宁夏吴忠中学2024年高考数学五模文科数学试卷

这是一份宁夏吴忠中学2024年高考数学五模文科数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={0,1}，B={1,a−2,a−1}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 3C. 1D. 1或2
2.若复数z满足z(1+i)=|1+ 3i|，则z−=( )
A. 11−iB. 11+iC. 1−iD. 1+i
3.已知函数f(x)=ex−ex的极值点为a，则f(a)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.已知α∈(0,π2),2sin2α=cs2α+1，则csα=( )
A. 2 55B. 55C. 33D. 15
5.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列{an}的前5项和为( )
A. 30B. 31C. 29D. 32
6.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.“a=±3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n//α，则m，n为异面直线；
②若α//γ，β//γ，则α//β；
③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；
④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β.
则上述命题中真命题的序号为( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④
9.若椭圆X：x2a2+y2=1(a>1)与双曲线H：x23−y2=1的离心率之和为7 36，则a=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
10.某公司研发新产品投入x(单位：百万)与该产品的收益y(单位：百万)的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y =b x+2.6，则下列结论不正确的是( )
A. x与y有正相关关系B. 回归直线经过点(8,25)
C. b =2.4D. x=9时，残差为0.2
11.已知四面体A−BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为( )
A. 28π3B. 14πC. 28πD. 32π
12.若函数f(x)=sin(ωx−π6)−csωx(ω>0)在(0,π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|= 32，则ω的取值范围为( )
A. [196,72)B. (196,72]C. [72,256)D. (72,256]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,−1),b=(0,t)，若a⊥(a+2b)，则|b|=______.
14.若x，y满足约束条件x+2y−6≤0,x−y+3≥0,y−1≥0,则目标函数z=2x+y的最大值为______.
15.已知△ABC的三边长AB=4cm，BC=2cm，AC=3cm，则△ABC的面积为______cm2.
16.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占13;而在未购买者当中，男生、女生各占50%.
(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别
有关?
(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a− 2b)csC=c( 2csB−csA).
(1)求ba的值；
(2)若B=2C，证明：△ABC为直角三角形.
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AE=2BF，BF//AE，BF⊥AD，且平面ACE⊥平面ABCD.
(1)在DE上确定一点M，使得FM//平面ABCD；
(2)若BF=BA=1，且∠ABC=60∘，求多面体ABCDEF的体积.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x−32(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna−a2.
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与C交于P，Q两点，当l⊥x轴时，|PQ|=1且直线PF2与直线QF2的斜率之积为−148.
(1)求椭圆C方程；
(2)若△PQF2的内切圆半径为12，求直线l的方程.
22.(本小题10分)
已知曲线C1的参数方程为x=1+csθy=sinθ(θ为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x+ 3y−1=0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；
(2)若直线l：y=kx(其中k∈[ 33, 3])与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A,B异于原点)，求|OA|+1|OB|的取值范围.
23.(本小题12分)
已知关于x的不等式|x+1|−|x−2|≥|t−1|+t有解.
(1)求实数t的取值范围；
(2)若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c=m.求证：a2+b2+c2≥23.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为集合A={0,1}，B={1,a−2,a−1}，A⊆B，所以a−2=0或a−1=0.
当a−2=0时，a=2，此时B={1,0,1}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当a−1=0时，a=1，此时B={1,−1,0}，满足题意．故a=1.
故选：C.
根据题意分别讨论a−2=0和a−1=0时集合的关系，由集合的互异性可得结果．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由z(1+i)=|1+ 3i|，得z(1+i)= 12+( 3)2，则z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
所以z−=1+i.
故选：D.
根据给定条件，利用复数模及除法运算求得z，再求出共轭复数．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=ex−ex，求导得f′(x)=ex−e，当x0，
函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，因此x=1是f(x)的极小值点，且是唯一极值点，
所以a=1，f(a)=f(1)=0.
故选：B.
利用导数求出函数f(x)的极值点，再代入求出函数值．
本题考查函数的极值点，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α=cs2α+1，
∴4sinαcsα=2cs2α，且sinα>0，csα>0，
∴sinα=12csα，
又sin2α+cs2α=1，
∴(12csα)2+cs2α=1，
∴解得csα=2 55.
故选：A.
利用二倍角公式化简已知等式可得4sinαcsα=2cs2α，由已知可得sinα>0，csα>0，可求sinα=12csα，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意知，公比q≠1，
∴9⋅1−q31−q=1−q61−q，
即q6−9q3+8=0，
解得：q=2或q=1(舍去)，
∴S5=1−251−2=31，
故选：B.
