2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型六 与特殊四边形有关的证明与计算(非动态) (含答案)

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1. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，csB＝eq \f(4,5)，求BF和AD的长．
第1题图
2. (北师九上P17例4改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，以点B为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB，BC于点M，N，以点A为圆心，以BM长为半径画弧交BA的延长线于点P，以点P为圆心，以MN长为半径画弧交前弧于点Q，作射线AQ，过点C作CE∥AD交AQ于点E.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若AB＝7，AE＝3，求AD的长．
第2题图
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD.
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
(2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
第3题图
4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F.
(1)求证：BF＝CD；
(2)连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2eq \r(3)，求平行四边形ABCD的周长．
第4题图
5. 如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)证明：四边形BEDF是菱形．
第5题图
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，且CE⊥AB，将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG.
(1)证明：四边形AECF为矩形；
(2)求四边形AECG的面积．
第6题图
7. 如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2.
(1)求证：四边形BFED是平行四边形；
(2)若tan∠ABD＝eq \f(2,3)，求线段BG的长度．
第7题图
8. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，OG⊥AD于点G，点F在AD上，且EF∥OG，连接OE.
(1)求证：四边形EFGO是矩形；
(2)若AB＝6，AG＝OG＝2，求BC的长．
第8题图
9. 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四边形；
(2)若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②，求证：△DGF是等腰直角三角形．
第9题图
10. 如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，BP，PD.
(1)求证：△ADP≌△BCM；
(2)若PA＝eq \f(1,2)PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求eq \f(S,T)的值．
第10题图
11. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．
第11题图
12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边的中点，过点B作BF⊥AB交AD的延长线于点F，CE平分∠ACB交AD于点E，连接BE、CF.
(1)判断四边形CEBF的形状，并证明；
(2)若AD＝3，求BF的长．
第12题图
参考答案
1. (1)证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥EC.
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，BE＝5，csB＝eq \f(4,5)，
∴在Rt△BEF中，BF＝BE·csB＝5×eq \f(4,5)＝4，
∴EF＝eq \r(BE2－BF2)＝eq \r(52－42)＝3.
∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，EF⊥AB，
∴CE＝EF＝3.
由(1)得四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE＝3.
2. (1)证明：由尺规作图可得，∠PAE＝∠MBN，
∴AE∥BC，即AE∥DC，
∵CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC.
∴四边形ADCE是矩形；
(2)解：∵四边形ADCE是矩形，
∴CD＝AE＝3.
∵AC＝AB＝7，
∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝2eq \r(10).
3. (1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
(2)解：如解图，过点B作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴BF＝OB·sin∠AOB＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
∴菱形AOBE的面积是OA·BF＝2×eq \r(3)＝2eq \r(3).
第3题解图
4. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB.
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB.
∴∠AFB＝∠FAB.
∴AB＝BF.
∴BF＝CD；
(2)解：由(1)知，AB＝BF，
∵∠BFA＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，
∵BE⊥AF，
∴点E是AF的中点．
在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝2eq \r(3)，
∴EF＝2，BF＝4，
∴AB＝BF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE＝EF＝CF＝2，
∴BC＝4－2＝2，
∴平行四边形ABCD的周长为2×(2＋4)＝12.
5. 证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF；
(2)如解图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形．
第5题解图
6. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，
∴AE＝eq \f(1,3)AB，CF＝eq \f(1,3)CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴四边形AECF为矩形；
(2)解：∵AB＝3，点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，
∴AE＝1，BE＝2，
∵将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，
∴BB′＝2BE＝4，AB′＝1，∠B＝∠AB′G，
∵DC＝DG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵AB∥CD，
∴∠AB′G＝∠DCG，∠B′AG＝∠D＝∠B＝∠AB′G，
∴∠B′AG＝∠AB′G＝∠B′GA，
∴△B′AG是等边三角形，△B′BC是等边三角形，
如解图，过点B′作B′H⊥AG于点H，
∴B′H＝eq \f(\r(3),2)AB′＝eq \f(\r(3),2)，CE＝eq \f(\r(3),2)BC＝2eq \r(3)，
∴S四边形AECG＝S△CEB′－S△GAB′＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×1＝eq \f(7\r(3),4).
