2023-2024学年江苏省常州市各名校月考八下数学易错题强化训练（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市各名校月考八下数学易错题强化训练（含答案），共23页。试卷主要包含了若x＝﹣3，则的值为　 　，如图，直线l等内容，欢迎下载使用。

1．（2022•日照一模）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4B．k＞﹣4C．k＜4且k≠﹣4D．k＞﹣4且k≠4
2．（2023春•溧阳市期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若x1＜x2＜0，则下列关于y1、y2大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
3．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
4．（2023春•常州期末）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，下列说法正确的是（ ）
A．四边形ADEF不一定是平行四边形
B．当DE⊥BC时，四边形ADEF是矩形
C．当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形
D．当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF是正方形
5．（2023春•常州期末）将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共7小题）
6．（2023春•溧阳市期末）顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，则＝ ．
7．（2023春•溧阳市期末）已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为 ．
8．（2023春•溧阳市期末）若x＝﹣3，则的值为 ．
9．（2023春•溧阳市期末）如图，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC∥x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数的图象上，则k＝ ．
10．（2023春•常州期末）矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置．若AB＝2，则EG＝ ．
11．（2023春•常州期末）已知点A（a，m）、B（b，n）在反比例函数的图象上，且a＜b，mn＜0，则m n（填“＞”或“＜”）．
12．（2023春•常州期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F、G、H是各边上的点，M、N分别是EH、GF的中点．当EF∥BC，GH∥AB时，MN＝ ．
三．解答题（共6小题）
13．（2023春•溧阳市期末）某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品．该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完．接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元．已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了20%．
（1）求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
（2）若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了20%，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
14．（2023春•溧阳市期末）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．
（1）＝ ；直线AO与直线BE所夹锐角的度数为 °；
（2）将△OEC绕点C旋转到如图2所示，请探究（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）若正方形边长为2，在旋转过程中，当A、E、O三点共线时，请直接写出S△ABE的值．
15．（2023春•溧阳市期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标 ；
（2）点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形OCDE的顶点C为（4，0），顶点E在y轴上，函数（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积．
16．（2023春•常州期末）如图，一次函数的图象l与y轴交于点A，点B（6，m）在l上，C是反比例函数图象上的一点，四边形OABC是平行四边形．
（1）求m、k的值；
（2）点D（3，n）在l上．
①判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
②△OCD的面积是 ．
17．（2023春•常州期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式．继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法．
示例：将分式分离常数．
．
（1）示例中，m＝ ；
（2）参考示例方法，将分式分离常数；
（3）探究函数的性质：
①x的取值范围是 ，y的取值范围是 ；
②当x变化时，y的变化规律是 ；
③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图象上所有“整数点”的坐标．
18．（2023春•常州期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+b（m＜0）的图象在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为∁A、∁B、∁P．
（1）如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k＝8．
SA＝ ，SA SP（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是 ；
（2）如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m＝﹣1，b＝4．
