2023-2024学年山东省德州市乐陵市孔镇中学八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市乐陵市孔镇中学八年级（下）月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 4aB. 2a3C. a2+1D. a−12
2.若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A+∠B=∠C；②a：b：c=5：12：13；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④b2=(a+c)(a−c)中不能判定△ABC是直角三角形的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.已知a=4 5−3，b= 5+3，则a与b的关系是( )
A. 互为相反数B. 相等C. 互为倒数D. 互为负倒数
4.如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=100，则S1的值为( )
A. 20
B. 30E
C. 40
D. 50
5.适合2 (a−3)2=6−2a的正整数a的所有值的平方和为( )
A. 13B. 14C. 5D. 16
6.如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为( )
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
7.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129.则小正方形的边长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
8.估计 32× 12+ 12的值在( )
A. 7到8之间B. 8到9之间C. 9到10之间D. 10到11之间
9.如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是( )
A. 9B. 9≤h≤10
C. 5≤h≤13
D. 510.化简：−x −1x3的结果为( )
A. − −1xB. −1xC. −xxD. − −xx
11.如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE的度数为( )
A. 45°
B. 40°
C. 35°
D. 30°
12.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∠B=30°，∠C=45°，BE=2 3，则CD长是( )
A. 1B. 2 2C. 3D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若最简二次根式2m 3n、3 m+2n−5是同类二次根式，则m−n= ______．
14.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，Q两点，则P点所表示的数为 .(可以用含根号的式子表示)
15.若 x(2−x)= x⋅ 2−x，那么x的取值范围是______．
16.在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为______．
17.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数等于______．
18.如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是3cm，高为10cm.在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为______cm．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1) 8+2 3−( 27− 2)
(2)( 2− 3)2+2 13×3 2．
20.(本小题9分)
先化简：a b+b a a+ b⋅ ab，再求当a=1 2+1，b=1 2−1时的值．
21.(本小题11分)
小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC=90°．
(1)若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD=1.5m，求秋千OB的长度；
(2)在(1)的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
22.(本小题11分)
图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理.现有4个全等的直角三角形(图2中灰色部分)，直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
(2)当a=3，b=4时，求图2中空白部分的面积．
23.(本小题13分)
2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响.据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km(即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC.若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
24.(本小题12分)
阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(2+ 3)(2− 3)=1，( 5+ 2)( 5− 2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：1 3=1× 3 3× 3= 33,2+ 32− 3=(2+ 3)(2− 3)(2+ 3)(2+ 3)=7+4 3.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1)4+ 7的有理化因式是______，将23 2分母有理化得______；
(2)已知x= 3+ 2 3− 2，y= 3− 2 3+ 2，则1x+1y=______；
(3)利用上面所提供的解法．请化简11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4…1 98+ 99+1 99+ 100
25.(本小题14分)
我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.如图1，已知四边形ABCD，AC⊥BD，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明
(1)如图1，设AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，猜想a2，b2，c2，d2之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
变式思考
(2)如图2，BD，CE是△ABC的中线，BD⊥CE，垂足为O，BC=2DE，设BC=m，AC=n，AB=k，请用一个等式把m2，n2，k2三者之间的数量关系表示出来：______．
拓展应用
(3)如图3，在长方形ABCD中，E为AD的中点，若四边形ABCE为“垂美四边形”，且BC=2，求AB的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 4a=2 a，不符合题意；
B、 2a3= 2a，不符合题意；
C、 a2+1是最简二次根式，符合题意；
D、 a−12= 2a−22，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行解题即可
本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：①∵∠A=∠B−∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，
故△ABC是直角三角形；
②a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，
