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2024年江西省鹰潭市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年江西省鹰潭市中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−13是13的( )
A. 倒数B. 绝对值C. 相反数D. 以上都不是
2.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. a1⋅a4=a4
C. (−2a2)3=−8a6D. (a+2)2=a2+4
5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( )
A. (x+2)2=(x−4)2+x2B. (x+4)2=x2+(x−2)2
C. x2=(x−4)2+(x−2)2D. (x+4)2=(x+2)2+x2
6.实数a在数轴上对应点的位置如图所示.若实数b满足a+b<0，则b的值可以是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.在函数y=xx−3中，自变量x的取值范围是______．
8.中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米.将400000用科学记数法表示为______．
9.如图，将一块直角三角板的顶点B放在直尺的一边DE上，当DE与三角板的一边AC平行时，则∠ABD的度数为______．
10.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=2x的图象与正比例函数y=mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,a)，则点B的坐标为 ．
11.如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，OC⊥AB于点D.若OA= 10，AB=6，则tan∠AOD= ______．
12.在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解不等式组：x−1<12x2(1+x)>x；
(2)已知，如图，AB=AE，AB//DE，∠ECB=65°，∠D=115°，求证：△ABC≌△EAD．
14.(本小题6分)
先化简，再求值：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)其中x= 2+1．
15.(本小题6分)
如图在正方形格点中，已知顶点为格点的△ABC.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作平行四边形ABCD；
(2)在图2中，作BC边的垂直平分线．
16.(本小题6分)
江西省将于2024年整体实施高考综合改革.其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．
(1)首选科目选择物理的概率是______；
(2)某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率.(请用画树状图或列表的方法表示)
17.(本小题6分)
某惯性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
18.(本小题8分)
图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的(10m≤AC≤20m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为4m．
(1)当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
(2)某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为22m，请问该消防车能否实施有效救援？(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
19.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A和B，点B的纵坐标为1，点P(1,m)在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOP的面积．
20.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD//BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D=∠E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．
21.(本小题9分)
夏季来临，溺水事故进入高发季，为了增强学生的安全意识，把校园防溺水教育落到实处，某中学组织开展了“珍爱生命，预防溺水”安全教育专题讲座，邀请预防溺水宣讲员来校宣讲，并在讲座活动之后请同学们完成了“防溺水安全教育知识问卷”，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生填写的问卷，进行整理和分析(问卷得分均为整数，满分为10分)，相关数据统计、整理如下：
抽取的年级学生的问卷得分：6，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10
抽取的八年级学生的问卷得分条形统计图
抽取的七、八年级学生的问卷得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b的值，并补全条形统计图；
(2)根据以上数据分析，请从一个方面评价该校七、八年级中哪个年级抽取的学生填写的问卷成绩更好；
(3)该校七年级有500名学生填写了问卷，八年级有400名学生填写了问卷，请估计两个年级本次问卷成绩大于等于9分的学生总人数．
22.(本小题9分)
在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张A4纸进行折纸．
下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸(矩形ABCD的长：宽=2 2：1)折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理．
(1)折法一：如图1，将矩形ABCD的顶点D与BC边上的任意一点G重合对折，折痕为EF.求证：△EFG是等腰三角形．
(2)在折法一的条件下，若E是AD的中点，求sin∠EGF的值．
(3)折法二：如图2，先折出一个正方形CDHF，折痕为CH，再将点D折到BF上并让折痕过点F，折痕为EF，点D的对应点为点G.求证：EH=BG．
23.(本小题12分)
如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B(抛出前两小球在同一水平面上)，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面.A、B两球到地面的距离y1(m)和y2(m)与小球A离开小明手掌后运动的时间x(s)之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2.已知抛物线C1经过点P(0,2)，顶点是Q(1,7)，抛物线C2经过M(1,2)和N(2,5)两点，两抛物线的开口大小相同．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
(2)在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为______时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：C．
