2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.1基本立体图形简单几何体的表面积与体积（附解析）

这是一份2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.1基本立体图形简单几何体的表面积与体积（附解析），共10页。
1. 如图所示的几何体是柱体的有（ B ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
解：①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱.故选.
2. 将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ D ）
A. 一个圆台、两个圆锥B. 两个圆台、一个圆柱
C. 两个圆柱、一个圆台D. 一个圆柱、两个圆锥
解：从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图．故选.
3. [2021年江苏卷]若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ C ）
A. B. C. D.
解：
作出圆锥的轴截面,如图所示.
设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.
则.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选.
4. 如图，一个水平放置的平行四边形的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形中，（ D ）
A. 3B. C. D. 9
解：在直观图 中，，，则，.把直观图还原为原图，如图所示，根据斜二测画法规则,得，，所以.故选.
5. 如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，，分别为圆柱上、下底面的圆心.经实验测量，得到圆柱上、下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（ B ）
A. B. C. D.
解：圆柱的上底面面积为，侧面积为.圆台的下底面面积为，圆台的母线长为，所以圆台的侧面积为.则该组合体的表面积为．故选.
6. [2023年全国乙卷]已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线， ，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ B ）
A. B. C. D.
解：在 中， ，而，取 的中点，连接,，有,.如图， ，,.由 的面积为，得，解得.于是.所以圆锥的体积 .故选.
7. [2023年新课标Ⅰ卷]在正四棱台中，,,，则该棱台的体积为 ．
解：如图，过点 作，垂足为.易知 为四棱台 的高.
因为,,，所以,.故，则.所以所求体积为.故填.
8. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形以边所在的直线为旋转轴旋转 得到的，,.
（1） 求这个几何体的体积；
解：由题意，可知若将矩形旋转一周，所得圆柱的体积为 .
因为该几何体是矩形旋转 得到，所以该几何体体积为 .
（2） 求这个几何体的表面积.
[答案]
由题设,得，则几何体外侧曲面的面积为 .
上、下底面的面积和为，矩形 与矩形 的面积和为.
综上，几何体的表面积为.
【综合运用】
9. [2022年全国甲卷]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则（ C ）
A. B. C. D.
解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以.
由圆心角之和为 ，得 ，则，所以,.所以甲圆锥的高，乙圆锥的高.所以.故选.
10. [2022年新课标Ⅱ卷]【多选题】如图，四边形为正方形， 平面，,，记三棱锥，，的体积分别为,,，则（ CD ）
A. B. C. D.
解：设.
因为 平面，，
所以，.
如图，连接 交 于点，连接,，易得.
又 平面， 平面，所以.又，, 平面，所以 平面.
又，过点 作 于点，易得四边形 为矩形，所以,.
则,
，
.
，则.
，.
则.
所以，，.
故，错误；，正确.
故选.
11. 某市民广场有一批球形路障球（如图1所示），现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳（如图2所示）.其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.经过测量，这批球形路障球每个直径为，若每个路障球为改造后所得立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体的表面积为 .
解：如图，由题意，知立方八面体表面有8个正三角形，再加上6个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等.因为路障球为立方八面体的外接球，所以图中 为外接球的直径.设立方八面体棱长为,在正六边形 中，,即,则.
所以立方八面体的表面积.故填.
12. 如图所示，四棱锥中， 菱形所在的平面， ，点，分别是，的中点.
（1） 求证：平面 平面.
解：证明：菱形 中，连接，如图.
则 是正三角形.又 是 的中点，所以.又，所以.因为 平面， 平面，所以.又，所以 平面.又 平面，所以平面 平面.
（2） 当时，求多面体的体积.
[答案]由（1）知,，.而 平面， 平面，于是有，.所以多面体 的体积.
【拓广探索】
13. 【多选题】下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ABD ）
A. 体积为的球体
B. 所有棱长均为的四面体
C. 底面直径为，高为的圆柱体
D. 底面直径为，侧面积为的圆锥体
解：对于,由球体的体积公式,得，所以球的半径，即球体的直径等于正方体的棱长，所以恰好能够被整体放入正方体内，故 正确.
对于,因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故 正确.
对于,因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故 不正确.
对于,由于圆锥的底面直径为，侧面积为，所以由圆锥的侧面积公式得，得母线长，所以高为，即圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故 正确.
故选.