2022-2023学年湖北省武汉市洪山区西藏中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区西藏中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是(    )

A.  B.
C. ，或 D. ，或

2.  已知曲线右焦点为，为双曲线左支点上一点，点，则周长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆：截直线所得线段长度是，则圆与圆：的位置关系是  (    )

A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离

4.  数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算机将信息转换成二进制数进行处理时，二进制即“逢二进一”，如表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制数的形式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在等差数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  有不同的语文书本，不同的数学书本，不同的英语书本，从中选出不属于同一学科的书本，则不同的选法有种．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在的二项展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设函数，已知集合为的极值点，，若存在实数，使得集合中恰好有个元素，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，，是线段的中点，记，则 ______ ， ______ ．

14.  等差数列的前项和为，，则______．

15.  已知组合数，则 ______ ．

16.  某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶如果第一天去“喜茶“店，那么第二天去“喜茶“店的概率为；如果第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在二项式的展开式中，求：
展开式的第四项；
展开式的常数项；
展开式的各项系数的和．

18.  本小题分
有名学生参加体育达标测验，个各自合格的概率分别是，，，，求以下的概率：
人中至少有人合格的概率；
人中恰好只有人合格的概率．

19.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．

20.  本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ证明：．

21.  本小题分
已知抛物线经过点，且其对称轴为轴．
Ⅰ求抛物线的标准方程；
Ⅱ已知直线与抛物线交于，两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系，并加以证明．

22.  本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，求证：为的中点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是：或，
故选：．
利用双曲线的实轴与虚轴的长，直接写出双曲线方程即可．
本题考查双曲线方程的求法，注意焦点坐标所在的轴，是易错题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用双曲线的性质，转化求解三角形的周长的最小值，判断最小值时点的位置是解题关键．

【解答】

解：曲线右焦点为，取左焦点为，
的周长，
要的周长最小，只需最小，
如图，当、、三点共线时取到最小值，

故
故答案选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键，属于中档题．
根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．

【解答】

解：圆的标准方程为：，
则圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
圆：截直线所得线段的长度是，
，
即，即，，
则圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
则，
，，
，
即两个圆相交．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：由，，知为首项为，公差为的等差数列，
，
可得．
故选：．
由已知可得，为首项为，公差为的等差数列，写出其通项公式，则答案可求．
本题考查等差数列的定义与通项公式，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：转换成十进制的形式是：

即．
故选：．
先将二进制数转换成十进制数的形式，然后利用等比数列前项和公式求和即可．
本题考查二进制，考查等比数列前项和公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在等差数列中，由，，
得．
故选：．
由已知直接利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书本，包括种情况：
一本语文、一本数学，有种取法，
一本语文、一本英语，有种取法，
一本数学、一本英语，有种取法，
则不同的选法有种；
故选：．
根据题意，从中选出不属于同一学科的书本，包括种情况：一本语文、一本数学，一本语文、一本英语，一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的运用，是简单的题目；解题时需要注意准确计算即可．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．

【解答】

解：在的二项展开式的通项公式为．
令，可得，故的系数为，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
根据展开式的二项式系数之和为求出，再利用通项公式即可求解．
【解答】
解：依题，
．
，
令，
，
常数项：，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式为
令，则，的展开式中含项的系数是
故选：．
写出的展开式的通项公式，令，即可求得结论．
本题考查二项式的展开式的通项公式，考查特殊项，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：【方法】集合表示的最大值和最小值对应的点，
且两个相邻的最大值或最小值之间的距离为一个周期，
由的最大值或最小值一定在直线上，
在集合中，时，由，得；
若存在实数，可将的图象适当平移，以题意知，
，即，解得
【方法】由题意，集合中恰好有个元素，即椭圆内包括函数图象的个最值点；
顶点在椭圆上，而顶点必满足在椭圆内，
把顶点的坐标代入，可得，
解得：，
由，
，
解得：．
故选：．
【方法】根据集合、表示的几何意义，转化为，从而求得的取值范围．
【方法】由集合中恰好有个元素，即椭圆内包括函数图象的个最值点；
根据对称性知在椭圆之外，在椭圆上或者内，代入求解即可．
本题考查了三角函数的图象与应用问题，也考查了椭圆的方程与应用问题，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数，
，
若，，为增函数；若，或，为减函数；
在上有极值，
在处取极小值也是最小值；
，对称轴，，
当时，在处取最小值；
当时，在处取最小值；
当时，在上是减函数，；
对任意，存在，使，
只要的最小值大于等于的最小值即可，
当时，，解得，故无解；当时，易知无解当时，，解得，
综上：，
故选：．
首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，对的图象进行讨论根据对称轴研究的最值问题，从而进行求解；
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；
 