根据相反数的定义确定选项．
主要考查了相反数、倒数、绝对值，掌握这几个概念的区别．
2.【答案】D
【解析】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
故选：D．
根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得答案．
本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．
3.【答案】A
【解析】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．
符合题意的画法是A．
故选：A．
连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．
本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．
4.【答案】C
【解析】解：A.2a+3b≠5ab，故该选项不正确，不符合题意；
B.a1⋅a4=a5，故该选项不正确，不符合题意；
C. (−2a2)3=−8a6，故该选项正确，符合题意；
D. (a+2)2=a2+4a+4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据完全平方公式、合并同类项的方法、幂的乘法与积的乘法法则、同底数幂的除法法则进行解题即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为(x−2)尺，宽为(x−4)尺，
根据题意得：x2=(x−4)2+(x−2)2．
故选：C．
根据各边之间的关系，可得出门的高为(x−2)尺，宽为(x−4)尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点与有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定 b 的取值范围．根据题意可得 11 ，再由 a+b<0 ，可得 b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，从而得到 b<−a<−1 ，即可求解．
【解答】
解∶根据题意得∶ 1∵ a+b<0 ，
∴ b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，
∴ b<−a<−1 ，
∴ b 的值可以是 −2 ．
故选A
7.【答案】x≠3
【解析】解：由题意，得
x−3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
根据分母不为0可得：x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8.【答案】4×105
【解析】解：400000=4×105．
故答案为：4×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】150°
【解析】解：依题意得：DE//AC，∠C=90°，∠ABC=60°，
∵DE//AC，∠C=90°，
∴∠C=∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+90°=150°
故答案为：150°．
依题意得DE//AC，∠C=90°，∠ABC=60°，先求出∠CBD=90°，再用用加法计算即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线性质是关键．
10.【答案】(−1,−2)
【解析】解：把A(1,a)代y=2x，可得a=2，
∴A(1,2)，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)．
把A(1,a)代y=2x，可得a=2，可得A(1,2)，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
11.【答案】3
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOD=90°，AD=BD=12AB=3，
在Rt△AOD中，OD= OA2−AD2= ( 10)2−32=1，
∴tan∠AOD=ADOD=31=3．
故答案为：3．
先利用垂径定理得到AD=3，再利用勾股定理计算出OD，然后根据正切的定义求解．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了解直角三角形．
12.【答案】3或 13或2 3．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°．
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=12AD，AF=12AB，
∴AE=AF=2．
连接EF，△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，
当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=12AF=1，
∴BP=AB−AP=4−1=3；
②当点P在AD边上时；如图，
连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=PE=12AE=1，
连接BD，BE，BP，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，
由勾股定理得BE= 42−22=2 3，
由勾股定理得：PB= BE2+PE2= 12+1= 13；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，
当点P是CD的中点时，此时PC=12CD=2，
∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE//AC，EF//BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD=BC，∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得PB= BC2−PC2= 16−4=2 3；
综上，PB的长为3或 13或2 3．
故答案为：3或 13或2 3．
本题分三种情况：①当点P在AB边上时，②当点P在AD边上时，③当点P在CD边上时，需分别画出图形，再求值．
本题主要考查了学生对于菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识的掌握情况，难度较大，需要认真作答．
13.【答案】(1)解：原不等式组为x−1<12x①2(1+x)>x②，
解不等式①，得x<2；
解不等式②，得x>−2，
∴原不等式组的解集为−2(2)证明：∵∠ECB=65°，
∴∠ACB=115°，
又∵∠D=115°，
∴∠ACB=∠D，
∵AB//DE，
∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
∠ACB=∠D∠CAB=∠EAB=AE，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【解析】(1)先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集．
(2)由∠ECB=65°得∠ACB=115°，再由AB//DE，证得∠CAB=∠E，再结合已知条件AB=AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
