：解： 原式
，
当时，
原式．
20. 为了提高学生的艺术素养，某校艺术组开设了艺术观察力、艺术想象力、艺术鉴赏力、艺术行动力等课程（分别记为A、B、C、D），供学生选择性的学习．小颖同学对参与学习的同学开展调查，得到如图统计图．

（1）请根据统计图问答下列问题
①此次抽样调查的人数是 人．
② ； ．
（2）小聪和小明准备报名参加其中的一门艺术课程，求他们恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的概率，请用列表法或者画树状图说明．
【答案】（1）200；40，30
（2）
【小问1解析】
解：①组20人，占，
此次抽样调查的人数为：（人，
故答案为：200；
②组是80人，总人数为200人，
，
，
组占，
组人数为：（人，
，
故答案为：40，30；
小问2解析】
解：画树状图如下：

一共有16种等可能的结果，其中两人都选择艺术鉴赏力这门课程有1种可能，
（都选择艺术鉴赏力这门课程）．
21. 如图，在等腰中，，过点作交于点，
（1）尺规作图：作的外接圆（保留痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：是的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1解析】
解：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，如图，即为所求；
【小问2解析】
证明：连接，
，
，
是直径，
是的半径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
22. 劳动创造美好生活．某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗．据了解，市场上每棵种棵苗的价格是种树苗倍，用元在市场上购买的种树苗的数量比种树苗的数量购买的少棵．
（1）求种树苗的价格；
（2）学校决定购买，两种树苗共棵，且种树苗的数量不超过种树苗的数量．树苗公司为支持该校活动，对，两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）种树苗的单价是元；
（2）本次购买最少花费元
【小问1解析】
设种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元，
答：种树苗的单价是元．
【小问2解析】
）设购买棵种树苗，则购买棵种树苗，
根据题意得：，
解得：，
设学校本次购买树苗共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值，
答：本次购买最少花费元．
23. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若为的切线．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
证明：如图1，连接．
是的直径，
，
，
，
．
，
∵为的切线，
∴，∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2解析】
解：如图2，设交于点H．
，
，
，．
，
．
设，则．
，，
，
，
解得，
，
，
．
24. 已知是直角三角形，．
（1）如图1，若，取的中点，连接，则的值是______；
（2）在（1）的条件下，在的延长线上截取，连接，将绕点顺时针旋转，设旋转角为，当点在同一直线上时，如图2，求的长；
（3）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转至，连接．当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1解析】
解：过点作于，

，，
，，
点是的中点，
，
∴，
，
，
∴，
故答案为：；
【小问2解析】
解：如图2，过点作于，

，，点是的中点，
，，
∴，
∴；
【小问3解析】
解：如图3，在的右侧以为直角顶点作等腰直角，连接，

，，，
∴，
，
，
∴，
将绕着点逆时针旋转至，
，，
，
，
．
25. 如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
图1 图2
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，若的内心恰好在y轴上，求出点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移三个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，连接MN．分别交x轴、y轴于点E、F，若，求证：直线MN经过一定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1解析】
解：把点和点分别代入解析式，得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为；
【小问2解析】
作点关于轴的对称点，连接并延长交抛物线于点，点为所求的点，如图1，
，，
的内心在轴上，
在中，令，则，
故点的坐标为，
设直线的解析式为，把点、的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
点的坐标为；
【小问3解析】
证明：如图2：过点作于点，过点作轴，
将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，
抛物线的解析式为：，
点，都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，
设点的坐标为，，点的坐标为，，
，，，，
设直线的解析式为，代入得：
，
得，
则，，
，，
，
，
，
得：，
得：，
整理得：，
得，
由图象可知，
，
，
，
当 时，，
直线经过一定点．