2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列专题突破12数列的综合问题

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列专题突破12数列的综合问题，共7页。试卷主要包含了等差、等比数列综合问题，数列与函数、不等式，新定义数列及奇、偶项问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 等差、等比数列综合问题
例1 已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1） 求数列，的通项公式；
解：设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为.
则，解得.所以.
所以，解得.所以.
所以，.
（2） 设数列是数列和数列的相同项从小到大组成的新数列，是数列的前项和，求，并判断是否为数列中的项（不必说明理由）？
[答案]
由（1），知数列 和数列 的相同项即为数列 的所有大于等于3的奇数项，也即，，，，， .所以，所以.
易知 为偶数，所以 必为数列 中的项.
【点拨】 ①求和需要先求出通项公式，求通项公式需要先求出首项和公差（公比），确定解题的顺序.②在数列的通项问题中，应注意第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响较大.
变式1 [2022年全国甲卷]记为数列的前项和.已知.
（1） 证明：是等差数列.
解：证明：，
即.
当 时，
.
，得.
即，
即，
所以，且.
所以 是以1为公差的等差数列.
（2） 若,,成等比数列，求的最小值.
[答案]
由（1）,可得，，.
又，，成等比数列，所以，即，解得.
所以，所以，
当 或 时,.
考点二 数列与函数、不等式
例2 已知数列的首项，且满足.
（1） 求证：数列为等比数列，并求的通项公式.
解：证明：由，取倒数，得.变形，得.
又，所以数列 是首项为，公比为 的等比数列.
所以.
所以.
（2） 若不等式恒成立，求实数 的取值范围.
[答案]
由（1），知，即.
所以.而函数 在 上单调递减，所以，故.
故 的取值范围为.
【点拨】 数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量,,为坐标的点在函数图象上，可得数列的递推关系；二是数列的项或前项和可以看作关于的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.数列不等式的证明问题，一般要把数列的求和与放缩法结合起来灵活运用.
变式2 已知数列的前项和为，且满足.
（1） 证明:数列是等比数列；
证明：由题意，得当 时，,
所以，即.
当 时，，所以.
故 是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2） 若数列满足，记数列的前项和为，证明:.
[答案]
由（1）,可知，所以.
所以.
所以.
因为当 时，，所以 为递增数列.故.
因为，所以.故.
所以.
考点三 新定义数列及奇、偶项问题
例3 [2020年新课标Ⅰ卷]已知公比大于1的等比数列满足,.
（1） 求的通项公式；
解：设 的公比为.由题设,得 解得（舍去）或.由题设,得.所以 的通项公式为.
（2） 记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和.
[答案]由题设及（1）,知，且当 时，所以.
【点拨】 解数列中的新定义问题的解题步骤：①读懂定义，理解新定义数列的含义；②通过特例列举（一般是前面一些项）寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，进行求解.奇偶数列的通项，常采用分类讨论法进行推理计算；奇偶数列的求和，常采用分组（并项）法求和，对推理能力要求较高.
变式3 [2021年新课标Ⅰ卷]已知数列满足，
（1） 记，写出，，并求数列的通项公式；
解： 为偶数,则,.所以,即,且.所以 是以2为首项,3为公差的等差数列.所以,,.
（2） 求的前20项和.
[答案]
当 为奇数时,.
所以 的前20项和为.
由（1）,可知.所以 的前20项和为.
规范答题——数列解答题
【范例】 [2023年新课标Ⅰ卷第20题]（12分）
设等差数列的公差为，且.令，记,分别为数列,的前项和.
（1） 若,，求的通项公式；
[答案]
因为，所以，
解得.（2分）（找到与的关系.）
所以.
又，
所以.
即，解得 或（舍去）.（4分）（求.）
所以.（6分）（写出的通项公式.）
（2） 若为等差数列，且，求.
[答案]
因为 为等差数列，所以，即.
所以，即，
解得 或.（8分）（找到与的关系.）
因为，所以.
又，由等差数列性质,知，即.
所以，即，解得 或（舍去）.（10分）（利用等差数列的性质找到与的关系，并求解.）
当 时，，解得，与 矛盾，无解.
当 时，，解得.
综上，.（12分）（分类讨论，求.）
【拆解】
【总结提升】数列是高考解答题必考题型之一，第一问常考求通项公式，第二问常考求和公式.破解此类问题需过以下几关:一是“定义”关，即熟练利用等差（比）数列的定义进行应用与证明；二是“基本量法”关，首项与公差（比）是等差（比）数列的“基本量”，在解决等差（比）数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法；三是求和关.分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
6分
中
①根据等差数列的通项公式建立方程求解.
②由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论，或采用通性通法求解.
考查推理论证、运算求解等关键能力及等差数列的概念、通项公式等基础知识.
考查推理论证、运算求解等关键能力及分类讨论等必备知识及方法.两问均突出对思维的考查，其中第（2）问有一定开放性.
第二问
6分
中