2023-2024学年江苏省扬州市各名校九下一模数学易错题强化训练（含答案）

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A．8B．﹣8C．﹣9D．9
2．（2023•高邮市一模）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E在线段OD上，若DE＝2OE，连接AE、BE，则△ABE的面积（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023•广陵区一模）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
5．（2023•宝应县一模）已知点A（a，b），B（4，2）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，则ab有（ ）
A．最大值﹣9B．最大值9C．最小值﹣9D．最小值9
6．（2023•宝应县一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM、PN，则所有满足∠MPN＝45°的点P有（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023•仪征市一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，，点D是AB的中点，点E在线段AC上，，则的值为（ ）
A．或B．C．或D．或
二．填空题（共13小题）
8．（2023•江都区一模）函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
9．（2023•江都区一模）面积为36的平行四边形ABCO在平面直角坐标系中如图所示，反比例函数为常数，k＞0，x＞0）的图象经过点A与BC的中点D，则k＝ ．
10．（2023•江都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），点C在线段AB上，且，则点C的坐标为 ．
11．（2023•高邮市一模）已知点（1，m），（2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数）的图象上．若a＜0，则m n．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（2024•南京模拟）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝ °．
13．（2023•广陵区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1⋅y2⋅y3≥0时，m的取值范围是 ．
14．（2023•宝应县一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P＝38°，则∠ACB＝ °．
15．（2023•宝应县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点D是与点B不重合的动点，以BD为一边作正方形BDEF．设BD＝d1，点E、F与点C的距离分别为 d2 d3，则d1+d2+d3的最小值为 ．
16．（2023•邗江区一模）如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A、B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，若AE＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
17．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．
18．（2023•仪征市一模）一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根是x1和x2，则x1•x2的最大值为 ．
19．（2023•仪征市一模）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是 ．
20．（2023•定远县二模）如图，将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到曲线C2，点A是曲线C2上的一点，点B在直线y＝x上，连接AB、OA，若AB＝OA，则△AOB的面积为 ．
三．解答题（共4小题）
21．（2023•江都区一模）【初步感知】（1）如图1，点A，B，C，D均在小正方形网格的格点上，则＝ ；
【问题解决】（2）求tan15°的值；
方案①：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，作AD平分∠BAC交BC于D；…
方案②：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，过点B作BD⊥AC，垂足为D；…
请你选择其中一种方案求出tan15°的值（结果保留根号）；
【思维提升】（3）求sin18°的值；如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．求sin18°的值（结果保留根号）．
22．（2023•江都区一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率＝利润/成本）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
（3）花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
23．（2023•高邮市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在AC的延长线上，PQ⊥AB于点Q，交BC于点E，CD是⊙O的切线，交PQ于点D．
（1）判断△DCE的形状，并说明理由；
（2）若CD＝AC＝2，求OQ的长度．
24．（2023•广陵区一模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
（1）当﹣2≤x≤1时，下列函数有界的是 （只要填序号）；
①y＝2x﹣1；②y＝﹣；③y＝﹣x2+2x+3．
（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；
（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为，求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0，
∴y2＝2x﹣4≥0，
∴2x﹣4≥0，
∴x≥2，
∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8，
∵（x+2）2≥0，x≥2，
∴x＝2时最小值是8．
故选：A．
2．【解答】解：设则D（a，0），
∵B为线段AC中点，DE＝2OE，
∴，，
∴，
∴，，，，
如图，连接OB，
∴S△ABE＝S梯形ADOC﹣S△ADE﹣S△BOE﹣S△BOC＝24﹣4﹣4﹣9＝7．
故选：C．
3．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵AB＝6，AC＝8，
∴CD≤8，
∴当CD与AC重合时，CD最长为8，
此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，
∴BC＝＝10，
∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：C．
4．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），
则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM＝A′C，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3+2．
∴OM的最大值＝+1．
故选：A．
