2024年江西省南昌市南昌县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省南昌市南昌县中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各数中最小的数是( )
A. B. C. D.
3.计算下列各式结果为的是( )
A. B. C. D.
4.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图是四张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则满足题意的三角形的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.单项式的次数是______．
8.中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了个晶体管，将用科学记数法表示为______．
9.函数自变量的取值范围是______．
10.把因式分解的结果是______．
11.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为______．
12.是等边三角形，点与点在的同侧，连接、，是等腰直角三角形，则的度数为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：．
14.本小题分
如图，，相交于点，，，求证：≌．
15.本小题分
如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求完成下列作图：
仅用无刻度直尺；保留作图痕迹．
在图中画一个，使得∽，且相似比为：．
在图中以为直径的半圆上找一点，画出，使得．
16.本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：
上面的运算过程中第______步出现了错误；
请你写出完整的解答过程．
17.本小题分
田园空阔无桃李，一段春光属菜花春天非常适合观赏油菜花，南昌县推出多个大面积油菜花观赏地，小明和小亮准备周六从以下四个地方随机选择一个：蒋巷镇；南新乡；银三角；塔城乡．
小亮选择蒋巷镇的概率是______；
用画树状图的方法求小明和小亮刚好选择同一个地方的概率．
18.本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
分别求出两个函数的解析式；
连接，求的面积．
19.本小题分
某校为了解“阳光体育”的开展情况，从全校名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查每名学生只能写一项，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据信息回答问题：
被调查的学生共有______名，并补全条形统计图；
在扇形统计图中， ______， ______，所在的圆心角为______；
全校学生中，喜欢篮球的大约有______人．
20.本小题分
倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进，两种型号的健身器材若干套，，两种型号健身器材的购买单价分别为每套元，元，且每种型号健身器材必须整套购买．
若购买，两种型号的健身器材共套，且恰好支出元，求，两种型号健身器材各购买多少套？
若购买，两种型号的健身器材共套，且支出不超过元，求种型号健身器材至少要购买多少套？
21.本小题分
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
连结，求线段的长．
求点，之间的距离．
结果精确到参考数据：，，，，，
22.本小题分
中，，为边上一点．经过点，与，两边分别交于点，，连接．
如图，若，，则______．
如图，平分，交于点，经过点．
求证：为的切线；
若，的半径为，求的长．
23.本小题分
【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图，如果，则点为线段的黄金分割点．
【问题发现】如图，点为线段的黄金分割点，请直接写出：的值为______；
【尺规作黄金分割点】如图，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值；
【问题解决】如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点．
24.本小题分
已知抛物线：，直线将抛物线分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线关于直线的“双抛图形”．
如图所示，当时，抛物线：上的点，，，，分别关于直线对称的点为，，，，，如表：
补全表格；
在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为；

若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为______；
若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为______．
【探究问题】
若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为______用含的式子表达；
若双抛图形的函数值随着的增大而增大，求出的取值范围用含的式子表达．
答案和解析
1.【答案】
解：，，选项中的图标都不能找一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】
解：根据实数比较大小的方法，可得
，
各数中最小的数是．
故选：．
3.【答案】
解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
故选：．
将代入求解即可．
此题考查了一元二次方程的根的定义，熟记定义是解题的关键．
5.【答案】
解：由作图痕迹可以看出，垂直平分线段，
，
由区域的作图痕迹可以看出，是的平分线，
．
故选：．
由作图痕迹可以看出，垂直平分线段，是的平分线，根据角平分线性质和线段垂直平分线性质解答即可．
本题考查了基本作图，熟练掌握线段垂直平分线作法和角平分线作法是解答本题的关键．
6.【答案】
解：所作图形如图所示，
四种图都可以拼一个与原来面积相等的矩形，
故选：．
根据图形可得甲可以拼一个与原来面积相等的矩形，图乙可以拼一个与原来面积相等的矩形；
本题考查了图形的拼剪，解答本题的关键是根据题意作出图形．
7.【答案】
解：的次数为：．
故答案为：．
直接利用单项式次数的定义得出答案．
此题主要考查了单项式，正确把握单项式次数的确定方法是解题关键．
8.【答案】
解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
9.【答案】
解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数大于等于零解答．
此题考查函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
10.【答案】
解：原式
故答案为：
根据因式分解的方法即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
11.【答案】
解：由题意可得：
，
故答案为：．
根据速度关系列方程求解即可得到答案．
本题考查分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键．
12.【答案】或或
解：是等边三角形，
，，
如图，当为斜边时，，，
，，
；
如图，当为斜边时，，，则，
，，
≌，
，
；
如图，当为斜边时，，，，
，
，
，
，
．
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
分三种情况：当为斜边时；当为斜边时，当为斜边时，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
13.【答案】解：


