2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.3等比数列

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.3等比数列，共10页。试卷主要包含了等比数列基本量的计算，等比数列的性质，等比数列的判定等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 已知各项均为正数的等比数列的前三项和为14，且，则的前2 022项和为（ B ）
A. B. C. D.
解：设等比数列 的公比为，.
.
又，所以.
由,解得，.则.
故.故选.
（2） 等差数列的公差为，且满足，，成等比数列，则（ B ）
A. B. 0或C. 2D. 0或2
解：因为，，成等比数列，
所以，即.
所以，解得 或.
即 或.故选.
【点拨】 ①类似于等差数列，等比数列同样可以“知三求二”，因此列方程（组）是基本方法.②解方程组时常利用“作商”消元.③解决这类问题要注意公比的情形，否则可能漏解或增解.
变式1
（1） [2023年全国甲卷]已知正项等比数列中，,为的前项和，，则（ C ）
A. B. C. 15D. 40
解：由题意,知,即,即,解得.所以.故选.
（2） [2022年全国乙卷]已知等比数列的前3项和为168，，则（ D ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
解：设等比数列 的公比为，，由题意，知.
则
解得，，则.
故选.
（3） [2021年全国乙卷节选]设是首项为1的等比数列，已知，，成等差数列，则 .
解：设数列 的公比为.由题意，得，所以，即.解得，所以.故填.
考点二 等比数列的性质
命题角度1 与项或和有关的性质
例2
（1） 设等比数列中，每项均为正数，且，则（ C ）
A. 5B. 10C. 20D. 40
解：.故选.
（2） [2020年全国Ⅰ卷]设是等比数列，且，，则（ D ）
A. 12B. 24C. 30D. 32
解：设等比数列 的公比为，则，.因此，.故选.
（3） [2021年全国甲卷]记为等比数列的前项和.若，，则（ A ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
解：（方法一）（等比数列性质）因为，所以.
由等比数列性质，得，，成等比数列，所以.
即，解得.
（方法二）（基本量法）设等比数列 的公比为，由题意，知.
所以，.
两式相除，化简得，解得.
所以.
所以.故选.
【点拨】 ①在等比数列中，若，则，,成等比数列.②在等比数列中，依次项积仍为等比数列，但公比发生变化.③性质“当时，有”常用来转化条件.
变式2
（1） 在等比数列中，若，则的值为（ B ）
A. 4B. 2C. D.
解：由，得.
则.故选.
（2） 在等比数列中，已知，，则3.
解：设等比数列 的公比为，由已知，得
则.
又，，所以.故填3.
（3） [2023年新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前项和，若，，则（ C ）
A. 120B. 85C. D.
解：（方法一）设等比数列 的公比为.
因为，，所以，否则.
因为,,,成等比数列，
所以，解得 或.
当 时，,,,，即为,,,.
易知，即.
当 时，，与 矛盾，舍去.
（方法二）设等比数列 的公比为，首项为.
若，则，与题意不符，所以.
由，，得，.
由①，得，解得.
所以.
故选.
命题角度2 函数特性
例3 设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ D ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：当 时，由，得，则 不为递增数列.
当 为递增数列时，，若，则.
所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选.
【点拨】 要理解等比数列通项和前项和的函数特性，及和与等比数列单调性的关系（详见本节【常用结论】）.
变式3 [2021年全国甲卷]等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ B ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：若，，则，则 是递减数列，不满足充分性.
由 是递增数列，得，则，，所以满足必要性.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选.
考点三 等比数列的判定
例4 【多选题】若数列是等比数列，则（ AD ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列
解：设等比数列 的公比为.
，则 是以 为公比的等比数列，正确.
当 时，，则 不是等比数列，错误.
，当 时，，此时 不是等比数列，错误.
，所以 是公比为 的等比数列，正确.故选.
【点拨】等比数列的四种常用判定方法,后两种在解小题时比较常用.
变式4 【多选题】设数列，都是等比数列，下列说法正确的是（ ABD ）
A. 若，则数列也是等比数列
B. 若，则数列也是等比数列
C. 若的前项和为，则,,也成等比数列
D. 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列
解：设数列，的公比分别为,.
对于，由，得，所以数列 为等比数列，正确.
对于，由，得，所以数列 为等比数列，正确.
对于，令，则，不成等比数列，错误.
对于，新数列的公比为,为常数，正确.
故选.
例5 已知数列和满足，，，.
（1） 证明： 是等比数列， 是等差数列.
证明：由题意，得，即.
又因为，所以 是首项为1，公比为 的等比数列.
由题意，得，
即.
又因为，所以 是首项为1，公差为2的等差数列.
（2） 求和的通项公式.
[答案]
由（1），知，.
所以，
.
【点拨】 证明一个数列是等比数列，主要应用定义法和等比中项法.若要证明一个数列不是等比数列,只要找到一个正整数，使即可，如常用的.
变式5 设数列的前项和为，若,求证：是等比数列，并求数列的通项公式.
证明:因为，，所以，解得.
当 时，，所以，即.
又,所以,所以.
因为 也满足上式，所以 是首项为1，公比为2的等比数列.
所以.
课外阅读·等差、等比数列的应用建模
等差、等比数列相关实际问题，生活中比比皆是.将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答.这一过程需要学生具有较强的抽象概括、数学分析、逻辑推理和知识转化的能力,体现了数列的工具价值和数学的实用价值.
1. 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为，满盘时直径为，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约为，结果精确到（ B ）
A. B. C. D.
解：（方法一）根据题意，空盘时盘芯半径为，满盘时半径为.
因为卫生纸的厚度为，所以满盘时共有（层）.
每一圈卫生纸的周长成等差数列，且项数为200.根据等差数列的求和公式，可得.
将 代入,计算可得满盘时卫生纸的总长度大约为.
（方法二）设卫生纸的宽度为,长度为.满盘时卫生纸的体积为,解得.
故选.
2. 某病毒研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ C ）
A. 3 233万元B. 4 706万元C. 4 709万元D. 4 808万元
解：设每个实验室的装修费用为 万元，第 实验室的设备费为 万元，数列 的公比为,则
所以 解得
故.
依题意，得，即.
所以总费用为.故选.定义法
若为非零常数，或为非零常数且，，则是等比数列
中项公式法
若数列中，且，则是等比数列
通项公式法
若数列的通项公式可写成，均是不为0的常数，，则是等比数列
前项 和公式法
若数列的前项和为常数且，,1），则是等比数列