山西省晋中市昔阳县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省晋中市昔阳县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A B. C. 且D. 且
答案：C
解析：
详解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴且，
∵
∴且
解得
∴，
解得且，
故选C．
2. 从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是长方形，从上面看到的平面图形是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱．
故选：C．
3. 已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：∵双曲线，
∴，
A、，不在双曲线，符合题意；
B、点中，，在双曲线，不符合题意；
C、点中，，在双曲线，不符合题意；
D、点中，，在双曲线，不符合题意．
故选：A．
4. 平移抛物线使其经过原点，则下列操作不正确的是（ ）
A. 向右平移1个单位长度B. 向右平移5个单位长度
C. 向下平移5个单位长度D. 向上平移4个单位长度
答案：D
解析：
详解：解：A、抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故A不符合题意；
B、抛物线向右平移5个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故B不符合题意；
C、抛物线向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故C不符合题意；
D、抛物线向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象不经过原点，故D符合题意．
故选：D．
5. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到，
由旋转的性质，可得，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6. 如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵点O是内切圆的圆心，
∴，，
∴，
故选：B．
7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：．
8. 如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
答案：A
解析：
详解：解：如图，由题意可知，，
在中，
，，海里，
∴海里．
海里．
故选：A．
9. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：设增长率为x，由题意，得：；
故选C．
10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题．（共5个小题，每题3分，共15分）
11. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
答案：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）
解析：
详解：解：∵顶点在坐标原点，
∴可设抛物线解析式为y=ax2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2，
故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．
12. 一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了________米．
答案：100
解析：
详解：解：设此人升高了x米，
∵坡度为，
∴他行走的水平距离为米，
由勾股定理得，，
解得： (负值舍去)，
即他沿着垂直方向升高了100米，
故答案为：100．
13. 如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ____．

答案：
解析：
详解：解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵扇形的半径，，
∴，
∴，
，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．

14. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______
答案：
解析：
详解：解：如图，作轴于H．
由题意：，
∴，
∴， ，
∴，
∴ ．
15. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____．
答案：6
解析：
详解：解：如图，过点C作轴于D，
∴，
∵点B是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）用适当的方法解下列方程：
①
②
（2）计算：
答案：（1）①，；②，；（2）
解析：
详解：解：（1）①∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
②∵，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（2）
．
17 如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：如图1，
即为所求．
小问2详解：
如图2，
连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：．
小问2详解：
解：列出表格如下：
一共有12种情况，其中至少有1位是或有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为．
19. 是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．
答案：见解析
解析：
详解：解：是的直径，
，
．
又，
，
又，
，即，
是的切线．
20. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，）
答案：（1）2 （2）轿车能驶入小区，理由见解析；
解析：
小问1详解：
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
小问2详解：
当时，，则，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴轿车能驶入小区
21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．
答案：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似;(2) 勾股定理;(3) .
解析：
详解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．
“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，
则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，
∵AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
∴AB2+AD2＝BD2，
托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，
故答案为勾股定理．
（3）连接BD，作CE⊥BD于E．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∵，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝30°，
在Rt△CDE中，cs30°＝，
∴DE＝CD，
∴BD＝2DE＝CD，
由托勒密定理：AC•BD＝AD•BC+CD•AB，
∴AC•CD＝3CD+5CD，
∴AC＝，
答：AC的长为．
22. 下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．
如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．
（1）观察发现
写出图1中一个与相似三角形： ．
（2）迁移探究
当与的交点H恰好是的中点时，如图2．
①设，请判断的数量关系，并说明理由；
②求阴影部分的面积．
（3）拓展应用
当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长．
答案：（1）或
（2）①，理由见解析；②
（3）或
解析：
小问1详解：
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或；
小问2详解：
解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵由沿翻折得到，
∴，
∵，
∴；
②∵点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是；
小问3详解：
解：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，
当F在上时，如图：
AI
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
∴；
②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，
当F在直线上时，如图：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或．
23. 综合与探究
抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）若连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2），当时，取得最大值2，此时点的坐标为
（3）存在，点的坐标为或
解析：
小问1详解：
抛物线与轴交于点和，
，解得：
该抛物线的解析式为；
小问2详解：
在中，令，得，
，设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，设，则，
，
，，
当时，取得最大值2，此时点的坐标为；
小问3详解：
存在点使得为直角三角形，
设，
，，
，，，，
当时，如图，轴，
；
当时，如图，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或．