．
【解析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则是解题的关键．
14.【答案】证明：在和中，
，
≌．
【解析】根据，相交于点可得，再根据已知条件，可依据“”判定和全等．
此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
15.【答案】解：如图中，即为所求作．

如图中，即为所求作．
【解析】根据相似三角形的判定，以及题目要求画出图形即可．
取格点，，连接交于，连接，即为所求作．
本题考查作图相似变换，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
解：第步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：；
原式，
，
，
，
．
故答案为：．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
17.【答案】
解：小明和小亮准备周六从以下四个地方随机选择一个：蒋巷镇；南新乡；银三角；塔城乡．
小亮选择蒋巷镇的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小亮刚好选择同一个地方的结果有种，
小明和小亮刚好选择同一个地方的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮刚好选择同一个地方的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：由过点和可得：
，
解得：，
故，
又由过点和可得：
，
解得，
故．
由过点，可知，
故，
而点横坐标为，
．
【解析】将、代入反比例函数中即可求出、的值，代入一次函数中即可求得函数的解析式；
根据一次函数解析式求出点坐标即可根据三角形面积计算公式求出．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
19.【答案】；
；；；

【解析】【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据条形图和扇形图得到喜欢乒乓球的人数和所占的百分比，计算即可；
根据条形图计算即可；
根据被调查的喜欢篮球的人数所占的百分比计算即可．
【解答】
解：由条形图可知，喜欢乒乓球的人数是人，
由扇形图可知，喜欢乒乓球的人数所占的百分比是，
则被调查的学生共有人，
故答案为；图见答案；
，，
则，，所在的圆心角为，
故答案为；；．
全校学生中喜欢篮球的人数大约是人．
20.【答案】解：设购买种型号健身器材套，型器材健身器材套，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买种型号健身器材套，型器材健身器材套．
设购买型号健身器材套，则购买型号健身器材套，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
的最小值为，
答：种型号健身器材至少要购买套．
【解析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键．
设购买种型号健身器材套，型器材健身器材套，根据：“，两种型号的健身器材共套、共支出元”列方程组求解可得；
设购买型号健身器材套，根据：型器材总费用型器材总费用，列不等式求解可得．
21.【答案】解：如图，过点作于点，

，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离．
【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题；
根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22.【答案】
证明：如图中，连接
，，
平分，，，
，．
又，，
，又是的半径，为的切线．

解：如图中，过作于点．
由垂径定理，得：，又，，
，在中，由勾股定理，得：，
的半径为，，，．
，
四边形为矩形，
．
【解析】证明是等腰直角三角形可得结论．
如图中，

是直径，，，，，
是等腰直角三角形，
连接，欲证明是切线，只要证明．
过作于点证明四边形四边形为矩形，求出，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
23.【答案】
解：，
，
，
，
解得：或小于，舍去，
：：：：；
故答案为：；
解：在中，，，
，
，
，
，
；
证明：设与交于点，过作于，如图：
由翻折的性质可知，，，，，，
，，
是的中点，，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，
是的黄金分割点．
根据黄金分割点的定义，以及线段间的和差关系，列出一元二次方程，求解即可；
根据勾股定理求出的长，然后求出的长即可求解；
设与交于点，过作于，先根据翻折的性质，得出的长，以及，，再根据勾股定理求出的长，然后根据正弦的定义求出的长，最后根据三角形中位线定理，求出的长，即可套用黄金分割点的定义论证结论．
本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数的定义，三角形中位线定理以及翻折的性质，题目难度适中．
24.【答案】 或
解：由题意得：，和，关于直线对称，
故：，
故答案为：，，，；
根据函数的对称性画图如下：
通过图可知，当时，和有个交点，
当时，，
即：，
故答案为：；
从图象看，双抛图形的函数值随着的增大而增大，此时的取值范围为：或，
故答案为：或；
由知，与关于直线对称，且当时，，
时与直线恰好有个交点，
故答案为：；
设抛物线的顶点为点，点关于直线的对称点为，
抛物线：，
顶点的横坐标为，对称点的横坐标为，
当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为：或，
当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为：或．
由题意得：，和，关于直线对称，即可求解；
根据函数的对称性即可画图；
通过图可知，当时，和有个交点，即可求解；
观察函数图象即可求解；
由知，与关于直线对称，即可求解；
分两种情况讨论：当时，当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，求得的取值范围．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，点的对称性，等边三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识．解：原式
解：
______，______
______，______