江西省萍乡市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省萍乡市2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,,若的充分条件是,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．复数,下列说法正确的是( )
A.z的实部为12B.z的虚部为13iC.D.
3．已知随机变量,且,则( )
A.3B.2C.1D.0
4．已知,,,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．陀螺是中国民间的娱乐工具之一,早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图,已知一木制陀螺内接于一表面积为的球,其中圆柱的两个底面为球的两个截面,圆锥的顶点在该球的球面上,若圆柱的底面直径为,则该陀螺的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知,,,则这三个数的大小关系为( )
A.B.C.D.
7．点M将一条线段AB分为两段AM和MB,若,则称点M为线段AB的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交,A,B,C为相邻的三个交点,则( )
A.当时,存在使点B为线段AC的黄金分割点
B.对于给定的常数,不存在a使点B为线段AC的黄金分割点
C.对于任意的a,存在使点B为线段AC的黄金分割点
D.对于任意的,存在a使点B为线段AC的黄金分割点
8．如图1,与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心被称为三角形的旁心,每个三角形有三个旁心.如图2,已知,是双曲线的左､右焦点,P是双曲线右支上一点,Q是的一个旁心.直线与x轴交于点M,若,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．数列的前n项和为,若,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.为递增数列D.为周期数列
10．已知,则下列关系正确的是( )
A.B.C.D.
11．设O为坐标原点,直线l过抛物线的焦点F且与C交于A,B两点,M,N满足,,AM与NF相交于点P,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.面积的最大值为1
三、填空题
12．一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型(如图),某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次,则恰好出现一次龙的图案朝上(即龙的图案在最上面)的概率为__________.
13．在中,点D,E分别在边BC,AC上,,,若AD,BE交于点I,则__________;当,,时,的面积为__________.
14．正方体的棱长为2,P为该正方体侧面内的动点(含边界),若PA,PB分别与直线AD所成角的正切值之和为,则四棱锥的体积的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的单调区间;
（2）若存在,使得成立,求实数a的取值范围.
16．定义两组数据的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数,记为,其中.
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表:
（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”;
（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀,现从这15人中随机抽取3人,抽到数学成绩优秀的学生有X人,试求X的分布列和数学期望.
17．如图所示的几何体是圆锥的一部分,A为圆锥的顶点,O是圆锥底面圆的圆心,,P是弧BC上一动点(不与B,C重合),点M在AB上,且,.
（1）当时,证明:平面MOP;
（2）若四棱锥的体积大于等于.
①求二面角的取值范围;
②记异面直线AP与BO所成的角为,求的最大值.
18．已知椭圆的离心率为,A,B是E上的不同两点,且直线AB的斜率为-1,当直线AB过原点时,.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）设,点A,B都不在y轴上,连接PA,PB,分别交E于C,D两点,求点P到直线CD的距离的最大值.
19．固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出悬链线的方程为,其中为参数.当时,该表达式就是双曲余弦函数,记为,悬链线的原理常运用于悬索桥､架空电缆､双曲拱桥､拱坝等工程.已知三角函数满足性质:①导数:;
②二倍角公式:;
③平方关系:.定义双曲正弦函数为.
（1）写出具有的类似于题中①､②､③的一个性质,并证明该性质;
（2）任意,恒有成立,求实数k的取值范围;
（3）正项数列满足,是否存在实数a,使得?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,的充分条件是,则实数m的取值范围是.
故选:B.
2．答案：D
解析：复数,则z的实部为0,虚部为13,,.
故选:D.
3．答案：C
解析：随机变量,且,则,则.故选:C.
4．答案：A
解析：,,,
,解得,
,且,
,
故选:A.
5．答案：B
解析：根据题意易得陀螺的外接球半径,球心为圆柱的中心,
又圆柱的底面半径,球心到圆柱底面距离,
圆柱的高为,圆锥的高为,
该陀螺的体积为,
故选:B.
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：若,则,即点M为线段AB的黄金分割点;当时,,不存在使点B为线段AC的黄金分割点,故选项A,C错误;如下图,
当时,,当时,,则,则存在一个使得,故选项B错;对于选项D,若与相交于相邻的三点A,B,C,其横坐标分别为,,,则,将变换成后,点A,B,C分别对应到点,,,且满足,,,故,即,对比值无影响,故选项D正确.
8．答案：D
解析：因为Q是的一个旁心,则平分,则;又PM平分的外角,则,则,即,则,则,即双曲线的渐近线方程为.
9．答案：BCD
解析：由题意,数列满足,,
当时,,
当时,,A错误;
当时,;
当时,,
当时,,
当时,,归纳可得数列是以4为周期的数到,
故,B正确:
又由,故递增,C正确;
由上述讨论可知,的项为1,,1,,…,故是周期数列,D正确.
故选:BCD.
