人教版高中数学必修第二册8.6.1 直线与直线垂直 同步练习(含答案)

这是一份人教版高中数学必修第二册8.6.1 直线与直线垂直 同步练习(含答案)，共8页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.异面直线a和b所成的角为θ,则θ的取值范围是( )
A.0,π2B.(0,π)
C.0,π2D.(0,π]
2.有下列说法:
①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
③若直线a∥b,则直线a,b与直线c所成的角相等.
其中正确说法的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
3.如图L8-6-1,在正四棱台中,A'D'所在的直线与BB'所在的直线是( )
图L8-6-1
A.相交直线
B.平行直线
C.不互相垂直的异面直线
D.互相垂直的异面直线
4.若空间中三条不同的直线l1,l2,l3满足l1⊥l2,l2∥l3,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l3
B.l1∥l3
C.l1与l3既不平行也不垂直
D.l1与l3相交且垂直
5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱CC1,A1D1的中点,则异面直线A1B与MN所成的角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
6.图L8-6-2是正方体的平面展开图,在这个正方体中,CN与BM所成角为( )
图L8-6-2
A.30°B.45°
C.60° D.90°
7.如图L8-6-3,在四面体ABCD中,AD=BC,且AD⊥BC,E,F分别是AB,CD的中点,则EF与BC所成的角为( )
图L8-6-3
A.30° B.45°
C.60°D.90°
8.如图L8-6-4,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15,则该长方体外接球的表面积为( )
图L8-6-4
A.98πB.196π
C.784πD.13723π
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1的各条棱所在的直线中,与直线AA1垂直的直线共有 条.
10.如图L8-6-5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
(1)AC与DD1所成的角为 ;
(2)AC与D1C1所成的角为 .
图L8-6-5
11.如图L8-6-6,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,则与直线A1B异面且所成角为60°的直线的条数为 .
图L8-6-6
12.如图L8-6-7,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,若AB=AC=AA1=1,BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为 .
图L8-6-7
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L8-6-8,在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E为AA1的中点,异面直线BE与CD1所成的角的正弦值为1010,求侧棱AA1的长度.
图L8-6-8
14.(10分)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,若A1B⊥AD1,求AA1的长.
15.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A.0°<θ<60°B.0°≤θ<60°
C.0°≤θ≤60°D.0°<θ≤60°
16.(15分)如图L8-6-9,已知点P在圆柱OO1的底面☉O的圆周上,AA1⊥AB,BP⊥A1P,AB,A1B1分别为☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题:
(1)求三棱锥A1-APB的体积.
(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
图L8-6-9
参考答案与解析
1.C [解析] 根据异面直线的概念可得,θ的取值范围为0,π2,故选C.
2.C [解析] ①中a,c可以平行、相交或异面;②中a,c可以平行、相交或异面;③正确.故选C.
3.C [解析] 在正四棱台中,A'D'∥B'C',又A'D'⊄平面BCC'B',B'C'⊂平面BCC'B',所以A'D'∥平面BCC'B',又BB'⊂平面BCC'B',所以A'D'与BB'异面.又因为四边形BCC'B'是等腰梯形,所以BB'与B'C'不垂直,即BB'与A'D'不垂直.故选C.
4.A [解析] ∵空间中三条不同的直线l1,l2,l3满足l1⊥l2,l2∥l3,∴l1⊥l3.故选A.
5.A [解析] 如图,取C1D1的中点P,连接PM,PN,CD1,则由题意知PM∥CD1,又CD1∥A1B,所以PM∥A1B,则∠PMN是异面直线A1B与MN所成的角.设AB=2,则在△PMN中,PM=PN=2,MN=6,则cs∠PMN=2+6−22×2×6=32,即∠PMN=30°.
6.C [解析] 把展开图再还原成正方体,如图所示.连接BE,ME,因为BE∥CN,所以异面直线CN与BM所成的角就是BE与BM所成的角,故∠EBM (或其补角)为所求.因为△BEM是等边三角形,所以∠EBM=60°.故选C.
7.B [解析] 设G为AC的中点,连接EG,FG,可知EG∥BC,GF∥AD,所以∠GEF就是EF与BC所成的角.由题意可知,三角形GEF为等腰直角三角形,所以∠GEF=45°.故选B.
8.B [解析] 如图所示,连接AC,与BD交于点O,则O为AC的中点,取CC1的中点E,连接BE,OE,则AC1∥OE,所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成角.设CE=x,则BE=x2+36,又AB=8,AD=6,所以OB=OC=5,OE=25+x2.在△OBE中,由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB·OE·cs∠EOB,即36+x2=25+25+x2-225+x2,解得x=26,所以CC1=2x=46.所以长方体的体对角线长为36+64+96=14,所以长方体的外接球的半径为7,所以长方体外接球的表面积为4π×72=196π.故选B.
9.8 [解析] 与直线AA1垂直的直线有上、下底面各4条棱所在的直线,共8条.
10.(1)90° (2)45° [解析] (1)DD1与AC是异面直线,因为AA1∥DD1,所以∠A1AC为DD1与AC所成的角.因为AA1⊥AC,所以∠A1AC=90°,所以DD1与AC所成的角是90°.(2)因为DC∥D1C1,所以∠ACD是AC与D1C1所成的角.又∠ACD=45°,所以AC与D1C1所成的角是45°.
11.4 [解析] 由正方体的性质知,△A1BD,△A1BC1都是等边三角形,所以从八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且所成角为60°的直线有AD1,AC,D1B1,B1C,共4条.
12.π3 [解析] 连接A1B,由三棱柱的性质知BC∥B1C1,则异面直线A1C与B1C1所成的角为∠A1CB或其补角.∵侧棱AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AB,AA1⊥AC,又∵AB=AC=AA1=1,∴A1B=AA12+AB2=2,A1C=AA12+AC2=2,又BC=2,∴△A1BC为等边三角形,则∠A1CB=π3.故异面直线A1C与B1C1所成的角为π3.
13.解:如图所示,连接A1B,由题意可知A1B∥CD1,所以异面直线BE与CD1所成的角为∠A1BE.
过点E作EH⊥A1B于点H,设EH=h,则BE=EHsin∠A1BE=ℎ1010=10h,AE=BE2-AB2=10ℎ2-1.
易知△A1HE∽△A1AB,则EHAB=A1EA1B,得ℎ1=10ℎ2-11+4(10ℎ2-1),解得h2=18或15,所以AE=12或1,所以AA1=1或2.
14.解:如图所示,连接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵A1D1∥BC,A1D1=BC=23,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成的角.
∵A1B⊥AD1,即异面直线A1B与AD1所成的角为90°,
∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形,底面是菱形,
∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.
∵四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,
∴AC=23×sin 60°×2=6,∴AD1=22AC=32,∴AA1=AD12-A1D12=6.
15.D [解析] 如图,连接CD1,AC.因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,此时CP与BA1不是异面直线,不符合题意,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.
16.解:(1)由题意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.
由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,在Rt△APB中,BP=2,AP=23,
∴S△PAB=12×2×23=23,∴VA1-APB=13S△PAB·AA1=13×23×3=23.
(2)当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.
证明如下:∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥BP,
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,∴A1B=5.
又BP⊥A1P,∴cs∠A1BP=BPA1B=25,
∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.