高考数学第一轮复习复习第5节　解三角形的综合应用（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　解三角形的综合应用（讲义），共23页。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个有关术语
1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点间的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°.则可以计算出A,B两点的距离为( D )
A.202 mB.302 mC.402 mD.502 m
解析:由题意,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC⇒AB22=5012⇒AB=502.
2.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为( A )
A.4003 m
B.40033 m
C.20033 m
D.2003 m
解析:如图,设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B,则易得AB=BCtan60°,BD=ABtan 30°=BCtan60°·tan 30°=2003×33=2003(m),所以CD=BC-BD=200-2003=4003(m).
3.在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,则塔AB的高度为 m.
解析:如图所示,依题意∠ACE=30°,∠ECB=45°,DB=30,所以CE=30,BE=30,在△ACE中,由AEsin30°=CEsin60°,
得AE=103,
所以AB=(30+103) m.
答案:30+103
4.海上有A,B,C三个小岛,A,B相距53 km,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是 km.
解析:由题意可知∠ACB=60°,
由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,
即53sin60°=BCsin45°,
得BC=52(km).
答案:52
测量距离问题
[例1] 如图,游客从某山风景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A乘景区观光车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min 后,乙从A乘观光车到B,在B处停留20 min 后,再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250 m/min,山路AC长为2 340 m,经测量cs A=2425,cs C=35.
(1)求观光车路线AB的长;
(2)乙出发多少分钟后,在观光车上与甲的距离最短?
解:(1)在△ABC中,因为cs A=2425,cs C=35,所以sin A=725,sin C=45,从而sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C=117125,由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AB=ACsinB×sin C=2 340117125×45=2 000(m),所以观光车路线AB的长为2 000 m.
(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d m,则t∈[0,8],此时甲行走了(100+50t) m,乙距离A处250t m,由余弦定理得,d2=(100+50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×2425=1 000(41t2-38t+10)=1 000[41(t-1941)2+4941],因为t∈[0,8],所以当t=1941时,d取得最小值,即乙出发1941 min后,在观光车上与甲的距离最短.
距离问题的解法
选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.
[针对训练] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为 .
解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,
由正弦定理得
AC=80sin150°sin15°=406-24=40(6+2).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,
由正弦定理得CDsin∠DBC=BCsin∠BDC,
得BC=CDsin∠BDCsin∠DBC=80×sin15°12=160sin 15°=40(6-2).
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+43)+1 600×(8-43)+2×1 600×(6+2)×(6-2)×12=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,
解得AB=805,
故题图中海洋蓝洞的口径为805.
答案:805
测量高度问题
[例2] (2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为(3≈1.732)( )
A.346B.373C.446D.473
解析:如图所示,根据题意过C作CE∥C′B′,交BB′于E,过B作BD∥A′B′,交AA′于D,则BE=100,
C′B′=CE=100tan15°.
在△A′C′B′中,∠C′A′B′=75°,则BD=A′B′=C'B'×sin45°sin75°.又在B点处测得A点的仰角为45°,所以AD=BD=C'B'×sin45°sin75°,所以高度差AA′-CC′=AD+BE=C'B'×sin45°sin75°+100=100tan15°×sin45°sin75°+100=100sin45°sin15°+100=
100×2222×(32-12)+100=100(3+1)+100≈373.
故选B.
(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角.
(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.
(3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.
[针对训练] 在某运动会乒乓球男单颁奖礼上,五星红旗冉冉升起,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为96 m(如图所示),则旗杆的高度为( )
A.9 mB.27 mC.93 mD.96 m
解析:依题意可知∠AEC=45°,∠CAE=180°-60°-15°=105°,所以∠ACE=180°-45°-105°=30°,在△AEC中,由正弦定理可知AEsin∠ACE=ACsin∠AEC,所以AC=AEsin∠ACE·sin∠AEC=183(m),所以在Rt△ABC中,BC=AC·sin∠CAB=183×32=27(m).故选B.
测量角度问题
[例3] 如图,一艘海船从A出发,沿北偏东75°的方向航行60 km后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行30 km后到达海岛C.下次若直接从A出发到达C.
(1)需要航行多少千米?
(2)此船应该沿怎样的方向航行(角度精确到0.1°)?
参考数据:sin 7.2°≈721,sin 19.1°≈2114,
sin 40.9°≈217.
解:(1)在△ABC中,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理知,
AC=AB2+BC2-2AB·BCcs∠ABC
=602+302-2×60×30×cs120°
=307(km).即需要航行307 km.
(2)在△ABC中,根据正弦定理知,BCsin∠CAB=ACsin∠ABC,所以sin∠CAB=BCsin∠ABCAC=30sin120°307=2114,所以∠CAB≈19.1°,75°-∠CAB≈55.9°,即此船应该沿北偏东55.9°的方向航行.
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[针对训练] 如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为θ,则cs θ等于( )
A.33B.6-2
C.3-1D.2-1
解析:由题知,∠CAD=15°,∠CBD=45°,
所以∠ACB=30°,∠ABC=135°.
在△ABC中,由正弦定理得ABsin30°=ACsin135°,
又AB=100 m,所以AC=1002 m.
在△ADC中,∠ADC=90°+θ,CD=50 m,
由正弦定理得ACsin(θ+90°)=CDsin15°,
所以cs θ=sin(θ+90°)=AC·sin15°CD=3-1.故选C.
正弦、余弦定理在平面几何中的应用
[例4] 在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.
(1)若AB=32,求BC;
(2)若AB=2BC,求cs∠BDC.
解:(1)如图所示,在△ABD中,由余弦定理可知,
cs∠ABD=
AB2+BD2-AD22AB·BD=(32) 2+12-122×32×1=34.
因为AB∥CD,所以∠BDC=∠ABD,
即cs∠BDC=cs∠ABD=34.
在△BCD中,由余弦定理可得,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcs∠BDC=12+12-2×1×1×34=12,所以BC=22.
(2)设BC=x,则AB=2BC=2x.
在△ABD中,由余弦定理可知,
cs∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=(2x)2+12-122×2x×1=x,
在△BDC中,由余弦定理可知,cs∠BDC=CD2+BD2-BC22CD·BD=12+12-x22×1×1=2-x22.
因为AB∥CD,所以∠BDC=∠ABD,
即cs∠BDC=cs∠ABD,
可得2-x22=x,
整理得x2+2x-2=0,又x>0,
解得x=3-1.所以cs∠BDC=3-1.
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
[针对训练] 如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π3,且∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列.
(1)求sin∠CED;
(2)求BE的长.
解:(1)在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DEcs∠EDC,
即7=CD2+1+CD,
即CD2+CD-6=0,
解得CD=2(CD=-3舍去).
由正弦定理得ECsin∠EDC=CDsin∠CED,
于是sin∠CED=CDsin 2π3EC=2×327=217.
(2)因为∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列,
所以2∠BEC=∠CBE+∠BCE,
又∠CBE+∠BEC+∠BCE=π,
所以∠BEC=π3.
由题设知0