10．答案：AD
解析：因为,所以,,,所以,,所以,选项A正确;由,所以,选项B错误;
因为,
当且仅当,即时取“=”,所以选项C错误;
因为,所以,
所以,选项D正确.
故选:AD.
11．答案：ABD
解析：因为,则O平分线段MF,又,则O平分线段BN,则四边形BMNF为平行四边形,故A对;因为四边形BMNF为平行四边形,所以,
又,故,故B对;当轴时,根据对称性,P在y轴上,此时,故C错;设,,因为l过焦点F,则,则,则,又,则,即为等腰三角形,且y轴为MF的垂直平分线,故P必在y轴上.此外,,
则,则,
当MA与抛物线C相切时,取得最大值1,即
的最大值为1,故D对.
12．答案：
解析：1人抛掷一次抛出龙的图案朝上的概率为,2个成员将该模型各随机抛出一次,则恰好出现一次龙的图案朝上(即龙的图案在最上面)的概率为:,
故答案为:.
13．答案：;
解析：根据题意,过点E作,交BC于点F,在中,,可得,结合,得,
因此,在中,由可得;
因为中,BE是AC边上的中线,所以,
因为中,AI是BE边上的中线,所以,
当,,时,由余弦定理得,所以.
由此可得,
所以.
故答案为:1,.
14．答案：
解析：如图所示:
根据题意易知PA,PB分别与直线AD所成角分别为,,
,
,
的轨迹是正方形内,以D,C为焦点,长轴长为的椭圆的部分,即曲线EF,
,,,,
又DE与CF均为椭圆通径的一半,即,
四棱锥的高的最大值为,最小值为,
四棱锥的体积最小值为,最大值为,
四棱锥的体积的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）,令,解得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
则的单调递减区间为,单调递增区间为;
（2）依题意,存在,使得,
令,则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
故,因此.
16．答案：（1）0.8
（2）2
解析：（1）;
（2）X的值可能为0,1,2,3,
,,
,,
则X的分布列为:
故X的数学期望为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题知,在中,,,,求得,则,,
又,,,故平面AOB,所以,
,平面MOP;
（2）①设,,,则二面角的平面角即为,
在OB上取点N,使,连接MN,,,
四棱锥的体积,其中S表示四边形OCPB的面积,则
由,可得,,则,故,解得,即二面角的取值范围为;
②以方向x轴正方向,在内垂直于OB的方向为y轴正方向,方向为z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,
,,,
,即的最大值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意,则,因此,
设,,,联立AB与E的方程得,
又,即,
故,,即陏圆E的标准方程为;
（2）解法1:设,,,,可知PA的斜率存在,设为k,则,PA的方程为,联立PA与E的方程,整理得,,则,
又,故,
同理可得,易知CD的斜率不为0,设CD的方程为,则
,
又,则,
对比CD的方程可知,直线CD恒过定点,
设点P到直线CD的距离为d,则,
当且仅当时,点P到直线CD的距离取到最大值.
解法2:设,,,,,,
则,.……①
又,,即,
作差整理得,
结合①,解得.……②
由①②,解得,..……③
同理可得,,,.……④
可知CD的斜率不为0,设CD的方程为,结合①③④可得:
,
对比CD的方程可知,直线CD恒过定点,
设点P到直线CD的距离为d,则,
当且仅当时,点P到直线CD的距离取到最大值.
解法3:由题可设如下直线方程:,,,则过A,B,C,D四点的曲线系方程为:,
则x项的系数为,项的系数为,常数项为tn,
又椭圆E的方程可写为:,
对比系数可知:,解得,即,
故直线CD恒过定点,
设点P到直线CD的距离为d,则,
当且仅当时,点P到直线CD的距离取到最大值.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）见解析
解析：（1）①导数:,证明如下:
,
②二倍角公式:,证明如下:
③平方关系:,证明如下:
证到其它性质如:①;
②;
③也正确.:
（2）令,,,
①当时,由,又因为,故,等号不成立,所以,故为增函数,
此时,故对任意恒成立,满足题意;
②当时,令,,则,可知是增函数,
由与可知,存在唯一,使得,故当时,,则在上为减函数,故对任意,,不合题意;
综上所述,实数k的取值范围为;
（3）解法1:由,函数的值域为,对于任意大于1的实数,存在不为0的实数,使得,
类比双曲余弦函数的二倍角公式,由,
,猜想:,
由数学归纳法证明如下:①当时,成立;
②假设当(k为正整数)时,猜想成立,即,则
,符合上式,
综上:,
若,设,则,解得:或,
即,故,则,
综上:存在实数,使得成立.
解法2:构造数列,且,,
,则,
在上单调递增,故,即是以2为公比的等比数列,
,,,
,解得或,
故,
综上:存在实数,使得成立.
数学成绩的排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识竞赛成绩的排名
1
5
3
4
9
8
7
6
10
2
12
14
13
11
15
X
0
1
2
3
P