本题考查全等三角形的判定，解不等式组，掌握一元一次不等式的解法和全等三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】解：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)
=x+1(x−1)2÷x+1x−1
=x+1(x−1)2⋅x−1x+1
=1x−1，
当x= 2+1时，
原式=1 2+1−1
= 22．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算．
本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．
15.【答案】解：(1)如图所示，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图所示，直线MN即为所求，
【解析】(1)根据平行四边形的性质，将点往左平移1格，再向上平移2格得到点D，则四边形ABCD是平行四边形；
(2)取格点E，BC的中点N，直线EN即为所求．
本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】12
【解析】解：(1)∵首选科目有物理、历史2门科目，
∴选科目选择物理的概率是12，
故答案为：12；
(2)再选科目有思想政治、地理、化学、生物4门科目分别记为：S，D，H，s，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中选中化学和地理有2种情况，
∴P(选中化学和地理)=212=16．
(1)根据概率公式直接求出即可；
(2)用列表法或画树状图法解答即可．
本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意可得：4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
(2)由题意可得：3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6．
【解析】(1)根据题意列出算式可求解；
(2)由题意列出方程可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF=∠EFG=∠FGA=90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG=AE=4m，∠EAG=90°，
∴∠GAC=∠EAC−∠EAG=120°−90°=30°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=12×sin30°=12×12=6(m)，
∴CF=CG+GF=6+4=10m；
(2)如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF=∠EFG=∠FGA=90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG=AE=4m，∠EAG=90°，
∴∠GAC=∠EAC−∠EAG=150°−90°=60°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=24×sin60°=24× 32≈20.78(m)，
∴CF=CG+GF=20.78+4=24.78(m)；
∴最高救援高度为24.78m，
故该消防车能实施有效救援．
【解析】(1)如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG=AE=3.5m，∠EAG=90°，再计算出∠GAC=30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可；
(2)如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG=AE=3.5m，∠EAG=90°，再计算出∠GAC=60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
19.【答案】解：(1)∵点B的纵坐标为1，点B在正比例函数y=14x图象上，
则B的横坐标为x=4y=4×1=4，
∴点B(4,1)，
把点B(4,1)代入y=kx，得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x，
∵把P(1,m)代入y=4x得：m=41=4，
(2)∵点A与点B关于原点对称，点B(4,1)，
∴点A(−4,−1)，
设AP与y轴交于点C，
直线AP的函数关系式为y=ax+b，
把点A(−4,−1)、P(1,4)分别代入得：
−4a+b=−1a+b=4，
解得a=1b=3，
∴直线AP的函数关系式为y=x+3，
∴点C的坐标(0,3)，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC=12×3×4+12×3×1=152．
【解析】(1)根据题意先求得点B(4,1)，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把P(1,m)代入到解析式，即可求得m的值；
(2)根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AD//BC，
∴∠B=∠DAB．
∵∠B=∠D，
∴∠DAB=∠D．
∵∠D=∠E，
∴∠DAB=∠E，
∴AB//EC．
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由(1)知：AB//EC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC=AE=5，AB=EC=8．
∵OC⊥AB，
∴AF=BF=12AB=4．
∴FC= BC2−BF2=3．
设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，
∵OF2+BF2=OB2，
∴(r−3)2+42=r2，
解得：r=256．
∴⊙O半径的长为256．
【解析】(1)连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OC，OB，OC交AB于点F，利用(1)的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】解：(1)a=9，b=8，
八年级D等级的学生人数为：20−5−2−2−4=7，
补全条形统计图如图所示；
(2)八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好，
因为七、八年级抽取的学生填写的问卷成绩的平均数均为7.9，但八年级抽取的学生填
写的问卷成绩中位数9大于七年级抽取的学生填写的问卷成绩中位数8，
所以八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好．(合理即可)，
(3)500×3+320+400×7+420=370，
答：估计两个年级本次问卷成绩大于等于9的学生总人数为370人．
【解析】(1)根据众数和中位数的概念求解可得a、b的值，再求出八年级D等级的学生人数，即可补全条形统计图；
(2)从众数或中位数方面比较大小即可得；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、频数分布表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
22.【答案】(1)证明：由折叠的性质得∠DEF=∠GEF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠GEF=∠EFB，
∴GE=GF，
∴△EFG是等腰三角形；
(2)解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，AB⊥CD，