故△ABC是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角∠C=53+4+5⋅180°=75°，
故△ABC不是直角三角形；
④b2=(a−c)(a+c)=a2−c2，
即b2=a2−c2，
故△ABC是直角三角形；
∴不能判定△ABC是直角三角形的有1个．
故选：A．
根据直角三角形的定义，三角形内角和定理、勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=4 5−3=4( 5+3)( 5−3)( 5+3)=4( 5+3)5−9=−( 5+3)，
∴a与b互为相反数．
故选：A．
把a的值分母有理化即可．
本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=100，
∴2S1=100，
∴S1=50，
故选D．
在Rt△ABC中，由AC2+BC2=AB2，得到S3+S2=S1，结合S1+S2+S3=100，即可求出S1=50．
本题考查了勾股定理和正方形的面积应用，本题的关键是熟练运用正方形的面积和勾股定理解题．
5.【答案】B
【解析】解：∵2 (a−3)2=6−2a，
∴a−3≤0，
∴a≤3，
∴正整数a的值为1，2，3，
∴12+22+32=14．
故选：B．
先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵两个小正方形面积为8和18，
∴大正方形边长为： 8+ 18=2 2+3 2=5 2．
∴大正方形面积为(5 2)2=50．
∴留下的阴影部分面积和为：50−8−18=24．
故选：C．
依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴小正方形的边长为a−b，
∵大正方形的面积为129，
∴a2+b2=129，
∵大正方形的面积=4×12ab+(a−b)2，
∴4×12ab+(a−b)2=129，
∴(a−b)2=129−2ab=129−2×24=81，
∵a−b>0，
∴a−b=9，
即小正方形的边长为9．
故选：C．
根据大正方形的面积=4×12ab+(a−b)2=a2+b2，结合ab=24即可求解
本题考查了勾股定理的证明，正确得出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：原式= 32×12+ 12
= 16+ 12
=4+ 12，
∵9<12<16，
∴3< 12<4，
∴7<4+ 12<8，
故选：A．
先将原式进行计算，然后估算其结果在哪两个连续整数之间即可．
本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：22−12=10(cm)．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度： 122+52=13(cm)，
此时h最小为：22−13=9(cm)．
故h的取值范围是：9≤h≤10．
故选：B．
先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
本题考查勾股定理的实际应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
10.【答案】D
【解析】解：∵要式分式用意义，必须−1x3≥0，
即x<0，
∴−x −1x3
=−x −xx4
=−x⋅1x2 −x
=− −xx．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件求出x<0，变形得出原式=−x −xx4，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：如图：连接AD，
由题意得：AB//CF//DE，
∴∠BAC=∠ACF，∠FCD=∠CDE，
由勾股定理得：
AD2=32+12=10，
CD2=12+32=10，
AC2=42+22=20，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=CD= 10，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD=45°，
故选：A．
连接AD，根据题意可得：AB//CF//DE，从而可得∠BAC=∠ACF，∠FCD=∠CDE，然后根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC=90°，最后根据AD=CD= 10，可得∠DAC=∠ACD=45°，从而利用等量代换即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵DE⊥AB于点E，BE=2 3，∠B=30°，
∴BD=2DE，
设DE=x，则BD=2DE=2x，
∴BE2+DE2=BD，
∴(2 3)2+x2=(2x)2，解得：x=2，
∴DE=2．
如图：作DE⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵∠C=45°，
∴CF=2，
∴在Rt△CDF中，CF2+DF2=DC2，
∴CD= CF2+DF2= 22+22=2 2．
故选：B．
根据30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE的长，然后根据平分线的性质可得DE=DF，再根据∠C=45°得到CF的长，最后根据勾股定理即可解答．
本题主要考查角平分线的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：根据题意得3n=m+2n−5，
整理得，m−n=5．
故答案为：5．
同类二次根式的被开方数相同列出方程组，求出m−n的值即可．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
14.【答案】 10+1
【解析】解：由勾股定理可得，AD= 12+32= 10，
则AP=AD= 10．
∵点A表示的数是1，
∴OP= 10+1，
∴P点所表示的数为 10+1．
故答案为： 10+1．
先根据勾股定理求出AD的长，即为AP的长，再根据两点间的距离公式便可求出OP的长，则可得出答案．
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数−较小的数，是解题的关键．
15.【答案】0≤x≤2
【解析】解：由题意可知：
2−x≥0，x≥0，
解得：0≤x≤2，
故答案为：0≤x≤2．
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．二次根式中的被开方数是非负数．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
16.【答案】126或66
【解析】解：分两种情况：
①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD2=AB2−AD2=132−122=25，
∵BD>0，则BD=5，
在Rt△ADC中，
CD2=AC2−AD2=202−122=256，
∵CD>0，则CD=16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为12×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD−BD=16−5=11，
所以△ABC的面积为12×11×12=66；
故答案为：126或66．
分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．
本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
17.【答案】45°
【解析】解：如图，取格点D，连接AD、BD，
根据网格和勾股定理，得
AD=BD=2，AB= 22+22=2 2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°．
∴∠DAB=∠ABC+∠ACB=45°．
故答案为：45°．
根据网格和勾股定理可得△ADB是等腰直角三角形，再根据三角形外角的性质即可求出∠ABC+∠ACB．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理和其逆定理．
18.【答案】26
【解析】解：将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC，则AC+B′C′为所求的最短彩条长，
