2024年江西省萍乡市安源区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省萍乡市安源区中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的相反数是( )
A. 2024B. −12024C. −2024D. 12024
2.下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. a1⋅a4=a4
C. (−2a2)3=−8a6D. (a+2)2=a2+4
3.如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是( )
A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 8cm
5.函数y= x−2x−3中自变量x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x≥2且x≠3D. x≠3
6.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：4ab−2a=______．
8.一颗中高轨道卫星距离地面高度大约是21500000米，将数据21500000用科学记数法表示为______．
9.已知−2是关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根，则这个方程的另一个根为______．
10.如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上过点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于______°
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF/​/BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为______．
12.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题3分)
计算：2sin60°+|1− 3|+20240− 27．
14.(本小题3分)
在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−x+x2−4x2+2x)÷1x，且x为满足−316.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE=EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；
(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．
17.(本小题6分)
端午节当天，小明带了四个粽子(除味道不同外，其它均相同)，其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．
(1)小刚拿到的两个粽子都为大枣味是______事件；(填“必然”、“不可能”“随机”)
(2)请你用树状图或列表的方法，求小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．
18.(本小题6分)
如图，已知反比例函数y=kx的图象与直线y=-x+b都经过点A(1,4)，且该直线与x轴的交点为B．

(1)求反比例函数和直线的解析式；
(2)求△AOB的面积．
19.(本小题8分)
某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据，绘制出三幅不完整的统计图表，请根据图表中提供的信息解答下列问题：
(1)统计表中m= ______，n= ______，扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占______%；
(2)完善条形统计图，并通过计算可知扇形统计图中扇形C圆心角的度数为______度；
(3)通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
20.(本小题8分)
某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元．
(1)求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
(2)若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21.(本小题8分)
汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF/​/BE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m.(参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4)
(1)求盲区中DE的长度；
(2)点M在ED上，MD=1.8m，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
(1)求证：直线MN是⊙O的切线；
(2)若AD=3，CD= 3，
①求⊙O的直径；
②求阴影部分的面积．
23.(本小题9分)
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：______；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB=2 2，CD=14BC，请求出GE的长．
24.(本小题12分)
如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接PB、PC，求△PBC的面积；
(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的相反数是2024，
故选：A．
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.2a+3b≠5ab，故该选项不正确，不符合题意；
B.a1⋅a4=a5，故该选项不正确，不符合题意；
C. (−2a2)3=−8a6，故该选项正确，符合题意；
D. (a+2)2=a2+4a+4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
根据完全平方公式、合并同类项的方法、幂的乘法与积的乘法法则、同底数幂的除法法则进行解题即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的中间是一个等腰三角形．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】B
【解析】解：设第三根木棒的长为x cm，
由三角形的三边关系可知，5−2∴能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是4cm．
故选：B．
设第三根木棒的长为x cm，再根据三角形的三边关系分析即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x−2≥0x−3≠0，
解得：x≥2且x≠3．
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.【答案】A
【解析】解：过点B作BE⊥AD于点 E，如图所示：
边长为4的菱形，ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=4，
∴∠ABE=30°，
∴AE=2，BE=2 3，
当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F，
则AP=x，AF=12x，PF= 32x，
S△ADP=12⋅AD⋅PF=12×4⋅ 32x= 3x，
∴△ADP的面积逐渐增大；
当在线段BC上时，
S△ADP=12⋅AD⋅BE=12×4×2 3=4 3，
∴△ADP的面积保持不变；
当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M，
则AB+BC+CP=x，
则DP=12−x，DM=6−12x，PM= 3DM=6 3− 32x，
