2023-2024学年江苏省扬州市邗沟中学九下数学第十五周周末强化训练（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗沟中学九下数学第十五周周末强化训练（含答案），共25页。试卷主要包含了，点C在y轴上运动等内容，欢迎下载使用。
1．（2024•鼓楼区一模）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（ ）
A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数
C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数
2．（2024•秦淮区一模）如图，AB，CD分别垂直BD，垂足分别为B，D，连接AD，BC交于点E，作EF⊥BD，垂足为F．设AB＝a，CD＝b，EF＝c，若﹣＝1，则下列等式：①a+c＝b；②b+c＝2a；③a2＝b•c，其中一定成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二．填空题（共11小题）
3．（2024•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为 ．
4．（2024•鼓楼区一模）如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是 ．
5．（2024•鼓楼区一模）关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m（m＞1）的两根之和是 ．
6．（2024•鼓楼区一模）如图，已知点A（1，0）、B（5，0），点C在y轴上运动．将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为 ．
7．（2024•秦淮区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将AD绕点A顺时针旋转，使点D落在边BC上（记为D′），则点D运动的路径长是 .（答案保留π）
8．（2024•秦淮区一模）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD交于点M，则∠AMH的度数是 °．
9．（2024•秦淮区一模）二次函数y＝ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的图象的顶点与原点O的距离的最小值为 ．
10．（2024•南京一模）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝ ．
11．（2024•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为 ．
12．（2024•南京一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．若AB＝5，BC＝12，连接DD′，则DD′的长为 ．
13．（2024•南京一模）如图，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，则BC的长的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
14．（2024•鼓楼区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：AC＝BC；
（2）连接AO并延长交BC于点E，若AO＝5，OF＝3，求OE的长．
15．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．
①若函数图象恰好经过点M，求a的值；
②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
16．（2024•秦淮区一模）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．
（1）当y1＝y2时，求m的值；
（2）当y1＜2时，求证y2＞y1．
17．（2024•秦淮区一模）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，AD平分∠BAC交半圆O于点D，DE∥AB交射线AC于点E．
（1）求证：DE＝AB；
（2）若AB＝4，当DB＝AE时，四边形EABD的面积为 ．
18．（2024•南京一模）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，同时还测得前方某建筑物CD的顶端D的俯角为36°52′．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为5.2m，建筑物的高度CD为30.2m，大树与建筑物的距离AC为20m，求无人机在P处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．
19．（2024•南京一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），当销售单价为多少元时，年利润最大？最大年利润是多少？
（说明：年利润＝年销售利润﹣研发费用）
20．（2024•南京一模）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD＝DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．
（1）连接AF，求证AF＝AB；
（2）求证AB2＝AE•AC；
（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4，则⊙O的半径为 ．
21．（2024•南京一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0；
（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．
22．（2024•南京一模）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…
在△ABC中，P是BC上一点，点E在直线BC的上方，连接AP，EP，EC，探究下列问题：
【认识模型】
（1）如图①，△APB∽△CPE．
①连接BE，求证△PEB∽△PCA；
②∠BEC与∠BAC满足的数量关系为 ；
【运用模型】
（2）已知∠BAC＝90°，D是AB的中点，且△APD∽△CPE．
①如图②，若P是BC的中点，连接DE，求证DE∥BC；
②若∠B＝30°，BC＝4，当点P在BC上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出AE的长的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．【解答】解：由题意和条形图可得，
3环以下（含3环）的人数为：2+3+5＝10，故选项A不符合题意，
∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，4球以下的人数为10人，由图可知，4球的人数超过6人，
∴4环以下（含4环）的人数为：2+3+5+7＝17，故选项B不符合题意，
5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，
6环以下（含6环）的人数为：35﹣1＝34，故选项D不符合题意，
故选：C．
2．【解答】解：∵AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，AB＝a，CD＝b，EF＝c，
∴AB∥EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝，
∴+＝+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝，a（b﹣c）＝bc，
∵﹣＝1，
∴＝1，
∴＝1，
∴a+c＝b，
故①符合题意；
由a+c＝b得b+c＝a+2c，
