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2023_2024学年5月江苏常州天宁区常州市第一中学高二下学期月考数学试卷（质量调研）
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这是一份2023_2024学年5月江苏常州天宁区常州市第一中学高二下学期月考数学试卷（质量调研），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年5月江苏常州天宁区常州市第一中学高二下学期月考数学试卷
（质量调研）
一、单选题
1.已知直线 的方向向量为
，平面 的法向量为
C.
，若
D.
，则实数 的值为
（
A.
）
B.
2.下列求导数的运算中错误的是（
）
A.
B.
B.
C.
C.
D.
3.已知随机变量
A.
，
，且
，
，则
（
）
D.
4.已知四面体
中，
为
中点，若
，则
（
）
A. 3
B. 2
C.
D.
D.
5.若曲线
A.
在
处的切线与曲线
也相切，则 的值为（
）
B.
C. 1
6.学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮
在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以
进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次
没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在三分线
处投篮命中率为 ，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.随机变量 的分布列如下所示 则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
8.设函数
，
，若存在 ， ，使得
C. 2
，则
D.
的最小值为
（
A.
）
B. 1
二、多选题
9.已知事件A，B满足
A.
且
，则一定有（
）
D.
B.
相互独立
C.
10.函数
A. 若
有两个极值点
有 3 个零点 B. 过
则下列结论正确的是(
）
，则
上任一点至少可作两条直线与
相切
C. 函数
的增区间为
D. 存在 ，使得
11.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若
是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，扔出 次骰子后，小球所在位
置对应的数为随机变量X，则下列结论正确的是
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B.
C. 第一次扔完骰子小球位于 且第五次位于1的概率 D.
三、填空题
12.若函数
在 上单调递增，则实数 的取值范围是
．
13.一个袋子中有
个大小相同的球，其中有 个黄球， 个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出 个球
作为样本，用 表示样本中黄球的个数．当
最大时，
．
14.在侧棱长为 的正三棱锥
中，点 为线段
上一点，且
，点M为平面
．
内的动
点，且满足
，记直线
与直线 的所成角的余弦值的取值范围为
四、解答题
15.如图，在几何体
．
中，
平面
，
平面
，
，
，
(1)求C到平面
(2)求二面角
的距离；
的大小．
16.会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调
查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 ，女会员对服务质量满意的概率为 ．
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
17.已知函数
(1)讨论函数
的定义域为
，其中
为自然对数底数
的单调性；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数 的取值范围．
18.如图，四棱柱
，底面
是平行四边形，
的中点．
为
(1)求证：
；
(2)若
，二面角
的大小为60°，求直线
与平面
所成角的正弦值．
19.2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态
环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次
最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试
数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 近似地服从正态分布
，经计
算第（1）问中样本标准差 的近似值为50.用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，现
任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布
，
， 则
，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬
币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬
币出现正、反面的概率都是 ，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户
每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 到
），若掷出反面，遥
控车向前移动两格（从 到 ），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游
戏结束，设遥控车移到第n格的概率为 ，试说明
购买该款新能源汽车.
是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客
2023~2024学年5月江苏常州天宁区常州市第一中学高二下学期月考数学试卷
（质量调研）
一、单选题
1.已知直线 的方向向量为
，平面 的法向量为
C.
，若
D.
，则实数 的值为
（
A.
）
B.
2.下列求导数的运算中错误的是（
）
A.
B.
B.
C.
C.
D.
3.已知随机变量
A.
，
，且
，
，则
（
）
D.
4.已知四面体
中，
为
中点，若
，则
（
）
A. 3
B. 2
C.
D.
D.
5.若曲线
A.
在
处的切线与曲线
也相切，则 的值为（
）
B.
C. 1
6.学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮
在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以
进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次
没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为 ，在三分线
处投篮命中率为 ，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.随机变量 的分布列如下所示 则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
8.设函数
，
，若存在 ， ，使得
C. 2
，则
D.
的最小值为
（
A.
）
B. 1
二、多选题
9.已知事件A，B满足
A.
且
，则一定有（
）
D.
B.
相互独立
C.
10.函数
A. 若
有两个极值点
有 3 个零点 B. 过
则下列结论正确的是(
）
，则
上任一点至少可作两条直线与
相切
C. 函数
的增区间为
D. 存在 ，使得
11.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若
是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，扔出 次骰子后，小球所在位
置对应的数为随机变量X，则下列结论正确的是
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为
B.
C. 第一次扔完骰子小球位于 且第五次位于1的概率 D.
三、填空题
12.若函数
在 上单调递增，则实数 的取值范围是
．
13.一个袋子中有
个大小相同的球，其中有 个黄球， 个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出 个球
作为样本，用 表示样本中黄球的个数．当
最大时，
．
14.在侧棱长为 的正三棱锥
中，点 为线段
上一点，且
，点M为平面
．
内的动
点，且满足
，记直线
与直线 的所成角的余弦值的取值范围为
四、解答题
15.如图，在几何体
．
中，
平面
，
平面
，
，
，
(1)求C到平面
(2)求二面角
的距离；
的大小．
16.会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调
查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 ，女会员对服务质量满意的概率为 ．
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
17.已知函数
(1)讨论函数
的定义域为
，其中
为自然对数底数
的单调性；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数 的取值范围．
18.如图，四棱柱
，底面
是平行四边形，
的中点．
为
(1)求证：
；
(2)若
，二面角
的大小为60°，求直线
与平面
所成角的正弦值．
19.2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态
环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次
最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试
数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 近似地服从正态分布
，经计
算第（1）问中样本标准差 的近似值为50.用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，现
任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布
，
， 则
，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬
币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬
币出现正、反面的概率都是 ，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户
每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 到
），若掷出反面，遥
控车向前移动两格（从 到 ），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游
戏结束，设遥控车移到第n格的概率为 ，试说明
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