13.【答案】   

【解析】解：因为是线段的中点，根据中点坐标公式可得：
，所以，，
所以，
，
即
所以数列是公比为的等比数列，首项为，
故数列的通项公式为，
故答案为：；．
利用中点坐标公式可得，进而可以求出，，求出，再由以及等比数列的定义即可求解．
本题考查了数列递推式的应用，考查了运算转化能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，等差数列中，，
则，
故答案为．
先由等差数列的性质可得，再根据等差数列的求和公式代入即可．
本题考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：组合数的性质公式：，
组合数，则．
故答案为：．
根据组合数的性质公式，计算即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：
第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为；
第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为，
所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为．
故答案为：．
分两种情况考虑：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”；第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，求解概率即可．
本题考查了概率问题的求解，分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，，，，，，
第四项为．
令 ，得 ，
所以展开式的常数项为 ．
令 ，得展开式的各项系数的和为 ． 

【解析】根据题意写出二项式的展开式的通项公式，再写出第四项，常数项，采用赋值法写出系数和即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：要满足 人中至少有  人合格，
即所有基本事件中排除没有合格和只有人合格的情况，
由题意得：
没有合格的概率为：，
只有  人合格的概率为：


，
所以  人中至少有  人合格的概率为 ．
 人中恰好只有  人合格，则其概率为：

． 

【解析】根据对立事件求出答案即可；
根据相互独立事件求出满足条件的概率即可．
本题考查了相互独立事件，考查概率加法，乘法公式以及对立事件，是基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由函数的解析式可得：，
令，得，．
与的变化情况如下：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为和．
Ⅱ由Ⅰ可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在区间上的最大值为，
在区间上的最小值为，
因为，且，
所以在区间上的最小值为． 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值的方法等知识，属于基础题．
Ⅰ首先求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；
Ⅱ结合Ⅰ中函数的单调性分别确定函数的最大值和最小值即可．
 

20.【答案】Ⅰ解：函数的定义域为，
且，
因为，，
故所求的切线方程为，即．
Ⅱ证明：由Ⅰ可知为上的增函数．
因为，
所以存在唯一的，使．
从而有，
因为时，；时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以．
所以． 

【解析】Ⅰ首先求得导函数的解析式，然后分别确定切点坐标和切弦的斜率即可求得切线方程；
Ⅱ首先确定函数的单调性，然后结合函数的零点所在的区间进行恒等变形，最后利用基本不等式的结论即可证得题中的不等式．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：Ⅰ因为抛物线顶点在原点，对称轴为轴，且经过第四象限，
设抛物线的方程为，
又抛物线经过点，
所以，解得，
于是抛物线的方程为．
Ⅱ以为直径的圆与抛物线的准线相切，证明如下：
由，得，
由于，设，，
则，，
所以，，，
所以，
设以为直径的圆的圆心为，
则，即，
于是，
由于抛物线的准线的方程为，
所以圆心到准线的距离等于，
又以为直径的圆的半径为，
所以，以为直径的圆与抛物线的准线相切． 

【解析】Ⅰ依题意设抛物线的方程为，把点代入求出的值，从而得到抛物线方程．
Ⅱ联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表达出以为直径的圆的圆心的横坐标，再由弦长公式求出，进而求出半径，根据圆心到准线的距离等于半径，得到以为直径的圆与抛物线的准线相切．
本题主要考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线与圆相切的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题设，得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ由题意，设直线的方程为，
由，得，
由，解得，
设，，
则，，
时，直线的方程为，
令，则得点的横坐标为，
同理可得点的横坐标为，


，
因为，
所以，
所以为的中点，
当时，，，
直线的方程为，可求得，
所以直线的方程为，
从而，
此时，
综上，为的中点． 

【解析】Ⅰ由椭圆离心率为，且过点，列方程组，解得，，即可得出答案．
Ⅱ设，，直线的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，分两种情况：时，当时，进行讨论，坐标，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．