∴EH=AB，
设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，
∵E是AD的中点，
∴EG=ED=12AD= 2x，
∴sin∠EGF=EHEG=x 2x= 22．
∴sin∠EGF的值为 22；
(3)证明：设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，
∵四边形CDHF是正方形，
∴DH=HF=CF=CD=x，
由折叠的性质得D′G=CD=x，D′F=CF=x，∠D′=∠ADC=90°，
∴FG= 2x，
∴BG=BC−FG−CF=2 2x− 2x−x= 2x−x，
由(1)知GE=GF= 2x，
由折叠的性质得DE=GE= 2x，
∴EH=DE−DH= 2x−x，
∴EH=BG．
【解析】(1)由矩形的性质和折叠的性质可以得出∠GEF=∠EFB，即可得出结论；
(2)设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，求出EG=ED=12AD= 2x，过E作EH⊥BC于H，则EH=AB=x，根据锐角三角函数的定义即可求解；
(3)分别求出EH、BG的长，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和折叠的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y1与x之间的函数表达式为y1=a(x+m)2+k．
∵顶点Q的坐标是(1,7)，
∴y1=a(x−1)2+7，
因为点P(0,2)在抛物线C1上，
所以点P(0,2)的坐标满足y1=a(x−1)2+7，
即2=a(0−1)2+7，解得a=−5，
∴y1=−5(x−1)2+7，
∵两抛物线的开口大小相同，
∴设y2与x之间的函数表达式为y2=−5x2+bx+c，
因为点M(1,2)和N(2,5)都在抛物线C2上，
所以点M(1,2)和N(2,5)的坐标满足y2=−5x2+bx+c，
即2=−5+b+c5=−20+2b+c，解得b=18c=−11，
∴y2=−5x2+18x−11；
(2)①138；
②令y1=0，则0=−5(x−1)2+7．
解方程得x1=1+ 355，x2=1− 355(不合题意，舍去)，
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+ 355．
当1≤x≤138时，两球到地面的距离之差y1−y2=−8x+13，
∵−8<0，
∴y1−y2随x的增大而减小．
∴当x=1时，y1−y2有最大值，最大值是5，
当138≤x≤1+ 355时，两球到地面的距离之差y2−y1=8x−13，
∵8>0，
∴y2−y1随x的增大而增大．
∴当x=1+ 355时，y2−y1有最大值，最大值是8 355−5，
∵8 355−5<5．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是5m．
【解析】【分析】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉二次函数的图象和性质是本题解题的关键．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)①令y1=y2，即可求解；
②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+ 355.当1≤x≤138时，两球到地面的距离之差y1−y2=−8x+13，进而求解；当138≤x≤1+ 355时，同理可得；当x=1+ 355时，y2−y1有最大值，最大值是8 355−5，进而求解．
【解答】
(1)见答案；
(2)①令y1=y2，则−5(x−1)2+7=−5x2+18x−11，解得x=138，
故答案为：138；
②见答案．投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分(分)
3
1
−2
A
7分以下
B
7分
C
8分
D
9分
E
10分
年级
七年级
八年级
平均数
7.9
7.9
中位数
8
a
众数
b
9
1.−13是13的( )
A. 倒数B. 绝对值C. 相反数D. 以上都不是
2.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. a1⋅a4=a4
C. (−2a2)3=−8a6D. (a+2)2=a2+4
5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽.另有一竹竿，也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺，则可列方程为( )
A. (x+2)2=(x−4)2+x2B. (x+4)2=x2+(x−2)2
C. x2=(x−4)2+(x−2)2D. (x+4)2=(x+2)2+x2
6.实数a在数轴上对应点的位置如图所示.若实数b满足a+b<0，则b的值可以是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.在函数y=xx−3中，自变量x的取值范围是______．
8.中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米.将400000用科学记数法表示为______．
9.如图，将一块直角三角板的顶点B放在直尺的一边DE上，当DE与三角板的一边AC平行时，则∠ABD的度数为______．
10.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=2x的图象与正比例函数y=mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,a)，则点B的坐标为 ．
11.如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，OC⊥AB于点D.若OA= 10，AB=6，则tan∠AOD= ______．
12.在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解不等式组：x−1<12x2(1+x)>x；
(2)已知，如图，AB=AE，AB//DE，∠ECB=65°，∠D=115°，求证：△ABC≌△EAD．
14.(本小题6分)
先化简，再求值：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)其中x= 2+1．
15.(本小题6分)
如图在正方形格点中，已知顶点为格点的△ABC.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作平行四边形ABCD；
(2)在图2中，作BC边的垂直平分线．
16.(本小题6分)
江西省将于2024年整体实施高考综合改革.其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．
(1)首选科目选择物理的概率是______；
(2)某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率.(请用画树状图或列表的方法表示)
17.(本小题6分)
某惯性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
18.(本小题8分)
图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的(10m≤AC≤20m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为4m．
(1)当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
