山西省晋中市平遥县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省晋中市平遥县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题10个小题，每小题3分，共30分，每个小题只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填在表格中
1. 的相反数的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：的相反数是，
倒数是，
∴的相反数的倒数是，
故选：C．
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：，
故选：C．
3. 《清朝野史大观·清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶为最．”如图是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三视图都相同
答案：A
解析：
详解：解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
4. 如图为某品牌折叠椅子侧面示意图，，与地面平行，，则（ ）
A. 78°B. 73°C. 69°D. 61°
答案：B
解析：
详解：解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
故选B．
5. 我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动． 甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是每分钟x米，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：设乙同学的速度是米/分，可得：
故选 D．
6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
答案：B
解析：
详解：解：根据题意，将一次函数的图像向右平移2个单位长度后的函数解析式为，
∵平移后的函数图像经过原点，
∴，则，
∴一次函数的图像经过第一、三、四，不经过第二象限，
故选：B．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为．
故选：A．
8. 如图，分别是的边的点，且与交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：，
，
，
，
，
又，
，
故选：D．
9. 某学校九年级20名同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题宣传进社区活动，以下是参与宣传活动的同学所作宣传活动的场次数，如表所示：
这些参加宣传活动场次数的众数、中位数分别是（ ）
A. 5、6B. 5、5C. 6、5D. 6、6
答案：A
解析：
详解：解：因为5出现的次数最多，所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：A．
10. 如图，为的直径，点C，D都在上，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分 15分）
11. 分解因式：___________
答案：
解析：
详解：解：，
故答案为：．
12. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号）
答案：##
解析：
详解：解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
13. 如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是________．

答案：6
解析：
详解：∵点，
∴，，
∴．
∵反比例函数，
∴，
∴．
故答案为：6．
14. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是___________．
答案：
解析：
详解：
解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：，
∴，
设DF=x m，CF=x m，
∴CD=，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=m，
∴DH=BF=+30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH=（m），
∴AB=AH+BH=（m），
故答案为：．
15. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为______．
答案：
解析：
详解：解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，
∴∠CED=90°
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，，
当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，
∴当P、E重合时，PD最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴∠CAB=∠CED，，
又∵∠DCE=∠BCA，
∴△CED∽△CAB，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题 （共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简代数式 ，并请你取一个合适的a值，代入化简后的代数式求值；
（3）解方程：．
答案：（1）；（2），（答案不唯一）；（3），
解析：
详解：解：（1）原式
；
（2）原式
，
由题意可知，，，即，
当时，原式；
（3），
∵，，，
则，
∴，
∴，．
17. 如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，，，．
求证：．
答案：见解析
解析：
详解：证明：，
，
即，
∵，
，
∵，
，
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请画出关于y轴对称的；
（2）若与关于原点成中心对称，请直接写出点A的对应点的坐标______．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：如图所示，即为所求．
小问2详解：
解：∵与关于原点成中心对称，
∴点的对应点的坐标，
故答案为：．
19. 小明和小乐两位同学都是体育爱好者，小明喜欢观看“足球、乒乓球、羽毛球”赛事，小乐喜欢观看“篮球、排球”赛事，他们商定采用抽签的方式确定观看的赛事项目，并制作了五张卡片（这些卡片除赛事名称外，其余完全相同）并将卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小乐从五张卡片中随机抽取一张卡片，是他喜欢的赛事的概率是_____．
（2）我们常称足球、排球、篮球为“三大球”，小明先从洗匀后的五张卡片中抽取一张卡片，小乐从剩下的卡片中再抽取一张卡片，求他俩抽取的卡片上都是“三大球”中的赛事项目的概率．
答案：（1）
（2）他俩抽取的卡片上都是“三大球”中的赛事项目的概率为．
解析：
小问1详解：
解：小乐从五张卡片中随机抽取一张卡片，是他喜欢的赛事的情况有2种，
是他喜欢的赛事的概率是，
故答案为：；
小问2详解：
解：设足球－A、乒乓球－B、羽毛球－C，篮球－D、排球－E，
画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能结果，其中他俩抽取的卡片上都是“三大球”中的赛事项目的有6种结果，
则他俩抽取的卡片上都是“三大球”中的赛事项目的概率为．
20. 如图， 已知
（1）在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以为对角线的四边形是平行四边形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）请你说明你的作图主要运用了平行四边形的什么定理？写出完整的定理内容．
答案：（1）见解析 （2）作图主要运用了平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析：
小问1详解：
解：分别以点A、C为圆心，、长为半径画弧，两弧交点为点D，连接、，
四边形即为所求作．
小问2详解：
∵，，
∴四边形是平行四边形．
即：作图主要运用了平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
21. 小王和小丽在物理课学习了水在标准气压的沸点是 ，据此他两在老师指导下进行了有关食用油的沸点探究活动：
活动主题：有关食用油沸点探究活动．
活动过程：某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度． 小王想用刻度不超过 的温度计测算出这种食用油沸点的温度． 在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
如果你参与了这个探究学习活动，根据他们的探究情况，请你完成下列任务．
任务一：在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温度y（单位：）与加热的时间t(单位：s) 符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系 ；
任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数解析式；
任务三：当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
答案：任务一：一次；任务二：；任务三：
解析：
详解：解：任务一：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故可知可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
任务二：设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
任务三：当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
22. 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．
以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
猜想证明：
（1）如图2，“奋勇”小组将绕点旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点．试猜想线段与的数量关系，并加以证明；
（2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）在绕点旋转的过程中，当时，求点与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案．
答案：（1），理由见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）6或
解析：
详解：（1），
证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形．
理由：由（1）得是等边三角形，
∴，
由旋转得，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E是线段的中点，
∴，
又∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）如图所示，当点在上方时，连接，
∵，
∴，
由旋转可得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，，三点共线，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点在线段下方时，
由旋转可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
综上所述，当时，点与点之间的距离为6或．
23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大．求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）；（3）或或
解析：
详解：解：（1）∵，，
∴，即，
解得：，，
∴，，，代入中，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，四边形的面积＝的面积＋的面积，
而的面积是定值，故四边形的面积最大，只需要的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，，设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
，
∵，故S有最大值，即四边形的面积有最大值，
此时，代入得，
∴；

（3）由（1）、（2）得：，，
根据题意设，，
①若为平行四边形的对角线，
则，解得：或（此时P、Q重合，不合题意，舍去）
将代入抛物线得：，
∴；

②若为平行四边形的对角线，
则，解得：或（此时P、Q重合，不合题意，舍去）
将代入抛物线得：，
∴；

③若为平行四边形的对角线，
则，解得：或，
分别将，代入抛物线，求得，
∴，，

综上：点Q的坐标为或或．参加宣传活动场次
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
时间
0
10
20
30
40
油温
10
30
50
70
90