∁A＝ ，∁A ∁P．（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，∁P的变化规律是 ．
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图象交于点G．若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：，
k﹣（2x﹣4）＝2x，
k﹣2x+4＝2x，
4x＝k+4，
x＝，
∵方程的解为正数，
∴k+4＞0，
∴k＞﹣4，
∵x≠2，
∴≠2，
∴k≠4，
∴k＞﹣4且k≠4，
故选：D．
2．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）中k＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）均在第三象限，
∴y1＞y2．
故选：A．
3．【解答】解：连接AC，作CG⊥AD于点G，则∠CGD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝60°，
∴AB＝CB＝AD＝CD＝6，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠CAF＝60°，CB＝CA＝CD＝6，DG＝AG＝AD＝×6＝3，
∴CG＝＝＝3，
∵CF≥CG，
∴CF≥3，
∴CF的最小值是3，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∴EF的最小值为3，
故选：D．
4．【解答】解：如图，连接DF，
A．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，故A选项不符合题意；
B．∵四边形ADEF是平行四边形，
若DE⊥BC，∠DEC＝90°，∠DEF≠90°，
∴四边形ADEF不是矩形，故B选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF＝AB，DE＝AC，
若AB＝AC，则FE＝DE，
∴四边形ADEF是菱形，故C选项符合题意；
D．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴四边形ADEF不是正方形，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是1，
故选：A．
二．填空题（共7小题）
6．【解答】解：连接AC、BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵F、G分别为BC、CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EF＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠E＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
设正方形ABCD的面积为4a2，
∴AB＝BC＝2a，
∴BE＝BF＝a，
∴EF＝a，
∴EF2＝2a2，
∴＝＝．
故答案为：．
7．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：×x×y＝5．
即y＝
故答案为：y＝．
8．【解答】解：∵x＝﹣3，
∴＝
＝＝＝1．
9．【解答】解：如图，延长DE交y轴于点F，
当x＝0时，y＝3，
∴直线l：与y轴相交于点B（0，3），
当y＝0时，x＝4，
∴直线l：与x轴相交于点A（4，0），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵点B是AE的中点，
∴AB＝BE＝5，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BC＝CD＝DE＝EB＝5，
∵DE∥x轴，
∴∠EFB＝∠AOB＝90°，∠EBF＝∠ABO，
∴△BEF≌△BAO（AAS），
∴EF＝OA＝4，BF＝OB＝3，
∴DF＝DE+EF＝9，OF＝3+3＝6，
∴点D（﹣9，6），
∵点D（﹣9，6）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣9×6＝﹣54，
故答案为：﹣54．
10．【解答】解：∵矩形ABCD、矩形CEFG按如图所示放置，
∴CE＝AE＝ED＝DG＝AB＝2，
∴EG＝2ED＝4，
故答案为：4．
11．【解答】解：∵点A（a，m）、B（b，n）反比例函数的图象上，
∴am＝bn＝1，
∵mn＜0，即m、n异号，
∴a、b异号，
∵a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴点A（a，m）在反比例函数第三象限的图象上，而B（b，n）在反比例函数第一象限的图象上，
∴m＜0＜n，
故答案为：＜．
12．【解答】解：连接EG，取EG的中点O，连接OM，ON，
∵M、N分别是EH、GF的中点．
∴OM是△EGH的中位线，ON是△GEF的中位线，
∴，，OM∥GH，ON∥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵EF∥BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
又∠B＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF＝BC＝2，∠BEF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∵GH∥AB，
∴四边形ABHG是平行四边形，
又∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝2，∠AGB＝90°，
∴OM＝1，ON＝1，
∵GH∥AB，
∴EF⊥GH，
∵OM∥GH，
∴EF⊥OM，
∵ON∥EF，
∴ON⊥OM，
∴△OMN是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
13．【解答】解：（1）设第一次装饰品是x元，根据题意得
2×+300＝，
解得，x＝5，
经检查，x＝5是原方程的解．
答：第一次购进该装饰品的进价为5元；
（2）第一次购进：3000÷5＝600（个），第二次购进：9000÷（5×120%）＝1500（个），
获利；600×（10﹣5）+1500×（10×120%﹣6）＝12000（元），
答：该装饰品两次共盈利12000元．
14．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠B＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE＝EC，
