2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型五 与切线有关的证明与计算 (含答案) - 副本

这是一份2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型五 与切线有关的证明与计算 (含答案) - 副本，共17页。

(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径．
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE, DE.
(1)求证：AE平分∠BAC；
(2)若∠B＝30°，求eq \f(CE,DE)的值．
第2题图
3. 如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若tan∠A＝eq \f(1,2)，⊙O的半径为3，求EF的长．
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F.
(1)求证：FD是圆O的切线；
(2)若BC＝4，FB＝8，求AB的长．
第4题图
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，且eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
(1)求证：AF＝AE；
(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
第5题图
6. 如图，已知△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB的延长线于点P、Q，连接BD.
(1)求证：PQ是⊙O的切线；
(2)连接OB，若tan∠ACD＝eq \f(1,2)，求eq \f(OB,BD)的值．
第6题图
7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC.
(1)求证：∠ACF＝∠B；
(2)若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值．
第7题图
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过点O作OE∥AB交AC于点E，连接ED并延长交CB的延长线于点F.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若sinF＝eq \f(1,3)，BD＝6，求AB的长．
第8题图
9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，CE＝6，求BC的长．
第9题图
10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F.
(1)求证：DF∥BC；
(2)若BF＝5，DF＝10，求AB的长．
第10题图
11. 如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，过点D作DE⊥AC于点E.
(1)证明：DE是⊙O的切线；
(2)若eq \f(CE,AE)＝eq \f(1,3)，求∠DAE的度数．
第11题图
12. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，且∠DAB＝2∠B，连接CD，AD，过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点 E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)求证：CE2＝AE·DE.
第12题图
参考答案
1. (1)证明：如解图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ODA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＋∠CDB＝90°，
∴∠ODA＋∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°－(∠CDB＋∠ODA)＝90°，
∴OD⊥BD.
∵OD为⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
第1题解图
(2)解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴eq \f(CD,CB)＝eq \f(CB,CA)，
∴CB2＝CD·CA，
∵CD＝1，BC＝2，
∴CA＝4，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(5)，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝2eq \r(5)，
设⊙O的半径为r，则OB＝2eq \r(5)－r，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋BD2，
即(2eq \r(5)－r)2＝r2＋(eq \r(5))2，
解得r＝eq \f(3\r(5),4)，即⊙O的半径为eq \f(3\r(5),4).
2. (1)证明：如解图，连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEC＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠CAE.
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
第2题解图
(2)解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
又∵∠OAE＝∠CAE，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴eq \f(CE,DE)＝eq \f(AE,AD)，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝30°，
∵cs∠DAE＝eq \f(AE,AD)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，
∴eq \f(CE,DE)＝eq \f(\r(3),2).
3. (1)证明：如解图，连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
第3题解图
(2)解：∵AB是⊙O的直径，DF是⊙O的切线，
∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∠FDB＋∠BDO＝90°，
∴∠ADO＝∠FDB，
∵OA＝OD，∠ADO＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠FDB，
∵∠DFA＝∠BFD，
∴△ADF∽△DBF，
∴eq \f(DB,AD)＝eq \f(DF,AF)＝eq \f(BF,DF)＝tanA＝eq \f(1,2)，
∴DF＝eq \f(1,2)AF＝2BF，
即eq \f(1,2)(BF＋6)＝2BF，解得BF＝2，DF＝4，
∵OD⊥DF，BE⊥DF，
∴△ODF∽△BEF，
∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(BF,OF)，即eq \f(EF,4)＝eq \f(2,2＋3)，
解得EF＝eq \f(8,5).
4. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴ED＝eq \f(1,2)BC＝EB＝EC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD＋∠ABD＝90°，
∴∠EDB＋∠ODB＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴FD是⊙O的切线；
第4题解图
(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
在Rt△FBE中，FE＝eq \r(BE2＋FB2)＝eq \r(22＋82)＝2eq \r(17)，
在△ODF和△EBF中，∠ODF＝∠EBF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ODF∽△EBF，
∴eq \f(OD,EB)＝eq \f(OF,EF)，即eq \f(OD,2)＝eq \f(8－OD,2\r(17))，
解得OD＝eq \f(\r(17)－1,2)，
∴AB＝2OD＝eq \r(17)－1.
5. (1)证明：∵eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBD＋∠CEB＝90°，
∵AF是⊙O的切线，切点为A，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F＋∠ABD＝90°，
∴∠CEB＝∠F，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠AEF＝∠F，
∴AF＝AE；
(2)解：∵AB＝8，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)，
∵∠CBD＝∠ABD，∠ACB＝∠FAB＝90°，
∴△BCE∽△BAF，
∴eq \f(CE,AF)＝eq \f(BC,BA)，
设AF＝AE＝x，则eq \f(2\r(15)－x,x)＝eq \f(2,8)，解得x＝eq \f(8\r(15),5)，
∴AF＝eq \f(8\r(15),5).
