2023-2024学年江苏省常州市第一中学高二上学期12月质量调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省常州市第一中学高二上学期12月质量调研数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．
故选：B．
2．已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】D
【解析】将圆的方程化为标准方程，可得出该圆的圆心坐标与半径.
【详解】圆的标准方程为，所以，该圆的圆心坐标为，半径为.
故选：D.
3．“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，所以解得，两者相等，故为充要条件.
点睛：本题主要考查了两个知识点，一个是椭圆的概念，另一个是充要条件的知识.若，则椭圆的焦点在轴上，若，则椭圆的焦点在轴上.要注意椭圆的是不相等的，双曲线的可以相等.充要条件方面，如果两者相等，则互为充要条件，如果不相等，则小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.
4．已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
【详解】明显数列和数列均为等差数列
令，可得，
则，
则数列为等差数列，且，公差为，
所以的前项的和为.
故选：C.
5．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圆心在抛物线上，设圆心为，再根据圆与抛物线的准线及轴都相切，列出方程求出圆心坐标和半径，即可得出答案．
【详解】因为圆心在抛物线上，
所以设圆心为，
又因为圆与抛物线的准线及轴都相切，
所以，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为：，即，
故选：A．
6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，可得，再由焦距为，可得，由可求出，从而可求得双曲线的渐近线方程
【详解】双曲线的渐近线方程为，下焦点为，
因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
所以，
因为焦距为，所以，
所以，
所以
所以双曲线的渐近线方程，
故选：B
7．数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（ ）
A．192B．190C．180D．182
【答案】B
【分析】利用关系求的通项公式，进而可得的通项公式，求即可.
【详解】当时，，
当 时，，
经检验满足上式，所以，
设，则 ，
所以.
故选：B
8．已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．
则，，
解得，，
如图：

在中,根据余弦定理可得：
，
整理得，即，
设 则有，，
所以，即有，所以，
所以===，
设,
则,
令，得，
所以在上恒成立,
所以在上单调递减，
当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，
所以，
即：.
故选：C.
二、多选题
9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】首先根据已知条件，确定公比的取值范围，然后根据数列的单调性逐一进行判断即可.
【详解】A项，且，而和异号.
由于知，，即，，，故A项正确；
B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列，
且，所以，那么，故B项正确；
C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上.
所以的最大值为，故D项正确，
故选：ABD
10．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值D．时，的最大值为32
【答案】AC
【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.
【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时，；
当时，；
.
数列是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：
，，
，
则，
所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；
对于选项C：，
当或时，最大，故选项C正确；
对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.
故选：AC
11．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
12．已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（ ）
A．拋物线的准线方程为
B．若，则直线的斜率为1
C．若，则直线的方程为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据抛物线方程即可判断，对于B，根据求出A点坐标，即可判断；对于C，由可得坐标之间的关系，结合抛物线方程求得坐标，即可判断；对于D，设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，求出相关弦长的表达式，推出，继而证明∽，即可判断.
【详解】对A：由抛物线可得准线方程为，正确；
对B：设A点的坐标为，，则，
所以，又，从而直线的斜率为或，故B错误；
对C：设，
.
又，即，
又或，
当时；
当时，，
此时直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不合题意，舍去，
直线的方程为：，故C正确.
对于D；由题意知的斜率存在，设直线，
则直线，设，
由，即，则，
由于在抛物线内部，必有，所以，
又，
，同理可证：，
，
又∽，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知直线与垂直，则的值为 .
【答案】
【分析】根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可.
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得，
故答案为：
14．已知数列满足，，则 .
【答案】
【分析】代入得出数列具有周期性，且周期为，所以根据周期即可求得结果.
【详解】由题知，，，
，，
所以数列具有周期性，且周期为，
因为，
所以.
故答案为：
15．已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于，两点，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线斜率.
【详解】因为点在抛物线上，则，解得，
即抛物线方程为，
显然过点A作圆的两条切线斜率存在，
设此切线方程为，即，
于是，解得，
设点，
不妨令直线的斜率分别为，
于是，解得，
同理，
直线的斜率，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.
16．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由关系求解数列通项公式，代入式子整理得，对整数的奇偶性分类讨论进行数列求和，得数列的最大值，进而得到范围.
【详解】当时，，
又，解得，
由①，
则当时，②，
两式①②相减得，，
即，又，则，
所以数列是以为首项，的公差的等差数列，
故，
则
令，
又
则数列是递增数列，且；
数列是递减数列，，
若恒成立，
且恒成立，
所以，且，解得，
故答案为：
四、解答题
17．已知等差数列，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出公差，得到通项公式；
（2）求出当时，，当时，，分两种情况，求解答案.
【详解】（1）设公差为，则，
故；
（2），
当时，，，
当时，，，
故当时，，
当时，，
综上，.
18．已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件可知数列是等比数列，根据等比数列的通项公式结合题中条件解出即可求得的通项公式，继而可求得的通项公式；
（2）化简数列的通项公式，分成两组进行求和，其中一组用公式求和，另一种，采用裂项相消求和即可.
【详解】（1）因为数列的各项都为正数，且，
所以数列是等比数列.
设等比数列的公比为（且）.
由，，得，
即，解得或舍去），
所以.
设等差数列的公差为.
由题意，得
解得
所以.
（2）因为，
所以，
所以
.
19．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出的值，利用点到直线的距离求出的值，即可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，即直线的斜率为.
20．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可得椭圆方程，
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线与的斜率，再由列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点.
【详解】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，
所以，
因为椭圆过点，所以，，得，
所以椭圆方程为；
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得， ，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时，直线的方程为，
则直线过定点（舍去），
当时，直线的方程为，
所以直线过定点，
②当直线的斜率不存在时，设直线为（），
由，得，所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直线也过定点，
综上，直线恒过定点.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知数列的前n项和为，，且满足__________.
(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为.
（i）求；
（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，
(2)（i）；（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）若选①，由题可得，与相减并整理可得，，两式相减即可得，可证明结论，后结合，可得通项公式；若选②，由题可得，，两式相减结合，可得，再结合，可证明结论并求出通项公式；
（2）（i）由（1）可得，后由裂项求和法可得答案；（ii）即判断方程组是否有正整数解集即可.
【详解】（1）证明:若选①，由得，
两式相减得，
整理得，所以，
两式相减得，所以，所以是等差数列.
由得，所以，又，所以的公差，
则.
若选②.由得，，
两式相减得，因为，所以，所以，
因为，中取得，所以，
所以，
.
综上，，
所以是等差数列，.
（2）（i）由（1）得，
所以，
所以，
（ii）假设存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列，
则，且，因为.
所以.
所以，这与p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列.
22．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4．
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．
【答案】(1)
(2)128
【分析】（1）根据焦半径公式求解得，进而可得答案；
（2）设点，，（），直线的斜率为，进而根据题意，结合弦长公式得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）解：因为点到抛物线的焦点的距离为4，
所以，，解得．
所以抛物线C的方程为．
（2）解：设点，，（），
直线的斜率为．
因为，所以直线的斜率为．
因为，
所以，化简得，①
，则，得，②
，则，即，③
将②③代入①，得，．
．
因为，，
所以，，
即，当且仅当时，等号成立．
故的最小值为128．