吉安市第一中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份吉安市第一中学2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知直线，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．在等差数列中，，.设，记为数列的前n项和，若，则( )
A.5B.6C.7D.8
4．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知函数的定义域为R，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为( )
A.B.C.2D.
6．已知，且，则( )
A.B.C.D.
7．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为，B是山坡上一点，且.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的右焦点为F，A是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线段与C的另一条渐近线交于点B.若O为坐标原点，，，则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量X表示停止时抛掷的次数，则
B.从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则
C.若随机变量，则
D.若随机变量，则当减小，增大时，保持不变
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是( )
A.过点，E，的平面截正方体所得的截面周长为
B.存在点F，使得平面
C.若平面，则动点F的轨迹长度为
D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线l上，点Q在直线上，且，则( )
A.C的离心率为3B.当时，
C.D.为定值
三、填空题
12．若，则__________.
13．托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为__________.
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积等于，则的周长的最小值为__________.
四、解答题
15．设正项数列的前n项之和，数列的前n项之积，且.
（1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求正实数的取值范围.
16．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，点E为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
17．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
计算得到一些统计量的值为：，，其中.
（1）若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
18．已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若圆的两条相互垂直的切线，均不与坐标轴垂直，且直线，分别与E相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值.
19．已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为集合或，
，
所以，
故.
故选：C.
2．答案：C
解析：当时，直线，，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．答案：B
解析：设的公差为d.
因为，
所以，，
则，，.
因为，所以，解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
又，，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
5．答案：C
解析：因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，
当时，，
，
，则，
，即曲线在点处切线的斜率为2.
故选：C.
6．答案：D
解析：因为，所以，
所以，
又，所以，所以，所以，
即，又，所以.
故选：D.
7．答案：D
解析：依题意，半径为，山高为，则母线，
底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，
显然，
由点S向引垂线，垂足为点H，此时为点S和线段上的点连线的最小值，
即点H为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段，
由直角三角形射影定理知，即，解得，
所以公路上坡路段长为.
故选：D.
8．答案：D
解析：由，，得，
所以，，
由，得，解得或（舍去），
所以，从而C的渐近线方程为.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误；
对于B，显然随机变量Y服从超几何分布，则，B正确；
对于C，由随机变量，得，C正确；
对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确.
故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：A选项，如图，取的中点G，连接，，
因为E为的中点，所以，，
所以过点，E，的平面截正方体所得的截面为梯形，
其周长为，故A选项正确；
B选项，假设存在点F，使得平面，
则，得F只能在线段上，
再由，得F只能在线段上，即F与D重合，不符合题意，故B选项错误；
C选项，如图，取的中点M，的中点N，
连接，，，可得，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
所以动点F的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；
D选项，由A，C选项可得，平面平面，
所以当F在点D时，F到平面的距离最大，此时为等边三角形，
因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，
以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，
由得，，解得，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意得，，，，故A错误；
联立，得，解得或，则，故B正确；
由直线l：可知，又，，，，故P在线段的中垂线上，
设，的斜率分别为k，，，故直线的方程为，
联立，得，
设，则，，故.
当轴时，，是等腰直角三角形，且易知；
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，
因为，所以，所以，，故C正确；
因为，故，故，故D正确.
故选:BCD.
12．答案：3093
解析：由题设，含的项中，当k为奇数，项系数为负，而当k为偶数，项系数为正，
所以，
令，则；令，得，
所以.
故答案为：3093.
13．答案：/0.4
解析：设小红取出2个球，其中红球的个数为，1，2个的事件为，从小兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，
由题意可得：，；
，；
，；
则，
所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由正弦定理结合，可得，
因为，所以，即，
注意到，所以只能，解得，
若的面积等于，
则，解得，
在三角形中，运用余弦定理有，
三角形的周长，等号成立当且仅当，
综上所述，当且仅当三角形是以顶角的等腰三角形时，的周长取到最小值，且最小值为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析，，
（2）
解析：（1）由题意知：当时，，代入得，
所以.
由，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
当时，，
当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
显然单调递增，所以.
由题意得，即，
又，所以的取值范围为.
16．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）连接，交于点N，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以N为的中点，又因为点E为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点E为线段的中点，
所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以底面，
过点E在底面内作，如图以E为坐标原点，分布以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析；
解析：（1）因为两边取对数可得，即，
令，所以，由，
，.
所以，
又，即，
所以，所以.
所以y关于x的经验回归方程为.
（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为8，11，14，18，
所以，，
，，
所以X的分布列为
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆E的半焦距为c，由已知点B的坐标为，点F的坐标为，
因为点B、F都在直线上，所以，，又，
所以，，，
所以椭圆E的方程为：，
（2）由题知，的斜率存在且不为0.
设.
因为与圆相切，所以，得.
联立与E的方程，
可得，
设，，
，
则，.
所以，
将代入，可得.
用替换k，可得.
四边形的面积.
令，则，可得，
再令，，则，
可得，等号成立当且仅当，即，即，
即四边形面积的最小值为.
19．答案：（1）单调递增区间为：，单调递减区间为：和；极大值，极小值
（2）
解析：（1）当时，
令，解得或，
所以x、、的关系如下表：
所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：和；
极大值，极小值.
（2）
，
令，其中，
设，，
，
令，解得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且当时，，
所以函数的值域为；
又，
设，，则，
当时，，，且等号不同时成立，即恒成立；
当时，，，即恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当即时，恒成立，符合题意；
当即时，取，必有，不符合题意.
综上所述：a的取值范围为.
关卡
1
2
3
4
5
6
平均过关时间y（单位：秒）
50
78
124
121
137
352
X
8
11
14
18
P
x
0
1
-
0
+
0
-
单调递减
0
单调递增
单调递减