5．【解答】解：∵点A（a，b），B（4，2）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵4k+3＝2，
解得k＝﹣，
∵开口向下，ab有最大值，
∴ab＝﹣＝9，
故选：B．
6．【解答】解：如图，在BC边上取点P2，使BP2＝AN＝2，连接NP2，MP2，
∵NB＝4，AM＝4，
∴NB＝AM，
∵∠MAN＝∠NBP2＝90°，
∴△MAN≌△NBP2（SAS），
∴MN＝NP2，∠AMN＝∠BNP2，
∵∠ANM+∠AMN＝90°，
∴∠ANM+∠BNP2＝90°，
∴△P2MN是等腰直角三角形，
∴∠MP2N＝45°，
作△P2MN的外接圆交网格于P1、P3、P4、P5，
根据圆周角定理，得∠MP1N＝∠MP3N＝∠MP4N＝∠MP5N＝∠MP2N＝45°，
故选：C．
7．【解答】解：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝，
∴，
如图，取AC的中点E1，连接DE1，
则DE1是△ABC的中位线，
∴DE1∥BC，，
此时，；
如图，在AC上取一点E2，使DE1＝DE2，过点D作DF⊥AC，
∵DE1＝DE2，
∴△AE1E2为等腰三角形，
∴E1F＝E2F，
∵DE1∥BC，∠B＝90°，
∴∠C＝∠DE1F，∠A+∠C＝90°，
∵∠FDE1+∠DE1F＝90°，
∴∠FDE1＝∠A，
∴tan∠FDE1＝tanA＝，
设E1F＝E2F＝a，则E1E2＝2a，
在Rt△DFE1中，tan∠FDE1＝，
∴DF＝2a，
在Rt△DFE1中，＝，
∴BC＝2DE1＝，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴AB＝2BC＝a，
在Rt△ABC中，，
∴AE1＝＝5a，
∴AE2＝AE1﹣E1E2＝3a，
∴．
综上，的值为或．
故选：A．
二．填空题（共13小题）
8．【解答】解：∵函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，
∴当k+1≠0时，（﹣2）2﹣4（k+1）×1≥0，
解得k≤0且k≠﹣1，
当k+1＝0时，y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，此时k＝﹣1，
由上可得，k的取值范围是k≤0，
故答案为：k≤0．
9．【解答】解：分别过点A、D作AM⊥x轴，DN⊥x轴于点M、N，连接OB、OD，则∠AMO＝∠DNC＝90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，且面积等于36，
∴OA∥BC，，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠DCN，
∴△AMO∽△DNC，
∴，
∴，
∵点D是边BC的中点，
∴，，
∵反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象经过点A与BC的中点D，
∴，
∴，
解得k＝24，
故答案为：24．
10．【解答】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线垂足分别为E，D，F，过点B作BG⊥AE于点G，交CF于点H，则CF∥AE，BH⊥CF，BD＝HF＝EG，
∵点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），
∴BD＝HF＝EG＝1，AE＝4，BG＝4，
∴AG＝3，
设点C的坐标为（m，n），则CF＝n，OF＝m，
∴CH＝n﹣1，BH＝m+1，
∵，
∴，
∵CF∥AE，
∴△BHC∽△BGA，
∴，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
11．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+2ax+3，
∴该抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴a＜0．
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴m＞n，
故答案为：＞．
12．【解答】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4＝×360°＝108°，
∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．
故答案为：54．
13．【解答】解：∵二次函数为y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，
∴y1＝（1﹣m）（﹣m﹣1），y2＝（2﹣m）（﹣m），y3＝（3﹣m）（1﹣m），
∵y1⋅y2⋅y3≥0，
∴（1﹣m）（﹣m﹣1）（2﹣m）（﹣m）（3﹣m）（1﹣m）≥0，
∴（1﹣m）2（m+1）m（m﹣2）（m﹣3）≥0，
∵（1﹣m）2≥0，
∴（m+1），m，（m﹣2），（m﹣3）的负数有偶数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，
当负数有0个时，
m﹣3≥0，
∴m≥3；
当负数有2个时，
m≥0且m﹣2≤0，
∴0≤m≤2；
当负数有4个时，
m+1≤0，
∴m≤﹣1；
综上，m的取值范围为：m≤﹣1或0≤m≤2或m≥3，
故答案为：m≤﹣1或0≤m≤2或m≥3．
14．【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣38°＝142°，
∴∠ADB＝∠AOB＝71°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣71°＝109°．
故答案为：109．
15．【解答】解：连接AD，CF，CE，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BD＝BF，∠DBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBF﹣∠DBC，
即∠ABD＝∠CBF，
在△ABD与△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD＝CF，
∵d1+d2+d3＝BD+CE+CF＝AD+DE+CE，
当A、D、E、C在同一直线上时，d1+d2+d3最小即为AC，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝AB＝2，
故答案为：2．
16．【解答】解：
由作图得：MN垂直平分AB，设MN交AB于F，
则：AF＝AB，∠AFE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AF＝AEcsA＝，
∴AB＝2，
在菱形ABCD中，有AD＝AB＝2，
过点D作DH⊥AB于H，
在Rt△ADH中，AH＝AD＝，
∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×××＝6，
故答案为：6．
17．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝；
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC长的取值范围是4＜BC≤；
故答案为：4＜BC≤．
18．【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个根是x1和x2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，x1•x2＝k，
解得：k≤1，
∴x1•x2的最大值为1．
故答案为：1．
19．【解答】解：取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，
则AD＝BD＝AB，∠AHD＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
由旋转得：BF＝BE，∠EBF＝60°，
∴∠EBC+∠CBF＝60°，
∵∠EBC+∠DBE＝60°，
∴∠CBF＝∠DBE，
