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云南省曲靖市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(Word版附解析)
展开这是一份云南省曲靖市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容,欢迎下载使用。
考生注意:
1.满分150分,考试时间120分钟.
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围:人教A版必修第二册、必修第二册.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知,且为纯虚数,则z在复平面内对应的点位于( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量,,.若与垂直,则实数的值为( )
A. B. C. 3D.
5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内随机捞出70条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是( )
A. 2800B. 1800C. 1400D. 1200
6. 已知一组数据丢失了其中一个大于3数据,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失的数据可能是( )
A. 5B. 12C. 18D. 20
7. 已知函数,则当时,函数零点个数为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
8. 如图所示,在四棱锥中,底面,且底面为菱形,是上的一个动点,若要使得平面平面,则应补充的一个条件可以是
A. B. C. D. 是棱的中点
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是( )
A. 某种福利彩票的中奖概率为,那么买1000张这种彩票一定能中奖
B. 随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”,指的是该市气象台专家中,有认为明天会降水,30%认为不降水
10. 已知函数(,,,)的部分图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图像
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上文字写成公式,即(S为三角形的面积,a,b、c为三角形的三边).现有△ABC满足,且△ABC的面积,则下列结论正确的是( )
A. △ABC的最短边长为4B. △ABC的三个内角满足
C. △ABC的外接圆半径为D. △ABC的中线CD的长为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知,则的最小值为______.
13. 某幼儿园一名小朋友过生日,幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子,其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具,另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物,则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______.
14. 已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为,则该四棱锥外接球的表面积为_______.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.
(1)求角A;
(2)若,,求的面积.
16. 已知定义在上函数).
(1)若函数是偶函数,求实数的值;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;
(2)已知样本中分数小于40学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)根据该大学规定,把百分之15的学生划定为不及格,利用(2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考.
18. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群,并向该群发红包,每次发红包的个数为1个(小王自己不抢),假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同.
(1)若小王发2次红包,求甲恰有1次抢得红包的概率;
(2)若小王发3次红包,其中第1,2次,每次发5元的红包,第3次发10元的红包,求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率.
19. 如图,四棱柱中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,E为中点,.
(1)求证:平面;
(2)求点C到平面的距离;
(3)在上是否存在点M,满足平面?若存在,求出AM长,若不存在,说明理由.高一期末卷(一)
数学
考生注意:
1.满分150分,考试时间120分钟.
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围:人教A版必修第二册、必修第二册.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性,结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由,
因此,
故选:B
2. 已知,且为纯虚数,则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用为纯虚数,可求,可得在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】因为,所以为纯虚数,
所以,解得,所以复数,
其在复平面内对应的点为,
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选:C.
3. 设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.
【详解】由对立事件一定互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,
故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件.
故选:B.
4. 已知向量,,.若与垂直,则实数的值为( )
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐标,依题意,根据数量积的坐标运算得到方程,解得即可.
【详解】因为,,所以,
又且与垂直,
所以,解得.
故选:A
5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内随机捞出70条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是( )
A. 2800B. 1800C. 1400D. 1200
【答案】C
【解析】
【分析】由从池塘内捞出70条鱼,其中有标记的有2条,可得所有池塘中有标记的鱼的概率,结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼,按照比例即得解.
【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为,
由题意,得从池塘内捞出70条鱼,其中有标记的有2条,
所有池塘中有标记的鱼的概率为:,
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼,
所以,解得,
即估计该池塘内共有条鱼.
故选:C.
6. 已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据,剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则丢失的数据可能是( )
A. 5B. 12C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】设丢失的数据为,即可求出平均数与众数,再对分和两种情况讨论,得到中位数,即可得到方程,解得即可;
【详解】设丢失的数据为,则这七个数据的平均数为,众数是3,
若,则中位数为,此时,解得;
若,则中位数为5,此时,解得.
综上所述,丢失的数据可能是4,18.
故选:C.
7. 已知函数,则当时,函数的零点个数为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解出方程的根,即可得出函数的零点个数.
【详解】当时,由,可得,解得,合乎题意;
当时,由于,由,可得,解得,合乎题意.
因此,函数的零点个数为.
故选:D.
8. 如图所示,在四棱锥中,底面,且底面为菱形,是上的一个动点,若要使得平面平面,则应补充的一个条件可以是
A. B. C. D. 是棱的中点
【答案】B
【解析】
【详解】
因为四边形是菱形,,又平面,,又平面,即有,故要使平面平面,只需或.
故选:B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是( )
A. 某种福利彩票的中奖概率为,那么买1000张这种彩票一定能中奖
B. 随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”,指的是该市气象台专家中,有认为明天会降水,30%认为不降水
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.
【详解】对于A,中奖概率为是指买一次彩票,可能中奖的概率为,
不是指1000张这种彩票一定能中奖,故A错误;
对于B,试验次数越多,频率就会稳定在概率的附近,故B正确;
对于C,某医院治疗一种疾病的治愈率为,是指一位病人被治愈的概率为,
不是说每10名患者就一定有一人被治愈,故C错误.
对于D,“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为,故D错.
故选:ACD.