∵a与2c不一定相等，
∴a+2c不一定等于2a，
∴b+c与2a不一定相等，
故②不符合题意；
∵a（b﹣c）＝bc，且a＝b﹣c，
∴a2＝b•c，
故③符合题意，
故选：B．
二．填空题（共11小题）
3．【解答】解：由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．
设∠ABD的平分线与AD的交点为E，如图，
则∠ABE＝．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣24°＝66°，
∴∠ABE＝＝33°，
∴∠1＝∠A+∠ABE＝90°+33°＝123°．
故答案为：123°．
4．【解答】解：如图，连接OF、OG，则OF＝OG＝4，过点G作GM⊥OF于点M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠FOG＝＝45°，
在Rt△OGM中，∠GOM＝45°，OG＝4，
∴OM＝GM＝OG＝2，
∴S△FOG＝OF•GM＝×4×2＝4，
∴S正八边形ABCDEFGH＝8S△FOG＝32．
故答案为：32．
5．【解答】解：设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x1，x2，
（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m，
x2﹣2nx+n2+2x﹣2n+2﹣m＝0，
x2+（2﹣2n）x+n2﹣2n+2﹣m＝0，
x1+x2＝﹣（2﹣2n）＝2n﹣2，
故答案为：2n﹣2．
6．【解答】解：以AO为边作等边三角形AOH，连接HD，
∵点A（1，0）、B（5，0），
∴OA＝1，AB＝4，
∵△AOH是等边三角形，
∴AO＝AH＝OH，∠OAH＝60°，
∵将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°＝∠OAH，
∴∠OAC＝∠DAH，
∴△CAO≌△DAH（SAS），
∴∠AHD＝∠COA＝90°，
∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，
∴当BD⊥DH时，BD有最小值，
此时，如图，过点A作AN⊥BD于N，
∵∠AHD＝90°，AN⊥BD，DB⊥HD，
∴四边形AHDN是矩形，
∴AH＝DN＝1，∠HAN＝90°，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，
∴BD＝DN+BN＝3，
故答案为：3．
7．【解答】解：由旋转可得，AD'＝AD＝4，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴∠AD'B＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAD'＝∠AD'B＝30°，
∴点D运动的路径长是＝．
故答案为：．
8．【解答】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形，
∵∠AHG＝∠HAB＝180°﹣360°÷8＝135°，
∵正八边形ABCDEFGH的对角线AF，HD，
∴∠AHD＝∠AHG＝67.5°，
∠FAB＝90°，
∴∠MAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠AMH＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°．
故答案为：67.5．
9．【解答】解：∵y＝ax2+2x+3，
∴顶点P为（﹣，），即（﹣，3﹣），
∴OP2＝（﹣）2+（3﹣）2＝（）2+9﹣+（）2＝2（﹣）2+，
∵2＞0，
∴当＝，OP2有最小值，
∴OP的最小值为：＝．
10．【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），
∴C点坐标为（m，﹣），
∴AC＝，BC＝2m，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝•2m•＝12，
∴b＝6．
故答案为：6．
11．【解答】解：设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，连接BD，
∴MN⊥OC，
∵A的坐标是（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，
∴四边形MNBC是矩形，
∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB，
∴MN⊥AB，
∴NB＝AB＝2，
∴MC＝NB＝2，
∴OM＝4﹣2＝2，
设圆的半径是r，
∴DB＝r，DN＝4﹣r，
∵BD2＝DN2+NB2，
∴r2＝（4﹣r）2+22，
∴r＝，
∴MD＝，
∴点D的坐标为（，2）．
故答案为：（，2）．
12．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝13，
∵∠ABH＝∠DBA，∠AHB＝∠DAB，
∴△BAH∽△BDA，
∴BH：AB＝AB：BD，
即BH：5＝5：13，
解得BH＝，
∵矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．
∴AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，
∴BH＝B′H＝，
∵＝，∠DAD′＝∠BAB′，
∴△ADD′∽△ABB′，
∴DD′：BB′＝AD：AB，
即DD′：＝12：5，
解得DD′＝．
故答案为：．
13．【解答】解：取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，则∠AEF＝∠BAF＝90°，AE＝AC，
∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，•
∴∠AFE＝∠BAD，
∴BD＝AC，BD是△ABC 的高，
.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，
△BDA≌△AEF （AAS），
∴AB＝AF＝2，则 BF＝＝2，
∵E为AC中点，EF⊥AC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CF＝AF＝2，
由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，
∴当 F、C、B三点共线时取等号，
即：BC的最小值为2﹣2；
故答案为：2﹣2．
三．解答题（共9小题）
14．【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴AC＝BC；
（2）解：延长AE交⊙O于点G，连接BG，
∵AG为直径，
∴∠ABG＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABG＝∠AFC，
∴FC∥BG，
∴△COE∽△BGE，
∴，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF，
即点F为AB的中点，
∵点O为AG的中点，
∴OF为△ABG的中位线，
∴OF＝，
∵OF＝3，
∴GB＝6，
∵AO＝5，
∴OC＝OG＝5，
∴，
∴OE＝．
15．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，
∴A（0，﹣a），
点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a），
∴点B（4，﹣a）；
∵A与B关于对称轴x＝2对称，
∴抛物线对称轴x＝2；
（2）①∵对称轴x＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣a，
∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a），
∴1﹣a＝a﹣4a﹣a，
∴a＝﹣；