AC2=AA′2+A′C2，AC=13cm，
B′C′2=BB′2+C′B′2=169，
B′C′=13(cm)，
AC+B′C′=26(cm)，
答：所用彩条最短长度是26cm．
故答案为：26．
如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可．
本题考查的是平面展开−最短路线问题，平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
19.【答案】解：(1)原式=2 2+2 3−3 3+ 2
=3 2− 3；
(2)原式=5−2 6+2 6
=5．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并同类项即可；
(2)根据二次根式的化简、完全平方公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握化简二次根式，合并同类项是解题的关键．
20.【答案】解：原式= ab( a+ b) a+ b⋅ ab
=ab，
当a=1 2+1= 2−1，b=1 2−1= 2+1时，原式=( 2−1)( 2+1)=1
【解析】首先将原式分子提取公因式 ab，进而分子分母约分得出化简即可，进而将a，b代入即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将分子分解因式得出是解题关键．
21.【答案】解：(1)设OB=x m，则OA=OC=x m，
∵点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，
∴DA=1−0.5=0.5(米)，
则OD=x−0.5，
∵∠ODB=90°，BD=1.5(米)，
∴OB2=DB2+OD2，
∴x2=1.52+(x−0.5)2，解得x=2.5．
答：秋千OB的长度为2.5m．
(2)∵∠BOC=90°，∠OEC=90°，
∴∠BOE+∠EOC=∠EOC+∠OCE=90°，
∴∠BOE=∠OCE，
∵∠BDO=∠OEC=90°，BO=OC，
∴△BDO≌△OEC(AAS)，
∴BD=OE，
则EA=OA−OE=1(米)，
那么C距离地面的高1+0.5=1.5(m)．
答：爸爸在距离地面1.5m高的地方接住小丽的．
【解析】(1)设OB=x m，则OA=OC=xm，根据题意得DA=0.5，OD=x−0.5，结合勾股定理OB2=DB2+OD2，即可求得；
(2)由题意得∠BOE=∠OCE和BO=OC，可证△BDO≌△OEC，则有BD=OE，即可求得EA=1，进一步求得点C距离地面的高．
本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22.【答案】(1)证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即c2+2×12ab=c2+ab，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab，
∴c2+ab=a2+b2+ab，即a2+b2=c2．
(2)解：当a=3，b=4时，c2=a2+b2=25，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积−两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：c2−2×12ab=25−3×4=13．
【解析】(1)根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证；
(2)根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积−两个直角三角形的面积，将a=3，b=4代入求解即可．
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法．
23.【答案】解：(1)农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC= AC2+AB2= 3002+4002=500(km)，
∵△ABC的面积=12BC⋅AH=12AB⋅AC，
∴500AH=300×400，
∴AH=240(km)，
∵AH<250km，
∴农场A会受到台风的影响；
(2)如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM=AN=250km，
∵AM=AN，AH⊥BC，
∴MH=NH，
由勾股定理得：MH=NH= 2502−2402=70(km)，
∴MN=2×70=140(km)，
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20=7(小时)．
【解析】(1)过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC= AC2+AB2=500(km)，由三角形面积公式得到500AH=300×400，求出AH=240(km)，由AH<250km，判断农场A会受到台风的影响；
(2)台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM=AN=250km，由勾股定理求出MH=NH=70(km)，得到MN=140(km)，即可求出台风影响该农场持续时间．
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离．
24.【答案】解：(1)4− 7 ； 23
(2) 10 ；
(3)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 99− 98+ 100− 99，
=−1+ 100，
=−1+10，
=9．
【解析】解：(1)4+ 7的有理化因式可以是4− 7，23 2分母有理化得：2 23 2⋅ 2=2 26= 23；
故答案为：4− 7； 23；
(2)∵x= 3+ 2 3− 2，y= 3− 2 3+ 2，
则1x+1y= 3− 2 3+ 2+ 3+ 2 3− 2=( 3− 2)( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)+( 3+ 2)( 3+ 2)( 3− 2)( 3+ 2)=5−2 6+5+2 6=10；
故答案为：10；
(3)见答案．
(1)找出各式的分母有理化因式即可；
(2)将x与y代入原式计算即可得到结果．
(3)原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
此题考查了分母有理化，准确找出分母的有理化因式是解答问题的关键．
25.【答案】n2+k2=5m2
【解析】解：(1)a2+c2=b2+d2，理由如下：
Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
Rt△COB中，OC2+OB2=CB2，Rt△COD中，OD2+OC2=DC2，
∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，
∴a2+c2=b2+d2；
(2)∵BD，CE是△ABC的中线，
∴AB=2BE，AC=2CD，
∵BD⊥CE，
∴四边形BCDE是垂美四边形，
由(1)可得：BC2+DE2=BE2+CD2，
∴m2+14m2=14n2+14k2，
∴n2+k2=5m2；
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC=2，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=1，
∴CE2=CD2+DE2=AB2+1，
∵四边形ABCE为“垂美四边形”，
∴AB2+CE2=AE2+BC2，
∴AB2+AB2+1=1+4，
∴AB= 2(负值舍去)．
(1)由勾股定理可求OA2+OB2=AB2，OA2+OD2=AD2，OC2+OB2=CB2，OD2+OC2=DC2，即可求解；
(2)由中线的定义可得AB=2BE，AC=2CD，由四边形BCDE是垂美四边形，可得：BC2+DE2=BE2+CD2，即可求解；
(3)由矩形的性质可求AE=DE=1，由垂美四边形的性质可得AB2+CE2=AE2+BC2，即可求解．
本题是四边形综合题，考查的是正方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．