6. (1)证明：如解图，连接OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴OD⊥AB，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥PQ，
∵OD是⊙O的半径，
∴PQ是⊙O的切线；
第6题解图
(2)解：如解图，设OD与AB交于点E，
设DE＝a，⊙O的半径为r，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴tan∠ABD＝eq \f(DE,BE)＝tan∠ACD＝eq \f(1,2)，
∴BE＝2DE＝2a，
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD＝eq \r(5)a，
在Rt△OBE中，OB2＝OE2＋BE2，
∴r2＝(r－a)2＋(2a)2，解得r＝eq \f(5,2)a，∴OB＝eq \f(5,2)a.
∴eq \f(OB,BD)＝eq \f(\f(5,2)a,\r(5)a)＝eq \f(\r(5),2).
7. (1)证明：如解图，连接OC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°.
∵FC是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°.
∴∠OCA＋∠ACF＝∠OCA＋∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠ACF.
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠OEC.
∵∠B＝∠OEC，
∴∠ACF＝∠B；
第7题解图
(2)解：由(1)得，∠ACF＝∠B，
∵∠AFC＝∠CFB，
∴△ACF∽△CBF，
∴eq \f(CF,BF)＝eq \f(AC,CB)＝eq \f(AF,CF)＝eq \f(1,2)，
设AB＝BC＝a，
则AC＝eq \f(1,2)a，eq \f(4,2＋a)＝eq \f(1,2)，解得a＝6，
∴AB＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ECA＝90°， ∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(AE,AB)，
∴AD·AE＝AC·AB＝18.
8. (1)证明：如解图，连接OD.
第8题解图
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∵OE∥AB，
∴∠COE＝∠OBD，∠DOE＝∠ODB，
∴∠COE＝∠DOE.
在△COE和△DOE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OC＝OD,∠COE＝∠DOE,OE＝OE))，
∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠EDO＝∠ACB＝90°.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)解：∵在Rt△FDO中，sinF＝eq \f(OD,OF)＝eq \f(1,3)，
∴OF＝3OD.
∵OB＝OD，OF＝OB＋BF，
∴eq \f(BF,OF)＝eq \f(2,3).
∵OE∥AB，
∴△FBD∽△FOE，
∴eq \f(BD,OE)＝eq \f(BF,OF)＝eq \f(2,3).
∵BD＝6，
∴OE＝9.
∵OB＝OC，
∴EO是△ABC的中位线，
∴AB＝2OE＝18.
9. (1)证明：如解图，连接OA，OC, 延长AO交BC于点H，
在△OAB和△OAC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OB＝OC,AB＝AC,OA＝OA))，
∴△OAB≌△OAC(SSS)，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AH⊥BC.
∵AD∥BC，
∴AH⊥AD.
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
第9题解图
(2)解：由(1)知AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵ AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴eq \f(AE,EC)＝eq \f(AD,BC)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(AD,BH)＝eq \f(AD,\f(1,2)BC)＝eq \f(4,3)，
又∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，
∴△AOD∽△HOB，
∴eq \f(AD,BH)＝eq \f(AO,OH)＝eq \f(4,3).
设OA＝4k，则OH＝3k，OB＝4k，∴BH＝eq \r(OB2－OH2)＝eq \r(7)k.
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴BH2＋AH2＝AB2.
∵AH＝OA＋OH＝7k，AB＝AC＝AE＋CE＝10，
∴(eq \r(7)k)2＋(7k)2＝102,
∴k＝eq \f(5\r(14),14)，
∴BC＝2BH＝2eq \r(7)k＝5eq \r(2).
10. (1)证明：如解图，连接OB、OC、OD，
∵AD平分∠BAC，
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).
∴∠BOD＝∠COD.
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC.
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF∥BC；
(2)解：如解图，连接BD、CD.
由(1)可得DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBC.
∵BD＝CD，
∴∠BAD＝∠DBC.
∴∠FDB＝∠BAD.
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴eq \f(BF,DF)＝eq \f(DF,AF)，
即eq \f(5,10)＝eq \f(10,AF)，
解得AF＝20，
∴AB＝20－5＝15.
第10题解图
11. (1)证明：如解图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AC＝BC，
∴∠OBD＝∠A，
∴∠A＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
第11题解图
(2)解：如解图，连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∵∠DEA＝90°，
∴∠CDE＋∠ADE＝∠ADE＋∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAE，
∴△ADE∽△DCE，
∴eq \f(DE,CE)＝eq \f(AE,DE)，即eq \f(DE,CE)＝eq \f(3CE,DE)，
∴DE2＝3CE2，
∴DE＝eq \r(3)CE，
∴AD＝eq \r(AE2＋DE2)＝eq \r(（3CE）2＋（\r(3)CE）2)＝2eq \r(3)CE，
∴cs∠DAE＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(3CE,2\r(3)CE)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠DAE＝30°.
12. 证明：(1)如解图，连接OC，
∵∠DAB＝2∠B，∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAB.
∴OC∥DE.
∵DE⊥CE，
∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
第12题解图
(2)如解图，连接AC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE ＝90°.
∴∠OCA＋∠ACE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠OAC＋∠B＝90°.
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACE＝∠B.
∵∠D＝∠B，
∴∠ACE＝∠D.
∵∠AEC＝∠CED，
∴△AEC∽△CED.
∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(CE,DE).
∴CE2＝AE·DE.