由勾股定理得OE2+EC2＝OC2，
∴2EC2＝OC2，
∴，
即，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO＝OC，
∵∠B＝∠OEC＝90°，
∴OE∥AB，
又点O是对角线AC的中点，
∴点E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴；
∵∠ACB＝45°，
∴直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°，
故答案为：，45；
（2）成立，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
∴2BC2＝AC2，
∴，
即，
由（1）知，
∴，
由旋转的性质得∠ACO＝∠BCE，
∴△ACO∽△BCE，
∴，∠CAO＝∠CBE，
如图2，设BE与AC交于点P，
在△APF中，∠CAO+∠APF+∠AFP＝180°，
在△BPC中，∠CBE+∠BPC+∠ACB＝180°，
∵∠CAO＝∠CBE，∠APF＝∠BPC，
∴∠AFP＝∠ACB＝45°，
即直线AO与直线BE所夹锐角的度数为45°；
（3）如图3，当A、E、O三点共线时，过点B作BH⊥AO于点H，
∵正方形边长为2，
∴AB＝2，
由旋转的性质得∠CEO＝90°，∠O＝45°，，
∴∠AEC＝90°，
由（2）知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC＝∠O＝45°，，
∴∠AEB＝45°，
∵BH⊥AO，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH＝HE，
设BH＝HE＝a，
由勾股定理得，
∴，
∴AE＝AO﹣OE＝2a﹣1，
∴AH＝AE﹣HE＝2a﹣1﹣a＝a﹣1，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH2+BH2＝AB2，
∴（a﹣1）2+a2＝22，
解得，（舍去），
∴，，
∴；
如图4，当A、O、E三点共线时，过点B作BN⊥AO于点N，
∵正方形边长为2，
∴AB＝2，
由旋转的性质得∠CEO＝90°，∠COE＝45°，，
∴∠AOC＝135°，
由（2）知△ACO∽△BCE，
∴∠BEC＝∠AOC＝135°，，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEO＝135°﹣90°＝45°，
∵BN⊥AO，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN＝NE，
设BN＝NE＝x，
由勾股定理得，
∴，
∴AE＝AO+OE＝2x+1，
∴AN＝AO+OE﹣NE＝2x+1﹣x＝x+1，
在Rt△ABN中，由勾股定理得AN2+BN2＝AB2，
∴（x+1）2+x2＝22，
解得，（舍去），
∴，，
∴；
综上，△ABE的面积为或．
15．【解答】解：（1）根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标（1，1）．
故答案为：（1，1）．
（2）∵P（x，y）是反比例函数（x＞0）图象上的一点，
∴点P的“倒数点”Q满足的坐标是（，），
∴xy＝，
∴或．
（3）设点A的坐标为（m，），
∵点B是点A的倒数点，
∴B（，），
∴点B的纵横坐标满足，
∴B点在y＝的图象上，点B不可能在坐标轴上，只能在线段ED或CD上，
①点B在ED上时，点A与B纵坐标相同，，
∴m＝±3（舍去﹣3），
点B的纵坐标为1，此时S△OBC＝＝2，
②点B在CD上时，点B的横坐标为4，点B的纵坐标为．
此时S△OBC＝×4×＝．
16．【解答】解：（1）将（6，m）代入 ，即 ，则点B的坐标为（6，7），
∵点A在一次函数上，
∴点A的坐标为 （0，5），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO∥BC，OA＝BC＝5，
∴点C的坐标为（6，2），
又∵点C在反比例函数y＝上，
∴k＝6×2＝12；
（2）①点D不在反比例函数的图象上，理由如下：
∵点D在l上，
∴，
∴点D的坐标为 （3，6），
由（1）知k＝12，
∴反比例函数为 ，
把D点横坐标代入得：y＝＝4，
∵6≠4，
∴点D不在反比例函数的图象上；
②作线段DC的延长线，交x轴于点E，如图：
∵C（6，2），D（3，6），
设CD所在的直线为y＝kx+b，将C、D代入得：
，
解得：，
∴CD所在直线的解析式为：y＝x+10，
令y＝0，则0＝x+10，
解得：x＝，
∴点E的坐标为，
∴S△OCD＝S△ODE﹣S△OCE
＝OE•yD﹣OE•yC
＝OE（yD﹣yC）
＝××（6﹣2）
＝15，
故答案为：15．
17．【解答】解：（1）∵＝＝3+，
∴示例中，m＝1；
故答案为：1；
（2）＝＝3+；
（3）＝3+：
①∵x+2≠0，
∴x的取值范围是x≠﹣2，y的取值范围是y≠3；
故答案为：x≠﹣2，y≠3；
②当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
③当x+2＝﹣2或﹣1或1或2，即x＝﹣4或﹣3或﹣1或0时，
y＝2或1或5或4，
∴函数图象上所有“整数点”的坐标为（﹣4，2），（﹣3，1），（﹣1，5），（0，4）．
18．【解答】解：探究一：
（1）∵A点、B点在反比例函数y＝上，
∴SA＝SB＝8，
过P点作PQ⊥y轴交反比例函数图象于点Q，过点Q作QD⊥x轴交于点D，
∴SP＝8+PQ•DQ，
设P（x，y），则Q（，y），
∴PQ•DQ＝y（x﹣）＝xy﹣8＝x（mx+b）﹣8＝m（x+）2﹣8﹣，
∵m＜0，b＞0，
∴在x＞0时，PQ•DQ的值先增大后减小，
∴SA＜SP，
故答案为：8，＜，先增大后减小；
（2）∵m＝﹣1，b＝4，
∴直线的解析式为y＝﹣x+4，
设A点坐标为（s，t），
∴s+t＝4，
∴∁A＝∁B＝8，
过P点作PE∥x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F，
∴∁P＝8﹣2PE，
设E（x，y），则P（，y），
∴PE＝x﹣，
∴2PE＝2x﹣＝2（4﹣y）﹣＝8﹣2（y+），
∴∁P＝16+2（y+），
∵y＞0，k＞0，
∴y＞0时，y+先减小后增大，
∴∁P先减小后增大，
∴∁A＞∁P，
故答案为：8，＞，先减小后增大；
探究二：
设G（x，y），则xy＝k，
∵G是OQ的中点，
∴Q（2x，2y），
∵AQ⊥x轴，
∴A（2x，），
∵BQ⊥y轴，
∴B（，2y），
∵S△QAB＝×（2y﹣）×（2x﹣）
＝（4k﹣k﹣k+）
＝k
＝9，
∴k＝8．