江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。


考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）.
1 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求集合B，再结合并集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：B.
2. 命题：“，”的否定是 （ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题：“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：D
3. 函数是奇函数，则等于
A. 1B. 0C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，可直接得出结果.
【详解】因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，
即，所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，熟记函数奇偶性的特征即可，属于基础题型.
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：若满足，则，故B错误；
对于选项C：若，则，即，故C正确；
对于选项D：若满足，则，故D错误；
故选：C.
5. 已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
6. 已知函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，换元得到，计算最小值得到答案.
【详解】，设
故 ，即当时，有最小值
故选：
【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.
7. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：A
8. 已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.
【详解】因为，则有：
令，可得；
令，可得；
且不等式可化为：，
又因为函数为R上的单调递增函数，则，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数相等定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为与的对应关系相同，定义域均为，
所以与是同一个函数，故A正确；
对于选项B：因为与的对应关系相同，定义域均为，
所以与是同一个函数，故B正确；
对于选项C：因为的定义域为，的定义域为，
两者定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
对于选项D：因为与的对应关系相同，定义域均为，
所以与是同一个函数，故D正确；
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 的最小值为
B. 已知集合，均为实数集的子集，且，则
C. 对于函数，，“是偶函数”是“的图象关于直线轴对称”的充要条件
D. 若命题“，”的否定是真命题，则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例可判断A；利用集合的交并补运算可判断B；根据偶函数的性质结合图象平移可判断C；写出命题的否定，再由求得的范围可判断D；从而得解.
【详解】对于A：取，则，故A错误；
对于B：因为，所以，即，
所以，故B正确；
对于C：当是偶函数时，其对称轴为，
将图象向右平移一个单位可得的图象，
所以“的图象关于直线轴对称，即充分性成立；
当的图象关于直线轴对称时，
将图象向左平移一个单位可得图象，
则的图象关于对称，故是偶函数，即必要性成立；
所以“是偶函数”是“的图象关于直线轴对称”的充要条件，故C正确；
对于D：命题“，”的否定是，，
若否定为真命题，则，可得，故D错误.
故选：BC.
11. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 则（ ）
A. 当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2
B. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
C. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差
D. 若窗户面积和地板面积都增加原来的，其中，公寓采光效果不变
【答案】BD
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故B正确；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为c，同时地板增加的面积为，
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，
且，
若即；若即；
若即，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故C错误；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
所以公寓采光效果不变，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的单调减区间为
B. 函数为R上的单调函数，则
C. 若恒成立，则实数m的取值范围是
D. 对，不等式恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，画出时的函数图象，得到A错误；B选项，分析得到若，函数不单调，若，比较端点值后得到函数单调递减；C选项，在B选项基础上，满足要求，当时，再分，和三种情况，求出时要想满足要求，求出，再检验其在时满足要求，故C正确；D选项，根据函数为上凸函数，得到D正确.
【详解】当时，，画出其图象，如下：
的单调减区间为，不能用，A错误；
B选项，当时，，单调递减，
当时，，对称轴为，开口向下，
若时，，故在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，不合要求，
当时，，且，
将代入中，得，
故在R上的单调递减，满足要求
故，B正确；
C选项，由B选项可知，
当时，在R上的单调递减，满足恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
当时，满足恒成立，
当，即时，要想恒成立，
则要，
解得，
因为，故，解得，
当且，即时，
要想恒成立，则要，
即在恒成立，
检验当时，对称轴为，
此时，
故在之间，
故在处取得最小值，
，
因为，所以，
故满足要求，
故实数m的取值范围是，C正确；
D选项，当时，为上凸函数，
以时为例，画出图象，如图所示，
满足不等式恒成立，D正确
故选：BCD
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分).
13. 设函数，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中分段函数解析式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
14. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数单调性，比较对称轴与区间的位置关系即可解得实数的取值范围是.