利用等比数列的求和公式可求得q=2，从而可得数列{an}的前5项和．
本题考查等比数列的性质，求得公比为2是关键，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合极限思想是解决本题的关键．
利用极限思想，结合函数值的符号，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当x→+∞时，f(x)→+∞，排除A，C，
f(−5)=−4ln61)的离心率为 a2−1a，
双曲线H：x23−y2=1的离心率为 3+1 3=2 33，
所以 a2−1a+2 33=7 36，解得：a=2.
故选：A.
分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为7 36，解方程即可得出答案．
本题考查椭圆和双曲线的离心率，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：对于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确；
对于B，x−=5+6+8+9+125=8，y−=16+20+25+28+365=25，
则样本点中心为(8,25)，所以经验回归直线经过点(8,25)，故B正确；
对于C，将样本点中心代入直线方程，得25=8b +2.6，所以b =2.8，故C错误；
对于D，y =2.8x+2.6，当x=9时，y =2.8×9+2.6=27.8，
则残差为y−y =28−27.8=0.2，故D正确．
故选：C.
根据x和y的变化规律，即可判断A；计算(x−,y−)，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程，即可求b ，即可判断C；根据回归直线方程计算x=9时的y ，计算y−y ，即可判断D.
本题主要考查线性回归，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：因为平面ABC⊥平面BCD，
AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，
所以可将四面体A−BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示：
则四面体ABCD的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为23× 22−12=2 33，
所以直三棱柱的外接球的半径r= 12+(2 33)2= 73，
则球O的表面积S=4πr2=4×π×( 73)2=28π3.
故选：A.
本题首先可根据题意将四面体A−BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．
本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得，f(x)=sin(ωx−π6)−csωx= 32sinωx−12csωx−csωx
= 32sinωx−32csωx= 3sin(ωx−π3)，
由|f(x0)|= 32，可得sin(ωx0−π3)=±12，
因为x∈(0,π)，ω>0，
则ωx−π3∈(−π3,ωπ−π3)，
由题意可得，19π62lna−a2，即证lna−12>2lna−a2，即证a2−12−lna>0，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a) 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，
在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，
则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna−a2.
【解析】(1)对f(x)求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
(2)由(1)可得f(x)的最小值，从而将不等式转化为f(x)min>2lna−a2，构造关于a的函数，利用导数求出函数的最值，从而不等式得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题可知当l⊥x轴时，联立x2a2+y2b2=1x=−c，解得y=±b2a，则PQ=2b2a=1，
设P(−c,12),Q(−c,−12)，则−116c2=−148，c2=3，
解得a=2，b=1，所以椭圆C方程x24+y2=1；
(2)因为△PQF2的周长为4a，
故S△PQF2=12(|PQ|+|PF2|+|QF2|)⋅r=12×4a⋅r=2，
由题意可知，该直线l斜率存在且不为0，设直线l为x=my− 3(m≠0)，
联立x24+y2=1x=my− 3，则(m2+4)y2−2 3my−1=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
Δ=16(m2+1)>0,y1+y2=2 3mm2+4,y1y2=−1m2+4，
所以S△PQF2=12⋅|F1F2|⋅|y2−y1|=12×2 3⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 3⋅ 16(m2+1)(m2+4)2=2.
解得m2=2，则直线l的方程为x= 2y− 3或x=− 2y− 3，即x− 2y+ 3=0或x+ 2y+ 3=0.
【解析】(1)根据直线PF2与直线QF2的斜率之积为−148建立等量关系即可；(2)根据内切圆性质，直线与椭圆联立即可得所求直线方程．
本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由x=1+csθy=sinθ消θ得(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0，
将ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2分别代入C1，C2得：
C1的极坐标方程为ρ=2csθ，
C2的极坐标方程为ρcsθ+ 3ρsinθ=1
(2)设直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R,α∈[π6,π3]，
联立方程可得ρA=2csα,ρB=1csα+ 3sinα，
所以|OA|+1|OB|=2csα+csα+ 3sinα=3csα+ 3sinα=2 3sin(α+π3)，
又α∈[π6,π3]，则有α+π3∈[π2,2π3]，
即sin(α+π3)∈[ 32,1]，
综上，|OA|+1|OB|的取值范围为[3,2 3].
【解析】(1)消去参数得C1的普通方程，然后将ρcsθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2分别代入C1，C2的普通方程即可；
(2)设直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R,α∈[π6,π3]，联立C1，C2的极坐标方程，结合极径的意义表示出|OA|+1|OB|，然后由正弦函数的性质可解．
本题考查的知识点：直角坐标方程这极坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)令f(x)=|x+1|−|x−2|=3,x≥22x−1,−1