微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

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1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2024·安徽安庆·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）
当时，，其定义域为，
，
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）方法1：由条件可知，于是，解得．
当时，，
构造函数，，
，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可．
，
令，则，
所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是．
例2．（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点．
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，则，又，
所以在点处的切线，
代入点得，解得；
则，设
则，令，得，令，得，
所以，即在上恒成立，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间；
（2）由（1）得
在区间上恒成立，即，
令，则，即，
只需要，也就是在上恒成立，
令，则，
令得，令得，
故，所以，
即正实数的取值范围是.
例3．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，又，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
则在区间内存在，，使得，
等价于在区间内存在，使得，
等价于在区间内存在，使得，
等价于在区间内，的最大值不小于，
不妨令，
①当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，符合题意；
②当，即时，在和上单调递增，在上单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，，，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上可得的取值范围为.
例4．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若，，使得，
①求的单调区间；
②求的取值范围.
【解析】（1）时，，
，
又，，
所以，即.
（2）①由题可得，
令，可得，，，
当时，，
当时，，
所以的递增区间为，；递减区间为，.
②由题可得，由（1）得在上递增，上递减，
，，所以.
由题可得，由可得，
所以在上递减，在上递增.
若，即，则在单调递增，，
则，所以.
若，即，则在单调递减，
所以，所以无解.
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
所以或，则，且，
解得.
综上所述，的取值范围为.
例5．（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
又，则，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增.
即的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由（1）可知在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时在区间上恒成立，
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.
例6．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.
【解析】（1）由，得，
即在上单调递减，又，
当且x无限趋近于0时，趋向于正无穷大，
即的值域为，且函数在上单调递减，
对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为，
即，则都存在唯一的实数，使得，
即存在源数列；
（2）（i）恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，则，
令，则，仅在时取等号，
即在上单调递减，故，即在上单调递增，、
故，故；
（ii）由（i）得，故，即，
故，
当时，，
当时，，
即前项和.
例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）
函数的定义域为，
，
当时，，
解不等式，有或，令得，
故函数的增区间为、，减区间为.
（2）若，则，由可得，由可，
此时，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
所以，必有.
又由，可得.
又由，不等式可化为，
设，
有，
当且时，，，可得，
当且时，，，可得，
当时，函数在上单调递增，
故存在正数使得.
若，有，，有，
与矛盾，可得，
当时，；当时，，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，
有，
又由，有，
有，有.
又由，有，可得，
有，可得，
构造函数，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
由及可得，可得，
若，则实数的取值范围为.
【过关测试】
1．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.
令，则.
设，则.
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，.
①若，当时，在上单调递增，
则，所以，所以，
②若，则，又当时，，
所以，使得，即.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
所以，所以.
由，
令函数，则当时，，
所以，所以.
综上，实数的取值范围是.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若的零点也是其极值点，求；
(2)若对所有成立，求的取值范围．
【解析】（1），，
若，则，在单调递减，无极值点，不合题意；
若，，则
故在上单调递减，在上单调递增，
故
因为的零点也是其极值点，则，
设，，
则故在上单调递增，在上单调递减，
且易知，故有唯一解.
此时的零点和极值点均为0，符合题意；故.
（2）首先注意到，
，，
①若，则在时恒成立，故单调递减，
则对所有，，不满足题意，故舍去；
②若，则
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不满足题意，故舍去；
③若，则在时恒成立
所以在上单调递增，则对所有，，
符合题意，该情况成立．
综上所述，的取值范围是．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由于，故，切点为，
，
所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为．
（2）令，则，
所以为R上单调递增函数，
因为，所以时，时，，
所以在单调递减，在单调递增．
若对于任意，都有恒成立，即只需．
因为在单调递减，在单调递增，
所以的最大值为和中最大的一个，
所以，
设，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
，故当时，．
当时，，则成立．
当时，由的单调性，得，即，不符合题意．
当时，，即，也不符合题意．
综上，的取值范围为.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，
在上单调递增又，
的值域是.
（2）方法一：①当时，
，
②当时，
，
在上单调递增，成立.
③当时，
令，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
，
使得当时，故在上单调递减，
则，
④当时，
令，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
，即在上递增，则成立.
综上所述，若函数恒成立，则.
方法二
当时，成立，当时，成立，
当时，恒成立，
令，则，
又，
令，
，
当时，，
，
在上单调递增.
，
，故，
，又，
，故.
5．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
当时，，，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由（1）得，
因为，所以由，得，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
6．（2024·陕西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，知的定义域为.当时，，
求导，得，
又，所以由，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）恒成立，即恒成立，
即恒成立.
当时，因为，所以恒成立；
当时，令，
则，
显然不恒成立；
当时，由，得.
令，则，
令，得，令，得且，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，
显然当时，在上也成立.
综上所述，实数的取值范围为.
7．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）若，则，，故，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）恒成立，即，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
8．（2024·江苏·模拟预测）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
【解析】（1）在上有变号零点，
即在上有变号零点.
①若，即时，只需矛盾，
②若，即时，只需故的取值范围为.