第6题解图
7. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，即DE∥BF，
又∵DE＝BF，
∴四边形BFED是平行四边形；
(2)解：由(1)知四边形BFED是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠F＝∠ABD，
∴tanF＝tan∠ABD＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(BG,BF)＝eq \f(2,3)，
又∵BF＝2，
∴BG＝eq \f(4,3)，
∴线段BG的长度为eq \f(4,3).
8. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
∵E是CD的中点，
∴OE∥AD，
又∵EF∥OG，
∴四边形EFGO是平行四边形．
∵OG⊥AD，
∴∠OGF＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，O是对角线AC、BD的中点．
∵E是CD的中点，
∴DE＝eq \f(1,2)CD＝3.
由(1)知，四边形EFGO是矩形，
∴∠EFD＝∠EFG＝90°，EF＝OG＝2.
在Rt△DEF中，FD＝eq \r(DE2－EF2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5).
∵四边形EFGO是矩形，
∴GF＝EO.
∵E是CD的中点，O是AC的中点，
∴AD＝2EO＝2GF.
∴AG＋GF＋FD＝2GF.
∴2＋GF＋eq \r(5)＝2GF.
解得GF＝2＋eq \r(5)，
∴BC＝AD＝2GF＝2×(2＋eq \r(5))＝4＋2eq \r(5).
9. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB綊CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE綊CD.
∴四边形BECD为平行四边形；
(2)∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°＝∠DAC，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(GE＝GA,∠E＝∠DAC,EF＝AD))，
∴△EGF≌△AGD(SAS)，
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∴∠DGF＝∠DGA＋∠AGF＝∠EGF＋∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
10. (1)证明：∵PM∥DC，且PM＝DC，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴PD＝MC，
∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，
∴AB∥PM，且AB＝PM，
∴四边形ABMP是平行四边形，
∴AP＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
在△ADP和△BCM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝BC,AP＝BM,PD＝MC))，
∴△ADP≌△BCM(SSS)；
(2)解：由(1)可得S△ADP＝S△BCM，
∴S四边形BMCP＝S△BCM＋S△BCP＝S△ADP＋S△BCP＝eq \f(1,2)S▱ABCD，
又∵PA＝eq \f(1,2)PC，
∴S△ABP＝eq \f(1,3)S△ABC＝eq \f(1,6)S▱ABCD，
∴eq \f(S,T)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3).
11. (1)证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DNE＝∠FME,EN＝EM,∠DEN＝∠FEM))，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
第11题解图
(2)解：CE＋CG＝eq \r(2)AB.
证明：∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CD,∠ADE＝∠GDC,DE＝DG))，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE＝CG，
在Rt△ABC中，AC＝AE＋CE＝eq \r(2)AB，
∴CE＋CG＝eq \r(2)AB.
12. 解：(1)四边形CEBF是平行四边形．
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC.
∴∠ABC＝45°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠CBF＝45°，
∵D为BC边的中点，
∴CD＝DB，
在△CDE和△BDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DCE＝∠DBF,CD＝BD,∠CDE＝∠BDF))，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴DE＝DF，
又∵CD＝BD，
∴四边形CEBF是平行四边形；
(2)∵D为BC的中点，AC＝BC，
∴AC＝2CD，
又∵∠ACB＝90°，在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2，即(2CD)2＋CD2＝9，解得CD＝eq \f(3\r(5),5)，
∴AC＝BC＝eq \f(6\r(5),5)，
∴AB＝eq \f(6\r(10),5)，
∵CE平分∠ACB，AC＝BC，
∴CE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵BF⊥AB，
∴∠EAB＋∠AFB＝∠EBA＋∠EBF＝90°，
∴∠AFB＝∠EBF，
∴EF＝BE，
∴AE＝EF，
∵四边形CEBF为平行四边形，
∴ED＝DF，
∴DE＝eq \f(1,4)AF＝eq \f(1,3)AD＝1，
∴AF＝4.
∴BF＝eq \r(AF2－AB2)＝eq \f(2\r(10),5).