(2)某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为22m，请问该消防车能否实施有效救援？(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
19.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A和B，点B的纵坐标为1，点P(1,m)在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOP的面积．
20.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD//BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D=∠E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．
21.(本小题9分)
夏季来临，溺水事故进入高发季，为了增强学生的安全意识，把校园防溺水教育落到实处，某中学组织开展了“珍爱生命，预防溺水”安全教育专题讲座，邀请预防溺水宣讲员来校宣讲，并在讲座活动之后请同学们完成了“防溺水安全教育知识问卷”，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生填写的问卷，进行整理和分析(问卷得分均为整数，满分为10分)，相关数据统计、整理如下：
抽取的年级学生的问卷得分：6，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10
抽取的八年级学生的问卷得分条形统计图
抽取的七、八年级学生的问卷得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b的值，并补全条形统计图；
(2)根据以上数据分析，请从一个方面评价该校七、八年级中哪个年级抽取的学生填写的问卷成绩更好；
(3)该校七年级有500名学生填写了问卷，八年级有400名学生填写了问卷，请估计两个年级本次问卷成绩大于等于9分的学生总人数．
22.(本小题9分)
在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张A4纸进行折纸．
下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸(矩形ABCD的长：宽=2 2：1)折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理．
(1)折法一：如图1，将矩形ABCD的顶点D与BC边上的任意一点G重合对折，折痕为EF.求证：△EFG是等腰三角形．
(2)在折法一的条件下，若E是AD的中点，求sin∠EGF的值．
(3)折法二：如图2，先折出一个正方形CDHF，折痕为CH，再将点D折到BF上并让折痕过点F，折痕为EF，点D的对应点为点G.求证：EH=BG．
23.(本小题12分)
如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B(抛出前两小球在同一水平面上)，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面.A、B两球到地面的距离y1(m)和y2(m)与小球A离开小明手掌后运动的时间x(s)之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2.已知抛物线C1经过点P(0,2)，顶点是Q(1,7)，抛物线C2经过M(1,2)和N(2,5)两点，两抛物线的开口大小相同．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
(2)在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为______时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：C．
根据相反数的定义确定选项．
主要考查了相反数、倒数、绝对值，掌握这几个概念的区别．
2.【答案】D
【解析】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
故选：D．
根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得答案．
本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．
3.【答案】A
【解析】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．
符合题意的画法是A．
故选：A．
连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．
本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．
4.【答案】C
【解析】解：A.2a+3b≠5ab，故该选项不正确，不符合题意；
B.a1⋅a4=a5，故该选项不正确，不符合题意；
C. (−2a2)3=−8a6，故该选项正确，符合题意；
D. (a+2)2=a2+4a+4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据完全平方公式、合并同类项的方法、幂的乘法与积的乘法法则、同底数幂的除法法则进行解题即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为(x−2)尺，宽为(x−4)尺，
根据题意得：x2=(x−4)2+(x−2)2．
故选：C．
根据各边之间的关系，可得出门的高为(x−2)尺，宽为(x−4)尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点与有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定 b 的取值范围．根据题意可得 1
【解答】
解∶根据题意得∶ 1
∴ b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，
∴ b<−a<−1 ，
∴ b 的值可以是 −2 ．
故选A
7.【答案】x≠3
【解析】解：由题意，得
x−3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
根据分母不为0可得：x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8.【答案】4×105
【解析】解：400000=4×105．
故答案为：4×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】150°
【解析】解：依题意得：DE//AC，∠C=90°，∠ABC=60°，
∵DE//AC，∠C=90°，
∴∠C=∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+90°=150°
故答案为：150°．
依题意得DE//AC，∠C=90°，∠ABC=60°，先求出∠CBD=90°，再用用加法计算即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线性质是关键．
10.【答案】(−1,−2)
【解析】解：把A(1,a)代y=2x，可得a=2，
∴A(1,2)，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)．
把A(1,a)代y=2x，可得a=2，可得A(1,2)，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
11.【答案】3
