高考数学第一轮复习复习第5节　空间向量及空间位置关系（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　空间向量及空间位置关系（讲义），共31页。
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
(2)空间向量中的有关结论
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积
①a·b=|a||b|cs;
②a⊥b⇔a·b=0;
③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=x2+y2+z2.
(2)空间向量的坐标运算
3.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
1.空间向量基本定理的三点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)PA→=λPB→(λ∈R).
(2)对空间任一点O,OP→=OA→+tAB→(t∈R).
(3)对空间任一点O,OP→=xOA→+yOB→(x+y=1).
3.证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
(1)MP→=xMA→+yMB→(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,OP→=OM→+xMA→+yMB→(x,y∈R).
1.(选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是( C )
A.{a,a+b,a-b}
B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b}
D.{a+b,a-b,a+2b}
解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,
所以a,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除A;
对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,
所以b,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除B;
对于D,a+2b=32(a+b)-12(a-b),
所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基底,排除D;
对于C,若c,a+b,a-b共面,
则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一个基底.
2.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示MN→,则MN→等于( D )
A.12(b+c-a)B.12(a+b+c)
C.12(a-b+c)D.12(c-a-b)
解析:因为点M为AB的中点,
所以OM→=12(OA→+OB→)=12a+12b,
因为点N为OC的中点,
所以ON→=12OC→=12c,
所以MN→=ON→-OM→=12c-12a-12b=12(c-a-b).
3.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,则实数k等于( D )
A.0B.1
C.-1或2D.-2或1
解析:因为向量a=(0,-1,1)与b=(0,k-2,k2)共线,所以k-2-1=k21,解得k=1或-2.
4.(多选题)已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),则以下说法正确的是( ABD )
A.a⊥bB.|a|>|b|
C.cs=33D.|a+b|=|a-b|
解析:向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),
a·b=-1+2-1=0,所以a⊥b,故A正确;
|a|=1+4+1=6,|b|=1+1+1=3,
所以|a|>|b|,故B正确;
a+b=(0,3,0),所以cs=(a+b)·a|a+b||a|=636=63,故C错误;由A得a·b=0,
所以|a+b|=|a-b|,故D正确.
5.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足OM→=15OA→+45OB→+25BC→,则点M 平面ABC.(填“∈”或“∉”)
解析:因为OM→=15OA→+45OB→+25BC→
=15OA→+45OB→+25(OC→-OB→)
=15OA→+25OB→+25OC→,
因为15+25+25=1,
所以M,A,B,C四点共面.即点M∈平面ABC.
答案:∈
空间向量的线性运算
[例1] 如图所示,在平行六面体ABCD-1B1C1D1中,设AA→1=a,AB→=b,AD→=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1)AP→;(2)A1N→;(3)MP→+NC1→.
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以AP→=AA1→+A1P→=AA1→+A1D1→+D1P→
=AA1→+AD→+12DC→=a+c+12b.
(2)因为N是BC的中点,
所以A1N→=A1A→+AB→+BN→=-a+b+12BC→
=-a+b+12AD→=-a+b+12c.
(3)因为M是AA1的中点,N是BC的中点,
所以MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=-12a+(a+c+12b)=12a+12b+c.
NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c+a.
所以MP→+NC1→=(12a+12b+c)+(12c+a)
=32a+12b+32c.
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
1.在四面体D-ABC中,点G是△ABC的重心,设DA→=a,DB→=b,DC→=c,则 DG→等于( )
A.13a+23b+23cB.13a+13b+13c
C.23a+23b+23cD.23a+23b+13c
解析:如图,因为G为△ABC的重心,
所以DG→=DA→+AG→=DA→+13(AC→+AB→)=DA→+13(DC→-DA→+DB→-DA→)=13a+13b+13c.故选B.
2.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→(x,y,z∈R),PM→=2MC→,PN→=ND→,则x+y+z的值为( )
A.-23B.23
C.1D.56
解析:由题可知PC→=AB→+BC→-AP→=AB→+AD→-AP→,DP→=AP→-AD→,
所以NM→=NP→+PM→
=12DP→+23PC→
=12(AP→-AD→)+23(AB→+AD→-AP→)
=-16AP→+23AB→+16AD→,
所以x=23,y=16,z=-16,
所以x+y+z=23.故选B.
共线向量、共面向量的应用
[例2] (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1E→=23A1D1→,A1F→=23FC→.试运用向量方法证明:E,F,B三点共线;
(2)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且|BE|=13|BB1|,|DF|=23|DD1|.求证:A,E,C1,F四点共面.
证明:(1)法一 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接EF,FB,A1B.
因为A1E→=23A1D1→,
A1F→=23FC→,
所以EF→=A1F→-A1E→=25A1C→-23A1D1→
=25(A1B1→+A1D1→+A1A→)-23A1D1→
=25A1B1→+25A1A→-415A1D1→,
FB→=A1B→-A1F→=A1B1→+A1A→-25A1C→
=A1B1→+A1A→-25(A1B1→+A1D1→+A1A→)
=35A1B1→+35A1A→-25A1D1→,
显然,EF→=23FB→,所以EF→∥FB→,
又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.
法二 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
连接EF,FB.由题意,A1E→=23A1D1→,
A1F→=23FC→,
易得EF→=A1F→-A1E→=23(FC→-A1D1→)=23(FC→-BC→)=23(FC→+CB→)=23FB→,所以EF→∥FB→.
又EF∩FB=F,故E,F,B三点共线.
(2)因为AC1→=AB→+AD→+AA1→=AB→+AD→+13AA1→+23AA1→=(AB→+13AA1→)+(AD→+23AA1→)=(AB→+BE→)+(AD→+DF→)=AE→+AF→.
所以A,E,C1,F四点共面.
(1)利用共线向量定理可以证明直线的平行与三点共线问题.
(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.
[针对训练]
1.已知空间四个点A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一个平面内,则实数x等于( )
A.1B.-2C.0D.-1
解析:AB→=(1,-1-x,1),BC→=(2,4,-4),CD→=(1,-2,1),
设CD→=aAB→+bBC→,a,b∈R,
所以(1,-2,1)=(a,-a-ax,a)+(2b,4b,-4b)=(a+2b,4b-a-ax,a-4b),
所以a+2b=1,4b-a-ax=-2,a-4b=1,
解得a=1,b=0,x=1.故选A.
2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n= .
解析:AB→=(3,-1,1),AC→=(m+1,n-2,-2).
因为A,B,C三点共线,
所以存在实数λ,使得AC→=λAB→,
即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),
所以m+1=3λ,n-2=-λ,-2=λ,
解得λ=-2,m=-7,n=4.
所以m+n=-3.
答案:-3
3.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM→=kAC1→,BN→=kBC→(0≤k≤1).
(1)向量MN→是否与向量AB→,AA1→共面?
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?
解:(1)因为AM→=kAC1→,BN→=kBC→,
所以MN→=MA→+AB→+BN→
=kC1A→+AB→+kBC→
=k(C1A→+BC→)+AB→
=k(C1A→+B1C1→)+AB→
=kB1A→+AB→=AB→-kAB1→
=AB→-k(AA1→+AB→)
=(1-k)AB→-kAA1→,
所以由向量共面的充要条件知向量MN→与向量AB→,AA1→共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,
MN在平面ABB1A1内,
当0