∵AD＝BD＝AB＝4，
∴BC＝BD，
∴△BCF≌△BDE（SAS），
∴CF＝DE，
当且仅当DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE＝DH＝AD＝2为DE的最小值，
∴CF的最小值为2．
故答案为：2．
20．【解答】解：若将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，
则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，
∴旋转后点A落在曲线C1上，点B落在x轴上，
设点A，B的对应点分别是A'，B'，
过点A'作A′D⊥x轴于点D，连接OA'，A'B'．
∵AB＝OA，
∴A'B'＝OA'，
∴B'D＝DO，
∴S△AOB＝S△A′OB′＝2S△OA′D＝2×＝6；
故答案为：6．
三．解答题（共4小题）
21．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵AD＝5，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠D＝∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴∠BAC＝∠D+∠ABD，即，
∴，
故答案为：；
（2）选方案①：作AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DM⊥AB垂足为M，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴DM＝DC，，
设AB＝2a，CD＝CM＝x，
∵，，
∴BC＝a，，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴AC•BC＝AC•CD+AB•DM，
∴，
∴，
∵，
∴；
选方案②：过点B作BD⊥AC，垂足为D，设AB＝AC＝2a，
∵，，
∴BD＝a，，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠ACB＝75°，
∵∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝15°，
∴；
（3）如图所示，设AB＝AC＝2a，作BE平分∠ABC交AC于点E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝36°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝36°，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵∠3＝∠1+∠A，
∴∠3＝72°，
∴∠3＝∠C，
∴BC＝BE，
同理：AE＝BE，
∴BC＝AE，
设AE＝BC＝x，
∴，
2a（2a﹣x）＝x2，
4a2﹣2ax＝xx2，
解之得，（舍去负值），
∴，
过点B作BD⊥AC垂足为D，
∴∠C+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝18°，
∵BC＝BE，
∴，
∵，
∴．
22．【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：当x＝60时，y＝240，当x＝70时，y＝180，
∴，
解之得，
∴y＝﹣6x+600；
（2）设每天利润为w元，由题意得，
w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）（﹣6x+600）＝﹣6（x﹣75）2+3750，
又∵，
∴x≤76，
∴50≤x≤76，
∵﹣6＜0，
∴当x＝75时，w最大＝3750，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）设w′表示扣除捐款后的日利润，
w′＝（﹣6x+600）（x﹣50﹣n）
＝﹣6x2+（900+6n）x﹣30000﹣600n，
∵在50≤x≤76（x为整数）范围内，w′随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得n＞1，
∵n＜2，
∴1＜n＜2．
故答案为：1＜n＜2．
23．【解答】解：（1）△DCE是等边三角形，理由如下：
如图：连接OC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，
∴AB是⊙O的直径，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ECD＝90°﹣30°＝60°，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴∠BEQ＝60°，
∴∠CED＝∠BEQ＝60°，
∴∠CED＝∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴，
∵△DCE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴，
∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，
∴，
∴．
24．【解答】解：（1）①当﹣2≤x≤1时，函数y＝2x﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣5，当x＝1时，y＝1，
∴|y1﹣y2|≤|1﹣（﹣5）|＝6，故y＝2x﹣1在﹣2≤x≤1时是有界函数；
②y＝﹣；③y＝﹣x2+2x+3．
②∵y＝﹣的x不等于0，
∴函数y＝﹣在﹣2≤x≤1时没有最大值和最小值，
∴函数y＝﹣在﹣2≤x≤1时不是有界函数；
③当x＝1时，y＝0，当x＝0时，y＝3，当x＝﹣2时，y＝﹣5，
∴|y1﹣y2|≤|3﹣（﹣5）|＝8，故y＝﹣x2+2x+3在﹣2≤x≤1时是有界函数；
故答案为：①③；
（2）由函数y＝（k+1）x﹣2在m≤x≤m+2时的界值不大于2，
∴y最大值﹣y最小值≤2，
当k+1＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝m时，y最小值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最大值＝（m+2）（k+1）﹣2，
∴（m+2）（k+1）﹣2﹣[m（k+1）﹣2]≤2，
∴﹣1＜k≤0，
当k+1＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝m时，y最大值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最小值＝（m+2）（k+1）﹣2，
∴m（k+1）﹣2﹣[（m+2）（k+1）﹣2]≤2，
∴﹣2≤k＜﹣1，
综上所述，k的取值范围为﹣1＜k≤0或﹣2≤k＜﹣1．
（3）y＝x2+2ax﹣3＝（x+a）2﹣3﹣a2，
当x＝﹣a时，y＝﹣3﹣a2，当x＝a时，y＝3a2﹣3，当x＝a+2时，y＝3a2+8a+1，
①当﹣a≤a≤a+2时，a≥0，
此时，当x＝a时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，
∴y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝3a2﹣3，
∴3a2+8a+1﹣（3a2﹣3）＝，解得a＝﹣（舍去）．
②当a≤﹣a≤a+2时，﹣1≤a≤0，
当﹣≤a≤0时，y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝﹣3﹣a2，
∴3a2+8a+1﹣（﹣a2﹣3）＝，解得a＝﹣或a＝﹣（舍去）．
当﹣1≤a≤﹣时，y最大值＝3a2﹣3，y最小值＝﹣3﹣a2，
3a2﹣3﹣（﹣a2﹣3）＝，解得a＝﹣或a＝（舍去）．
③当a≤a+2≤﹣a时，a≤﹣1，
y最小值＝3a2+8a+1，y最大值＝3a2﹣3，
∴3a2﹣3﹣（3a2+8a+1）＝，解得a＝﹣（舍去）．
综上所述，a的值为﹣或﹣．
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