10. 已知函数(,,,)的部分图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图像
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数图像求出函数解析式,然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知,,,,
,,
又,,,
对于A,,故A正确;
对于B,令,,得,,时,,故B正确;
对于C,时,令,在上递增,故C正确;
对于D,把的图像向右平移个单位长度,得函数表达式为,它是偶函数,故D错误.
故选:ABC.
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上文字写成公式,即(S为三角形的面积,a,b、c为三角形的三边).现有△ABC满足,且△ABC的面积,则下列结论正确的是( )
A. △ABC的最短边长为4B. △ABC的三个内角满足
C. △ABC的外接圆半径为D. △ABC的中线CD的长为
【答案】AB
【解析】
【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算,常用向量处理△ABC的中线:.
【详解】因为,所以由正弦定理可得,设,,,因为,所以,解得,则,,,A正确;
因为,所以,,故B正确;
因为,所以,由正弦定理得,,C错误;
,所以,故,D错误.
故选:AB.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知,则的最小值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用配凑法,结合基本不等式计算可得.
【详解】因为,所以,
,
当且仅当,即时取等号,
故答案为:5
13. 某幼儿园一名小朋友过生日,幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子,其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具,另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物,则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先罗列出所有情况,再罗列出符合要求的情况,最后算概率即可.
【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为,
装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有
,
共10种不同方法;
恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有
,共4种不同方法,故所求概率,
故答案为:
14. 已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为,则该四棱锥外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】连接交于点 ,连接 ,则平面ABCD,易知球心O在线段上,然后在中,由求得球的半径即可.
【详解】如图所示:
连接交于点 ,连接 ,则平面ABCD,
因为正四棱锥底面边长为6,侧棱长为,
所以,
设外接球的半径为R,易知球心O在线段上,
在中,,即,
解得,
所以外接球的表面积为,
故答案为:
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.
(1)求角A;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理可得答案;
(2)利用正弦定理、余弦定理及面积公式计算可得答案..
【小问1详解】
由余弦定理可得,
因为,所以;
【小问2详解】
因,由正弦定理得,,
由余弦定理得,
解得舍去,,,
所以的面积;
16. 已知定义在上的函数).
(1)若函数是偶函数,求实数的值;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用列方程,化简求得的值.
(2)利用分离常数法求得的取值范围.
【详解】(1)由于是偶函数,所以,
即,
两边乘以得,故.
(2)由得,
两边乘以得对恒成立,
由于,所以,
故当、时有最小值为,
所以.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;
(2)已知样本中分数小于40学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)根据该大学规定,把百分之15的学生划定为不及格,利用(2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考.
【答案】(1)160 (2)20
(3)55分
【解析】
【分析】(1)根据直方图先求分数不小于70的频率,然后得到分数小于70的频率,然后可得;
(2)先计算分数不小于50的频率,结合已知再求分数在区间[40,50)内的人数,然后可得频率,再由频率估算可得;
(3)根据百分位数的概念可得.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4=160.
【小问2详解】
根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
【小问3详解】
设分数的第15百分位数为x,由(2)可知,分数小于50的频率为=0.1,分数小于60的频率为0.1+0.1=0.2,所以x∈[50,60),则0.1+(x-50)×0.01=0.15,
解得x=55,所以本次考试的及格分数线为55分.
18. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群,并向该群发红包,每次发红包的个数为1个(小王自己不抢),假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同.
(1)若小王发2次红包,求甲恰有1次抢得红包的概率;
(2)若小王发3次红包,其中第1,2次,每次发5元的红包,第3次发10元的红包,求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率;
(2)根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率;
【小问1详解】
记“甲第i次抢得红包”为事件(,2),“甲第i次没有抢得红包”为事件.
则,.
记“甲恰有1次抢得红包”为事件A,则,
由事件的独立性和互斥性,得
.
【小问2详解】
记“乙第i次抢得红包”为事件(,2,3),“乙第i次没有抢得红包”为事件.
则,.
由事件的独立性和互斥性,得
;
;
.
∴.
即乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率为.
19. 如图,四棱柱中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,E为中点,.
(1)求证:平面;
(2)求点C到平面的距离;
(3)在上是否存在点M,满足平面?若存在,求出AM长,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2);
(3)存在,.
【解析】
【分析】(1)连交于点F,连EF,由中位线定理以及线面平行的判定证明即可;
(2)连交EF于点N,由题可得,进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍,然后根据等积法即得;
(3)由线面垂直的性质证明,作,垂足为M,由线面垂直的判定证明平面,最后得出AM的长.
【小问1详解】
连交于点F,连EF,
∵是菱形,
∴F是中点,又∵E是中点,
∴,又∵平面,平面,
∴平面;
【小问2详解】
连交EF于点N,棱柱中是平行四边形,且E,F分别为,中点,
∴,又平面,
∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍,
∵菱形中,,又,
∴,,,
又平面ABCD,平面ABCD,
∴,又,
∴,∴,
因为,,,
∴面积为,的面积为,
由得,其中h是到平面的距离,
∴,
∴点C到平面的距离为;
【小问3详解】
∵平面ABCD,平面平面ABCD,
∴平面,∵平面,
∴,
∵菱形,,,平面,
∴平面,又平面,
∴,
在中,过F作,垂足为M,
又,平面,
所以平面,
∴存在M满足条件,
在中,,,F是中点,
∴,
∴.
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