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOD=90°，AD=BD=12AB=3，
在Rt△AOD中，OD= OA2−AD2= ( 10)2−32=1，
∴tan∠AOD=ADOD=31=3．
故答案为：3．
先利用垂径定理得到AD=3，再利用勾股定理计算出OD，然后根据正切的定义求解．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了解直角三角形．
12.【答案】3或 13或2 3．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°．
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=12AD，AF=12AB，
∴AE=AF=2．
连接EF，△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，
当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=12AF=1，
∴BP=AB−AP=4−1=3；
②当点P在AD边上时；如图，
连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，
此时AP=PE=12AE=1，
连接BD，BE，BP，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，
由勾股定理得BE= 42−22=2 3，
由勾股定理得：PB= BE2+PE2= 12+1= 13；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，
当点P是CD的中点时，此时PC=12CD=2，
∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE//AC，EF//BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD=BC，∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得PB= BC2−PC2= 16−4=2 3；
综上，PB的长为3或 13或2 3．
故答案为：3或 13或2 3．
本题分三种情况：①当点P在AB边上时，②当点P在AD边上时，③当点P在CD边上时，需分别画出图形，再求值．
本题主要考查了学生对于菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识的掌握情况，难度较大，需要认真作答．
13.【答案】(1)解：原不等式组为x−1<12x①2(1+x)>x②，
解不等式①，得x<2；
解不等式②，得x>−2，
∴原不等式组的解集为−2
∴∠ACB=115°，
又∵∠D=115°，
∴∠ACB=∠D，
∵AB//DE，
∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
∠ACB=∠D∠CAB=∠EAB=AE，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【解析】(1)先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集．
(2)由∠ECB=65°得∠ACB=115°，再由AB//DE，证得∠CAB=∠E，再结合已知条件AB=AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
本题考查全等三角形的判定，解不等式组，掌握一元一次不等式的解法和全等三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】解：x+1x2−2x+1÷(1+2x−1)
=x+1(x−1)2÷x+1x−1
=x+1(x−1)2⋅x−1x+1
=1x−1，
当x= 2+1时，
原式=1 2+1−1
= 22．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算．
本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．
15.【答案】解：(1)如图所示，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图所示，直线MN即为所求，
【解析】(1)根据平行四边形的性质，将点往左平移1格，再向上平移2格得到点D，则四边形ABCD是平行四边形；
(2)取格点E，BC的中点N，直线EN即为所求．
本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】12
【解析】解：(1)∵首选科目有物理、历史2门科目，
∴选科目选择物理的概率是12，
故答案为：12；
(2)再选科目有思想政治、地理、化学、生物4门科目分别记为：S，D，H，s，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中选中化学和地理有2种情况，
∴P(选中化学和地理)=212=16．
(1)根据概率公式直接求出即可；
(2)用列表法或画树状图法解答即可．
本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意可得：4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
(2)由题意可得：3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6．
【解析】(1)根据题意列出算式可求解；
(2)由题意列出方程可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF=∠EFG=∠FGA=90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG=AE=4m，∠EAG=90°，
∴∠GAC=∠EAC−∠EAG=120°−90°=30°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=12×sin30°=12×12=6(m)，
∴CF=CG+GF=6+4=10m；
(2)如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF=∠EFG=∠FGA=90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG=AE=4m，∠EAG=90°，
∴∠GAC=∠EAC−∠EAG=150°−90°=60°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG=CGAC，
∴CG=AC⋅sin∠CAG=24×sin60°=24× 32≈20.78(m)，
∴CF=CG+GF=20.78+4=24.78(m)；
∴最高救援高度为24.78m，
故该消防车能实施有效救援．
【解析】(1)如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG=AE=3.5m，∠EAG=90°，再计算出∠GAC=30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可；
(2)如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG=AE=3.5m，∠EAG=90°，再计算出∠GAC=60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
19.【答案】解：(1)∵点B的纵坐标为1，点B在正比例函数y=14x图象上，
则B的横坐标为x=4y=4×1=4，