S△ADP=12⋅AD⋅PM=12×4×(6 3− 32x)=12 3− 3x，
∴△ADP的面积逐渐减小．
故选：A．
过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB=AD=BC=4，BE=2 3，当点P从点A运动到点B时，△ADP的面积逐渐增大；当在线段BC上时，△ADP的面积保持不变；当点P在线段CD上时，△ADP的面积逐渐减小，由此可排除选项．
本题主要考查函数图象及菱形的性质，含30°的直角三角形等内容，熟练掌握函数图象及菱形的性质是解题关键．
7.【答案】2a(2b−1)
【解析】解：原式=2a(2b−1)，
故答案为：2a(2b−1)．
原式提取2a即可得到答案．
此题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】2.15×107
【解析】解：21500000=2.15×107．
故答案为：2.15×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】3
【解析】解：设另一个根为x=m，则−2m=−6，
解得：m=3，
所以，另一个根为3．
故答案为：3．
设另一个根为x=m，则根据根与系数的关系得−2m=−6，求出即可．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解，分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1x2=ca．
10.【答案】106
【解析】解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得，∠DGH=12∠DGE=74°，
∵AD/​/BC，
∴∠GHC=180°−∠DGH=106°．
故答案为：106°．
由折叠可得∠DGH=12∠DGE=74°，再根据平行线的性质即可得到∠GHC=180°−∠DGH=106°．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
11.【答案】12
【解析】解：∵AF/​/BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∠AFC=∠FCD∠AEF=∠DECAE=DE
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12．
故答案为：12
由于AF/​/BC，从而易证△AEF≌△DEC(AAS)，所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
12.【答案】3或4 2或6−4 2
【解析】解：∵点E是边CD的中点，点F为DP的中点
∴DE=3，DF=PF，
如图，当DF=EF时，连接EP，
∴DF=EF=PF，
∴△DEP是直角三角形，
∴∠DEP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
∴四边形ADEP是矩形，
∴DE=AP=3，
当DF=DE=3时，
∴DP=6，
∴AP= DP2−AD2= 36−4=4 2，
当DE=EF=3时，如图，连接CF，CP，
∴DE=EC=EF，
∴△DFC是直角三角形，
∴∠DFC=90°，
∵DF=FP，
∴DC=CP=6，
∴BP= CP2−BC2=4 2，
∴AP=6−4 2，
综上所述：AP的长为3或4 2或6−4 2，
故答案为：3或4 2或6−4 2．
分三种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
13.【答案】解：2sin60°+|1− 3|+2024°− 27
=2× 32+ 3−1+1−3 3
=− 3．
【解析】先算乘方、化简二次根式，再代入特殊角的函数值算乘法、化简绝对值，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
14.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEA=∠BFC
在△DEA和△BFC中
∠A=∠C∠DEA=∠CFBAD=BC，
∴△DEA≌△BFC
∴AE=CF
【解析】要证明AE=CF，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．即证明△DEA≌△BFC．
本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质．解决本题即可证明△DEA≌△BFC，亦可证明四边形DFBE是矩形，通过AB−BE=CD−DF得结论．
15.【答案】解：原式=[(x−1)2x(x−1)+(x−2)(x+2)x(x+2)]÷1x
=(x−1x+x−2x)⋅x
=x−1+x−2
=2x−3，
由于x为满足−3所以x=−1，
原式=−2−3=−5．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
16.【答案】解：(1)如图1所示，AC即为所作．
；
(2)如图2所示，EF即为所作．
．
【解析】本题考查的是作图，熟知矩形及等腰三角形的性质是解答此题的关键．
(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；
(2)连接AC，BD交于点F，连接EF，由矩形的性质及等腰三角形的性质可知EF是∠AEC的平分线．
17.【答案】随机
【解析】解：(1)由题意得，小刚拿到的两个粽子都为大枣味是随机事件．
故答案为：随机．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的结果有4种，
∴小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率为412=13．
(1)根据随机事件的定义可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=kx得k=1×4=4，
所以反比例函数的解析式为y=4x；
把A(1,4)代入y=−x+b得−1+b=4，
解得b=5，
所以直线解析式为y=−x+5；
(2)当y=0时，−x+5=0，
解得x=5，
则B(5,0)，
所以△AOB的面积=12×5×4=10．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题．
(1)把A点坐标分别代入y=kx和y=−x+b中分别求出k和b即可得到两函数解析式；
(2)利用一次函数解析式求出B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
19.【答案】20 8 55 36
【解析】解：(1)m=80×25%=20，
n=80−20−44−4−2−2=8，
空气质量等级为“良”的天数占：4480×100%=55%，
故答案为：20，8，55；
(2)补全条形统计图如解图所示：
扇形统计图中扇形C圆心角的度数为：360°×880=36°，
故答案为：36；
(3)估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×(25%+55%)=292(天)，
答：该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天．
(1)由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比；
(2)首先由(1)补全统计图，用扇形统计图中扇形C的百分比×360°，即可得到所对应的圆心角的度数；
(3)然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案．
本题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)设每支康乃馨和百合花的价格分别是x元、y元，
2x+3y=403x+y=25，
解得x=5y=10，
答：每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元；
(2)最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支，
理由：设购买康乃馨m支，则购买百合花(300−m)支，费用为w元，
w=5m+10(300−m)=−5m+3000，
∴w随m的增大而减小，
