2024年湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高三二模数学试卷

这是一份2024年湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高三二模数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高三
二模数学试卷
一、单选题
1.已知
A.
为虚数单位，且
B.
与
互为共轭复数，则
C.
（
）
D.
2.直线
①
，直线
，使得
，给出下列命题：
，使得
；
②
；
③
， 与 都相交；
④
，使得原点到 的距离为 .
其中正确的是（
A. ①②
）
B. ②③
C. ②④
D. ①④
3.函数
A.
的图象大致是（
）
B.
C.
D.
4.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件 ，“乙骰子正面向上的
点数为偶数”为事件 ，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件 ，则下列判断错误的
是（
A.
）
互为独立事件
B.
为互斥事件
C.
D.
5.空间点
A.
，则点 到直线
C.
的距离
（
）
B.
D.

6.如图，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，图中圆弧所在圆的圆
，其中
，
心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，则 的最大值为
A.
B.
B.
C. 2
D.
7.设
A.
，则
C.
的大小关系是（ ）
D.
8.已知椭圆
A.
的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线
交椭圆于P，Q两点，若F恰好为
B.
的重心，则椭圆的离心率为（
D.
）
C.
二、多选题
9.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造
力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车
缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为 米，圆心距水面的高度为 米，水车按逆时针方
向匀速转动，每分钟转动 圈，当其中的一个水斗 到达最高点时开始计时，设水车转动 （分钟）时水斗 距
离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为
（米），下列选项正确的是（
）
A.
B.

C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的
D. 在旋转一周的过程中，水斗 距离水面高度不低于
米的时间为
秒
10.斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔
子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定
义:数列
A.
满足:
,
.则下列结论正确的是（
是奇数
）
B.
D.
C.
被4除的余数为0
11.如图，在棱长为2的正方体
上的动点，则（
中，M，N，分别是
，
，
的中点，Q是线段
）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使 平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体
所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题
12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30
百分位数的7倍，则a的值为
.
13.已知函数
的定义域为
的解集为
，其导函数为
，若
，
，则关于x的不等式
.

14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆
锥的侧面相切．椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点
相切于点 ， ．由球和圆的几何性质可知，
，
，
．过椭圆上一点 作圆锥的母线，分别与两个球
．已知两球半径分别为 和 ，椭圆的
离心率为
，则两球的球心距离为
．
四、解答题
15.在
中，已知
.
(1)求证：
；
(2)若D为AB的中点，且
，
，求
的面积.
16.在正四棱柱
中，
为
中点，直线
与平面
交于点 ．
(1)证明： 为
的中点；
所成的角为 ，求二面角
(2)若直线 与平面
的余弦值．

17.已知椭圆
(1)求C的方程；
(2)直线 ：
的离心率为
，以C的短轴为直径的圆与直线
相切.
与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的
斜率为 （O为坐标原点），△APQ的面积为
否为定值？并说明理由.
.
的面积为 ，若
，判断
是
18.已知函数
(1)求证: 当
(2)已知函数
（i）求证:
（ii）求证:
.
时，
;
有3个不同的零点
，
;
是自然对数的底数).
19.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个
正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整
数的个数，记为
．
(1)试求
，
，
，
的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求
，
与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算
③求正整数k，使得kq除以
④其中 称为公钥，
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是
数记为数列 ，数列 满足 ，求数列
，欧拉函数
；
的余数是1；
称为私钥．
．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列
的前n项和
．