∴点B(4,1)，
把点B(4,1)代入y=kx，得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x，
∵把P(1,m)代入y=4x得：m=41=4，
(2)∵点A与点B关于原点对称，点B(4,1)，
∴点A(−4,−1)，
设AP与y轴交于点C，
直线AP的函数关系式为y=ax+b，
把点A(−4,−1)、P(1,4)分别代入得：
−4a+b=−1a+b=4，
解得a=1b=3，
∴直线AP的函数关系式为y=x+3，
∴点C的坐标(0,3)，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC=12×3×4+12×3×1=152．
【解析】(1)根据题意先求得点B(4,1)，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把P(1,m)代入到解析式，即可求得m的值；
(2)根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AD//BC，
∴∠B=∠DAB．
∵∠B=∠D，
∴∠DAB=∠D．
∵∠D=∠E，
∴∠DAB=∠E，
∴AB//EC．
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由(1)知：AB//EC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC=AE=5，AB=EC=8．
∵OC⊥AB，
∴AF=BF=12AB=4．
∴FC= BC2−BF2=3．
设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，
∵OF2+BF2=OB2，
∴(r−3)2+42=r2，
解得：r=256．
∴⊙O半径的长为256．
【解析】(1)连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OC，OB，OC交AB于点F，利用(1)的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】解：(1)a=9，b=8，
八年级D等级的学生人数为：20−5−2−2−4=7，
补全条形统计图如图所示；
(2)八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好，
因为七、八年级抽取的学生填写的问卷成绩的平均数均为7.9，但八年级抽取的学生填
写的问卷成绩中位数9大于七年级抽取的学生填写的问卷成绩中位数8，
所以八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好．(合理即可)，
(3)500×3+320+400×7+420=370，
答：估计两个年级本次问卷成绩大于等于9的学生总人数为370人．
【解析】(1)根据众数和中位数的概念求解可得a、b的值，再求出八年级D等级的学生人数，即可补全条形统计图；
(2)从众数或中位数方面比较大小即可得；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、频数分布表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
22.【答案】(1)证明：由折叠的性质得∠DEF=∠GEF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠GEF=∠EFB，
∴GE=GF，
∴△EFG是等腰三角形；
(2)解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，AB⊥CD，
∴EH=AB，
设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，
∵E是AD的中点，
∴EG=ED=12AD= 2x，
∴sin∠EGF=EHEG=x 2x= 22．
∴sin∠EGF的值为 22；
(3)证明：设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，
∵四边形CDHF是正方形，
∴DH=HF=CF=CD=x，
由折叠的性质得D′G=CD=x，D′F=CF=x，∠D′=∠ADC=90°，
∴FG= 2x，
∴BG=BC−FG−CF=2 2x− 2x−x= 2x−x，
由(1)知GE=GF= 2x，
由折叠的性质得DE=GE= 2x，
∴EH=DE−DH= 2x−x，
∴EH=BG．
【解析】(1)由矩形的性质和折叠的性质可以得出∠GEF=∠EFB，即可得出结论；
(2)设AD=BC=2 2x，AB=CD=x，求出EG=ED=12AD= 2x，过E作EH⊥BC于H，则EH=AB=x，根据锐角三角函数的定义即可求解；
(3)分别求出EH、BG的长，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和折叠的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y1与x之间的函数表达式为y1=a(x+m)2+k．
∵顶点Q的坐标是(1,7)，
∴y1=a(x−1)2+7，
因为点P(0,2)在抛物线C1上，
所以点P(0,2)的坐标满足y1=a(x−1)2+7，
即2=a(0−1)2+7，解得a=−5，
∴y1=−5(x−1)2+7，
∵两抛物线的开口大小相同，
∴设y2与x之间的函数表达式为y2=−5x2+bx+c，
因为点M(1,2)和N(2,5)都在抛物线C2上，
所以点M(1,2)和N(2,5)的坐标满足y2=−5x2+bx+c，
即2=−5+b+c5=−20+2b+c，解得b=18c=−11，
∴y2=−5x2+18x−11；
(2)①138；
②令y1=0，则0=−5(x−1)2+7．
解方程得x1=1+ 355，x2=1− 355(不合题意，舍去)，
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+ 355．
当1≤x≤138时，两球到地面的距离之差y1−y2=−8x+13，
∵−8<0，
∴y1−y2随x的增大而减小．
∴当x=1时，y1−y2有最大值，最大值是5，
当138≤x≤1+ 355时，两球到地面的距离之差y2−y1=8x−13，
∵8>0，
∴y2−y1随x的增大而增大．
∴当x=1+ 355时，y2−y1有最大值，最大值是8 355−5，
∵8 355−5<5．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是5m．
【解析】【分析】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉二次函数的图象和性质是本题解题的关键．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)①令y1=y2，即可求解；
②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+ 355.当1≤x≤138时，两球到地面的距离之差y1−y2=−8x+13，进而求解；当138≤x≤1+ 355时，同理可得；当x=1+ 355时，y2−y1有最大值，最大值是8 355−5，进而求解．
【解答】
(1)见答案；
(2)①令y1=y2，则−5(x−1)2+7=−5x2+18x−11，解得x=138，
故答案为：138；
②见答案．投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分(分)
3
1
−2
A
7分以下
B
7分
C
8分
D
9分
E
10分
年级
七年级
八年级
平均数
7.9
7.9
中位数
8
a
众数
b
9
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