将x＝1代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，
将x＝3代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，
②当a＞0时，抛物线开口向上，
∴﹣3≤﹣4a，
解得a≤，
故0＜a，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴1﹣a≥﹣4a，
解得a，
故﹣≤a＜0，
综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a或﹣≤a＜0．
16．【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2，
∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，
∴m＝﹣1，
（2）证明：∵y1＜2，
∴y1＝1﹣m+n2＜2，
∴﹣m+n2＜1，
∴m＞n2﹣1，
∴2m＞2n2﹣2，
∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，
∵n2≥0，
∴2+3n2≥2，
∴y2＞2+3n2≥2＞y1．
∴y2＞y1．
17．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠4＝∠2，
∴∠1＝∠4，
∴OD∥AE，
∵DE∥AB，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OA＝OD，
∴四边形AODE是菱形，
∴AE＝DE＝DO＝AO，
∵AO＝AB，
∴AE＝DE＝AB；
（2）解：∵DB＝AE，AE＝AB，
∴DB＝AB＝2，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝2，
∴△ABD的面积＝AD•BD＝×2×2＝2，
∵AO＝BO，
∴△AOD的面积＝△BOD的面积＝△ABD的面积＝，
∵四边形AODE是菱形，
∴菱形AODE的面积＝2△AOD的面积＝2，
∴四边形EABD的面积＝菱形AODE的面积+△DOB的面积＝2+＝3，
故答案为：3．
18．【解答】解：延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，
由题意得：AF⊥PG，CE⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，
设PF＝x m，
∴PE＝PF+EF＝（x+20）m，
在Rt△BPF中，∠BPF＝63°26′，
∴BF＝PF•tan63°26′≈2x（m），
在Rt△PED中，∠EPD＝36°52′，
∴ED＝PE•tan36°52′≈0.75（x+20）m，
∵AF＝CE，
∴AB+BF＝CD+DE，
∴5.2+2x＝30.2+0.75（x+20），
解得：x＝32，
∴AF＝AB+BF＝5.2+2x＝69.2（m），
∴无人机在P处时离地面的高度约为69.2m．
19．【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数关系式为y＝；
当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，
综上所述，y＝；
（2）当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）•﹣40＝120﹣，
∵当4≤x≤8时，w随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，wmax＝120﹣＝40；
当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣40＝﹣（x﹣16）2+104，
∴当x＝16时，wmax＝104；
∵104＞40，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为104万元．
20．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OA交BF于点G，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DEC＝∠AEG，
∴∠OAC+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，
即OA⊥BF，
由垂径定理可得，OA垂直平分BF，
∴AF＝AB；
（2）证明：如图，连接BC，
由（1）知，AF＝AB，
则∠AFB＝∠ABE，
又∠ACB＝∠AFB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝，即：AB2＝AE•AC；
（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，
∵AE＝2，EC＝6，
则AC＝AE+EC＝8，
由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，
∴AB＝4＝BE，
由（2）知△ABE∽△ACB，
则 ，即 ，
∴AC＝CB＝8，
又：OA＝OB，
∴CH垂直平分AB，
∴，
在Rt△BCH中，
，
设半径为r，则OA＝OC＝r，，
在Rt△AOH 中，
OH2+AH2＝OA2 即：，
解得，
故答案为：．
21．【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a．
∵a＜0，
∴﹣8a＞0．
又对于任意的实数b都有b2≥0，
∴b2﹣8a＞0，即Δ＞0．
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）证明：由题意，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
又x2＝﹣2x1，
∴x1＝，x2＝﹣．
又x1•x2＝，
∴﹣＝．
∴﹣b2＝a．
∴a+b2＝0．
（3）解：由题意，对称轴是直线x＝＝k+2．
又令x＝0，则y＝2．
∵a＜0，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又2＜y2＜y1，
∴|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|．
∴|k+2|＞|k﹣4|＞2．
①当k＜﹣2时，﹣k﹣2＞4﹣k＞2．
∴无解．
②当﹣2≤k≤4时，k+2＞4﹣k＞2．
∴1＜k＜2．
③当k＞4时，k+2＞k﹣4＞2．
∴k＞6．
综上，1＜k＜2或k＞6．
22．【解答】（1）①证明：∵△APB∽△CPE，
∴∠APB＝∠CPE，，
∴∠BPE+∠APE＝∠APC+∠APE，，
∴∠BPE＝∠APC，
∴△PEB∽△PCA；
②解：∵△PEB∽△PCA，△APB∽△CPE，
∴∠BEP＝∠ACB，∠CEP＝∠ABC，
∵∠BEC＝∠BEP+∠CEP＝∠ACB+∠ABC，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°，
故答案为：∠BAC+∠BEC＝180°；
（2）①证明：∵△APD∽△CPE，
∴∠APD＝∠CPE，，
则∠APD+∠APE＝∠CPE+∠APE，
∴∠DPE＝∠APC，
∴△PED∽△PCA，
∴∠DEP＝∠ACP，
∵D是AB的中点，P是BC的中点，∠BAC＝90°，
∴DP∥AC，AP＝BP＝CP，
则∠ADP＝∠BAC＝90°，∠B＝∠DAP，
∵△APD∽△CPE，
∴∠ADP＝∠CEP＝BAC＝90°，∠ECP＝∠DAP＝∠B，
则∠DEP+∠CEP+∠ECP＝∠ACB+∠BAC+∠B＝180°，
∴DE∥BC；
②解：如图，取BC的中点F，连接DF，
由（1）同理知，△CPA∽△EPD，
∴∠DEP＝∠ACB＝60°，
∵DF为△ABC的中位线，
∴DF∥AC，
∴∠DFP＝∠ACB＝60°，
∴点D、P、F、E共圆，
∴∠PDF＝∠PEF，
∴∠CEF＝∠FDA＝90°，
∴点E在以CF为直径的圆上运动，
∴当点A、O、E共线时，AE的值最小为﹣1．