2023届江西省吉安市遂川中学高三第一次高中结业水平测试（一模）文科数学试题（含答案）

这是一份2023届江西省吉安市遂川中学高三第一次高中结业水平测试（一模）文科数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
遂川中学2023届第一次高中结业水平测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设全集，集合，集合，则下列式子正确的是（    ）．A． B．C． D．2．复数的模为（    ）．A． B．1 C．2 D．3．“”是“”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为 ，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（  ）A． B． C． D．5．设，，，则（    ）A． B． C． D．6．第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是（    ）A．324 B．306 C．243 D．1627．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（    ）A． B． C．1 D．8．若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（    ）A．2021 B．2022C．4032 D．40349．平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，点为线段的中点，点，分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（    ）A． B． C． D．10．已知函数f（x）＝x2在[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]11．已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（    ）A． B． C． D．12．已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（　　）A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．设向量，且，则=________．14．若x，y满足，则的最小值为________.15．在中，角，，的对边分别为，，.若，为边中点，，，则的面积为_____．16．如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧面中，面积的最大值为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．设数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，且对恒成立，求实数的最小值．18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，，，，点为的中点，与交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.19．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.20．已知椭圆：的长轴长为4，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）直线过的左焦点且与交于，两点，若，求的方程.21．已知函数， (为自然对数的底数).(1)设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；(2)若对于任意实数， 恒成立，试确定的取值范围；(3)当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.(1)求的值；(2)若射线与直线相交于点，求的值. 23．【选修4-5： 不等式选讲】已知，且.(1)解关于的不等式：；(2)求证：对任意恒有.
1．A【分析】求出A和B的补集后，对选项依次判断【详解】，对于A，故A正确同理得，，B，C，D错误故选：A2．D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．3．C【分析】解两个不等式，即可得出结论.【详解】由可得，解得，由得，解得，所以，“”是“”的充分必要条件.故选：C.4．A【分析】用两种地表示菱形的面积，建立的齐次等式，变形后可得离心率．【详解】根据菱形面积，有，化简得，两边除以，得，解得.故选：A．5．C【分析】根据余弦函数，对数函数、指数函数的性质结合中间值0，1比较大小．【详解】，∴，，，∴．故选：C.【点睛】本题考查实数的比较大小，考查余弦函数，对数函数、指数函数的性质，6．B【分析】先求得总的观看方案，再减去两个分项都相同的观看分案求解.【详解】由题意得：总的观看方案为，两个分项都相同的观看分案为，所以观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是，故选：B7．C【分析】在中利用余弦定理可求出，则可得，再由锐角三角函数的定义可求出，由勾股定理求出，从而可求得答案【详解】连接，由条件可得，在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，所以弦图中小正方形的边长为．故选：C8．C【分析】先证明，令，则，，证明函数是奇函数，即得解.【详解】解：令得，，令得，，.令，则，，，是奇函数，，即，．故选：C．9．D【分析】以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围.【详解】解：因为平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，所以以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，设，，所以，，又，所以，即，整理得，所以，又，所以，故选：D.10．D【分析】由题意可知在上恒成立，从而结合函数的性质可求．【详解】函数在上是增函数.所以在上恒成立.即在上恒成立,又在上是增函数.所以故选：D【点睛】本题考查函数的单调性与导数关系的应用，属于基础试题11．C【分析】分析可知圆心在直线上运动，设，则，求得，利用弦化切可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最大值.【详解】圆心，半径为，圆心在直线上运动，设，则，由圆的几何性质可知，所以，，当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，且，则，则，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，故函数在上为减函数，故当时，取得最大值.故选：C.12．B【分析】由方程f（x）＝a，得到x1，x2关于x＝﹣1对称，且x3x4＝1；化简，利用数形结合进行求解即可．【详解】作函数f（x）的图象如图所示，∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|＝|log2x4|，即﹣log2x3＝log2x4，则log2x3+log2x4＝0，即log2x3x4＝0，则x3x4＝1；当|log2x|＝1得x＝2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故；则函数y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故当x3＝取得y取最大值y＝1，当x3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选B．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．13．【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，即可求得的值，进而求得．【详解】因为所以向量则，解得 则【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，向量模的求法，属于基础题．14．5【分析】先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.故答案为：4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。15．【分析】根据，，得，，由为边中点，得，故，可求得，即可得解.【详解】解：因为，，所以，，因为为边中点，所以即，故，解得：，，所以.故答案为：.16．【分析】根据三视图还原为原图，计算出四棱锥所有侧面的面积，由此求得正确答案.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示四棱锥，，，所以，所以侧面积的最大值为.故答案为：17．(1)(2) 【分析】(1)利用与之间的关系可得，根据待定系数法可证明数列是首项为、公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出结果；(2)根据裂项相消法可得，进而求出，有对恒成立，从而得出的最小值.(1)由，又，两式相减可得，即，又当时，，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以，即；(2)由，则，因为，所以，即对恒成立，所以实数的最小值为．18．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得PE⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论；（2）连接，证得PD与平面ABCD线面所成角为∠PDE，然后解三角形求解得结果..【详解】（1）点E为AB的中点平面ABCD∴PE⊥平面ABCD平面PEC∴平面PEC⊥平面ABCD.（2）连接由（1）可知，PE⊥平面ABCD∴PD与平面ABCD线面所成角为∠PDE.直线与平面ABCD所成角的正切值为1.19．(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：012 数学期望【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为 .设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012 数学期望.20．（1） （2）【分析】（1）先求出，再将点代入即可求出，可得椭圆方程.（2）直线的斜率为0时，，故直线的斜率必不为0，设直线的方程为，联立，消可得，根据韦达定理即可求出.【详解】解：（1）∵，即，∵点在上，∴，∴，∴的方程为.（2）当直线的斜率为0时，，故直线的斜率必不为0，设直线的方程为，联立，消可得，∴，，恒成立，∴，从而，则，解得，故的方程为.【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，考查化简整理和运算能力，属于中档题.21．(1) 或 (2) (3)不存在【分析】(1)先求得处的切线方程，再根据与点的距离为求解；(2)将问题转化为，由求解； (3)根据极值的定义，由在区间有零点且在零点附近的符号不同求解；【详解】解：（1），，在处的切线斜率为，∴切线的方程为，即，又切线与点距离为，所以，解得，或 （2）∵对于任意实数恒成立，∴若，则为任意实数时，恒成立；若恒成立，即，在上恒成立， 设则， 当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以当时，取得最大值，，所以所以的取值范围为.综上，对于任意实数恒成立的实数的取值范围为. （3）依题意，，所以， 设，则，当，故在上单调增函数，因此在上的最小值为，即， 又所以在上，，即在上不存在极值.22．(1)；(2). 【分析】（1）求出曲线的极坐标方程，利用点的极坐标为，即可求的值；（2）由题可得射线与直线的极坐标方程，求出的极径，即得.【详解】（1）由题可得曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为，化简，得，由，得，∵，∴；（2）射线的极坐标方程为，直线的普通方程为；∴直线的极坐标方程为，由，解得，∴.23．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论、、时分别解不等式即可.（2）根据已知条件证得，再运用绝对值三角不等式可证得即可.【详解】（1）由，且得，所以，，当时，由得，该不等式不成立.当时，由得，解得.当时，由得，该不等式恒成立.综上得不等式的解集为.（2）证明：由，且得，所以，又因为，所以，又因为，当且仅当时取等号.所以对任意：恒有.