云南省曲靖市民族中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份云南省曲靖市民族中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第五章5.3。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．
2．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．1C．D．
4．已知，：正整数能被4整除，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．在区间上单调递增
C．的最大值为D．无最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知幂函数的图象经过点，则______．
14．已知，则______．
15．设为常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为______．
16．若实数满足，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知，且为第三象限角．
（1）求，的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知，，且，证明：
（1）；
（2）．
20．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
（2）若，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2．
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
22．（本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（1）当时，判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）讨论零点的个数并说明理由．
曲靖市民族中学2026届高一年级上学期期末考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1．D “，”的否定为“，”，故选D．
2．C 当，时，，当时，，故选C．
3．B ，故选B．
4．B 由题知命题表示正整数能被2整除，
而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出，
而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出，
故是的必要不充分条件．故选B．
5．D 因为，，所以小胡同学在下次应计算的函数值为．故选D．
6．B ，设扇形的半径为，所以，解得，所以该扇形的面积．故选B．
7．B 因为定义域为的偶函数在内单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以由可得或或解得或或，所以满足的的取值范围是．故选B．
8．A 设则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点．的图象如图所示．不妨设，所以，，，所以，即，即，所以，所以，故选A．
9．ABC 幂函数是偶函数，且在上单调递减，故A正确；
是偶函数，在上单调递减，故B正确；
是偶函数，且函数在上单调递减，函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减，故C正确；
是奇函数，故D错误．故选ABC．
10．ABD 对于A，由及不等式的性质可知，故A正确；
对于B，由及不等式的性质可知，故B正确；
对于C，若，可得，故C错误；
对于D，由及，可得，故D正确．故选ABD．
11．AC 因为，所以，即，所以，故A正确，B错误；
又，所以，，所以，故C正确，D错误．故选AC．
12．AC 因为的定义域为，又，所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，故A正确；
因为，，又，所以，故B错误；
因为是偶函数，所以的最大值即为在上的最大值．
当时，，当且仅当时等号成立，所以，故C正确，D错误．故选AC．
13．4 ，故，所以．
14． ．
15． 由对一切成立，有，可得．
当时，（当且仅当时取等号）．又由，有，可得，
综上所述：的取值范围为．
16．1 令，易知为单调增函数，，有且仅有一个零点，又由题可知，即，所以，，，．．
17．解：（1）因为，，所以，
又为第三象限角，所以，
所以；
（2）．
18．解：（1）为幂函数且在上单调递增，解得；
（2）由（1）知，，当时，，即；
当时，，即，
，
解得，即实数的取值范围为．
19．证明：（1），
因为，，，则，当且仅当时等号成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，当且仅当时等号成立，
所以．
20．解：（1）令，解得，则的定义域为．
因为，
所以为奇函数；
（2），即．
因为．
令，易得在上单调递增．
当时，在上单调递减，则，解得；
当时，在上单调递增，则，解得．
综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是．
21．解：（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，；
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，
有，
则当，即万元时，的最大值为，
所以当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元．
22．解：（1）当，且时，是单调递减的．
证明：设任意，则，
，，，，
故当时，在上是单调递减的；
（2）令，可得，令，，则，
记易知在上单调递减，在上单调递增，
，
①当时，，此时，，无零点，故无零点；
②当时，恰有一个零点，故有一个零点；
③当时，时，令，得；时，，故在上有一个零点，因此，当时，有2个零点，有2个零点；
④当时，时，；时，，因此，当时，有一个零点，即有一个零点．
综上所述，当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有2个零点．