【详解】由题意可知，二次函数的对称轴为，
若在上单调递增可知，解得；
若在上单调递减可知，解得；
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域．
【详解】解：函数的定义域为，，
∴，解得，
即函数的定义域为．
故答案为：．
16. 函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上结论，函数，则的对称中心是_________；若为正整数，则__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意可设函数的对称中心为，由为奇函数代入化简即可得其对称中心为；利用对称中心可知，分组计算可得.
【详解】设函数的对称中心为,
根据题意可知为奇函数，
即为奇函数，
可得，解得；
所以的对称中心是；
即可知为奇函数，所以，即；
因此
；
所以.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求 .
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算求解；
（2）根据之间的平方关系运算求解.
【详解】(1)原式；
(2) 因为，则，可得，
所以.
18. 已知集合，集合，设全集.
（1）求A，B，；
（2）已知关于x的不等式的解集为C，若，求实数m的取值范围.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数单调性求集合A，利用一元二次不等式求集合B，再根据集合的交集和补集运算求；
（2）整理可得，分类讨论与2的大小关系，解不等式，结合题意分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知：，
因为，即，
令，解得或，
若，则不等式的解集，满足题意；
若，则不等式的解集，则；
若，则不等式的解集，则；
综上所述：实数m的取值范围为.
19. 已知、、、.
（1）试比较与的大小，并给出证明；
（2）利用（1）的结论求函数的最大值.
【答案】（1），证明见解析.
（2）函数的最大值为.
【解析】
【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系；
（2）利用（1）中的结论可得出，由此可求得的最大值.
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
当且仅当时，等号成立.
【小问2详解】
解：因为，
则，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，函数的最大值为.
20. 如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.
（1）当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置；
（2）当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）；点P在BD中点时，四边形面积取最大值.
（2）点P在BD中点时，四边形面积取最大值
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值；
（2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值.
【小问1详解】
在矩形中，，，
∴，，∵，，
∴， ，∴，
因为，所以，所以，
当且仅当取等号，此时点P在BD中点，
即点P在BD中点时，四边形面积取最大值.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为，所以，所以，
当且仅当取等号，此时点P在BD中点，
即点P在BD中点时，四边形面积取最大值.
21. 已知偶函数的定义域为，当时，函数.
（1）当时，求函数在区间上的解析式；
（2）函数在上单调递减，在上单调递增，求m的值；
（3）在（2）的条件下，不等式在上有解，求实数a的取值范围.
（注：其中“e”为自然常数，约为2.718281828459045）
【答案】21.
22.
23.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义分析求解；
（2）根据函数单调性的定义分析求解；
（3）利用换元法令，原题等价于：存在，使得不等式成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
当时，，
当时，则，可得,
因为为偶函数，所以，
即当时，.
【小问2详解】
任取，且，
则，
因为在上单调递减，则，且，
又，，
可得恒成立，即恒成立，所以；
同理：若在上单调递增，可得；
综上所述：.
【小问3详解】
由（2）可知：，则，
因为函数在上单调递增，
则在上单调递增，且，可得，
令，则，
对于不等式，即，可得，
可知原题等价于：存在，使得不等式成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即实数a的取值范围为.
22. 已知二次函数，且.
（1）求的解析式；
（2）若在上的最大值为，求的值以及的最小值；
（3）若，集合， 集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2），的最小值为
（3）或，
【解析】
【分析】（1）直接代入函数解析得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；
（2）由（1）可得，分和两种情况讨论，求出的值，从而求出的最小值；
（3）首先求出，令，，则，，再分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由，且，
得，
所以，所以，解得，故；
【小问2详解】
因为，
所以，开口向上，对称轴为，
①当，即时，，解得，
此时的对称轴为，所以；
②当，即时，，解得，不合题意；
综上所述，，的最小值为．
【小问3详解】
因为，
所以，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，又，，
即，
令，，则，，
因为，
当，则在上单调递增，
则，所以，解得（不符合题意），
此时，，解得，或（舍去）；
当时，则，即，方程无解，故舍去；
当，则在上单调递减，
所以，所以，解得或（舍去），
此时，，解得，或（舍去）；
综上可得或，.