∵康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，
∴m≤2(300−m)，
解得m≤200，
∴当m=200时，w取得最小值，此时w=2000，300−m=100，
∴最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支．
【解析】(1)根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
21.【答案】解：(1)∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF/​/AC，
∵AF/​/EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB⋅sin43°≈1.6×0.7=1.12(m)，
∴DF=AC=1.12(m)，
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tan∠E=DFDE，
∴DE≈(m)，
答：盲区中DE的长度为2.8m；
(2)如图所示：过点M作NM⊥ED，
∵ED=2.8m，MD=1.8m，
∴EM=1m，
FD=AC=1.12m，
可得：MN/​/FD，
则△EMN∽△EDF，
故NMFD=EMED，
MN1.12=12.8，
解得：MN=0.4，
∵0.4>0.3，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员不能观察到物体．
【解析】(1)首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题；
(2)直接利用相似三角形的判定与性质得出M点处盲区最小高度，进而得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)证明：如图，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD/​/OC．
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN．
∵OC是半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)解：①在Rt△ADC中，AD=3，CD= 3，
∵tan∠DAC=CDAD= 33，
∴∠DAC=30°，
∴AC=2CD=2 3，
在Rt△ABC中，AC=2 3，∠CAB=30°=∠CAD，
∴AB=2 3cs30°=4；
②∵∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴S阴影部分=S扇形OBC−S△OBC
=60π×22360−12×2× 3
=23π− 3．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
(2)①根据特殊锐角三角函数值以及直角三角形的边角关系求出CD，AC，再根据特殊锐角三角函数中以及直角三角形的边角即可求出直径AB；
②根据S阴影部分=S扇形OBC−S△OBC进行计算即可．
本题考查切线的判定和性质，角平分线，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
23.【答案】垂直 BC=CD+CF
【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= 2AB=4，AH=12BC=2，
∴CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴DH=3，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG= GN2+EN2= 10．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= 2AB=4，AH=12BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵直线y=−x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为(3,0)，
∵y=−x+3过点C，易知C(0,3)，
∴c=3．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为(1,0)．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0)，B(3,0)，
∴a+b+3=09a+3b+3=0
解得：a=1b=−4
∴该抛物线的解析式为：y=x2−4x+3；
(2)如图1，∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
又∵B(3,0)，C(0,3)，
∴PC= 22+42= 20=2 5，PB= (3−2)2+12= 2，
∴BC= 32+32= 18=3 2，
又∵PB2+BC2=2+18=20，PC2=20，
∴PB2+BC2=PC2，
∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，
∴S△PBC=12PB⋅BC=12× 2×3 2=3；
(3)如图2，由y=x2−4x+3=(x−2)2−1，得P(2,−1)，
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB= 2．
由点B(3,0)，C(0,3)易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3 2．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当BQBC=PBAB，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即BQ3 2= 22，
解得：BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是(0,0)．
②当QBAB=PBCB，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即QB2= 23 2，
解得：QB=23．
∵OB=3，
∴OQ=OB−QB=3−23，
∴Q2的坐标是(73,0)．
③当Q在B点右侧，
则∠PBQ=180°−45°=135°，∠BAC<135°，
故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，在x轴上存在两点Q1(0,0)，Q2(73,0)，
能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】(1)根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式
(2)首先利用各点坐标得△PBC是直角三角形，进而得出答案；
(3)本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论：
①当BQBC=PBAB，∠PBQ=∠ABC=45°时，根据A、B的坐标可求出AB的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，已经求出了PB的长度，那么可根据比例关系式得出BQ的长，即可得出Q的坐标．
②当QBAB=PBCB，∠QBP=∠ABC=45°时，可参照①的方法求出Q的坐标．
③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．
本题主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，也考查了综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，正确运用分类讨论是解题关键．AQI指数
质量等级
天数(天)
0～50
优
m
51～100
良
44
101～150
轻度污染
n
151～200
中度污染
4
201～300
重度污染
2
300以上
严重污染
2
大枣
大枣
火腿
火腿
大枣
(大枣，大枣)
(大枣，火腿)
(大枣，火腿)
大枣
(大枣，大枣)
(大枣，火腿)
(大枣，火腿)
火腿
(火腿，大枣)
(火腿，大枣)
(火腿，火腿)
火腿
(火腿，大枣)
(火腿，大枣)
(火腿，火腿)