（2）①，
先证右边，证，令
证：，令，
在上单调递增，
再证左边证：，令证令
在上单调递减，，证毕!
②时，关于单调递减
，
设，
当时，，；
当时，，，
在上单调递增，上单调递减，，
所以当时，.
9．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数R.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，对任意均有不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，.
故.
令，得，令，得，
令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题设知，时，不等式对任意恒成立.
故有.
令，
，
又，故，
因此在上单调递减.
所以，其中.
令，.
则
.
故时，.故在区间内单调递减.
因此.
由恒成立知，故的取值范围是.
10．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，．
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）函数，定义域为，
时，，，
令，则，
当，，单调递减；当，，单调递增，
所以，则对于任意恒成立，
所以函数单调递增区间为，无递减区间，
由函数图像的平移可知，函数的单调递增区间为，无递减区间.
（2）当时，恒成立等价于在上恒成立，
设，则，
，
则图像为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当时，，在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
在上单调递增，又，在上恒成立，满足题意；
当时，，，
所以方程有两个相异实根，设为，且，则，
当时，，，在上单调递减，
又，故当时，，
所以在上不恒成立，不满足题意.
综上，的取值范围为．
11．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）因为，且，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增；
不妨令，
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，
所以，此时符合题意；
当，即时，在和单调递增，在单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上:的取值范围是.
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意有解，求的取值范围.
【解析】（1），得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）对任意即，
设，，
①当时，单调递增，单调递增，，成立；
②当时，令单调递增，单调递增，，成立；
③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.
综上，.
13．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【解析】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
14．（2024·山西吕梁·一模）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合．
【解析】（1）由题意得， 所以，
又因为 ，则切线方程为，
即.
（2）由题意得对任意，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，且，，
所以存在使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，不合题意；
当时，，单调递增，且，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，符合题意；
当时，得在上单调递增，
又，
所以，在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
当时，，单调递增，，不符合题意，
综上，正实数的取值集合为.
15．（2024·陕西西安·一模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，当时，，
故切点为，设切线斜率为，，
则，故切线方程为.
（2）若不等式恒成立，
则恒成立，
化简得，定义域为，
故，化简得，令，
而，令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则最小值为，显然，故令，
则，化简得，设，而，
令，，令，，
故在单调递增，在单调递减，
则，故.
16．（2024·广东广州·一模）已知函数，其导函数为.
(1)若在不是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数a的最小整数值.
【解析】（1）；
因为在不是单调函数，所以在上有变号零点；
因为恒成立，令，则在上有变号零点；
因为，所以在单调递增，
因为，当的值趋近正无限大时，趋近于正无限大，a为待定的参数，
故趋近于正无限大，故只需，即，
所以实数的取值范围是.
（2）（法一）令，
因为在恒成立，所以在单调递减，
所以，
所以在恒成立，即为在恒成立，
令，
则
，
令，则在恒成立，
所以在上单调递减；
因为；
所以有唯一零点，且
当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减；
所以；
所以实数的最小整数值为.
（法二），
由（1）得，当时，在上单调递增，
所以成立.
当时，存在，使得
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，
令得；
解之得.
综上，，
所以实数的最小整数值为.
17．（2024·云南曲靖·一模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．
【解析】（1）由题，函数的定义域为，
则，，
由于曲线在点处的切线与直线垂直，
则，所以，
解得，.
（2），
故当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）依题知，当时，恒成立，
即恒成立，
化简为，
设，
则，
当时，恒成立，
故在单调递增，
此时不符合题意；
当时，，
令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减，
则恒成立，
化为，
设，
则恒成立，
则在上单调递增，
又，且，，
故的最大值为.
18．（2024·云南昆明·一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
，
①当时，令，得，则当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，得或，
ⅰ）当时，则当或时，，
当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
ⅱ）当时，当时，，所以在上单调递增，
ⅲ）当时，则当或时，，当时，，
所以 在和上单调递增，在上单调递减，
（2）当时，令，则，
时，，则，
故，则，
故当时，，
所以当时，，解得，
由（1）可知，当时，在上的极小值为，
由题，则有，解得，
当，解得，
①当时，，，符合题意，
②当时，，，符合题意.
综上，当时，恒成立.
19．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，其中．
(1)若，求证：在定义域内有两个不同的零点；
(2)若恒成立，求的值．
【解析】（1）时，，
①时，由于均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，又，，
所以，使得，即在上有且仅有1个零点；
②时，知在上单调递减，
即，所以，
所以在上没有零点；
③时，，所以，
即在上单调递减，又，，
所以在上有且仅有1个零点；
综上所述，在内有两个不同的零点，.
（2）令，
由于恒成立，且，同时在上连续，
所以是的一个极大值点.
因为，所以，即，
下面证明时，在上恒成立，
由（1）知，时，，当故在上单调递增，在上单调递减；
所以，又，
故恒成立.
20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数的导函数为.
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）证明：由题意知的定义域为，且，
令，则，
所以（即）在上单调递增，
又
所以在上有唯一零点，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且只有一个极值点.
（2）恒成立，
即恒成立，
即恒成立，即恒成立.
令，则，所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，解得，
即实数的取值范围为.