微专题12 导数解答题之证明不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

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利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
【解析】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
【解析】（1）由题意可得，所以，
的定义域为，
又，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
（2）由，得，设，
，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又，，且当趋近于正无穷，趋近于，
的图象如下图，
所以当时，方程有两个根，
证明：不妨设，则，，
设，
，所以在上单调递增，
又，所以，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，所以，
故.
例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数，曲线在原点处的切线为x轴，
(1)求a的值；
(2)求方程的解；
(3)证明：
【解析】（1）因为，所以，
因为曲线在原点处的切线为轴，所以，即.
（2）由（1）知
所以方程可化为，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以在上有唯一零点，
所以方程有唯一解.
（3）要证，即证，即证
下证，
由（2）中单调递增且，得，
所以；
故可得证.
例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若为的导函数，设．证明：对任意，．
【解析】（1），
，
函数在点处的切线方程为：.
（2）函数的定义域为，
令，
当时，，故在单调递减，
，
当时，单调递增,
当时，单调递减,
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3），
令，
当时，单调递增；当时，单调递减，
，
令，
当时，单调递增，故，
，，
.
例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数.
(1)若，求证：当时，
(2)若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【解析】（1）时，
则，故在单调递减，
故，故时，，
（2）（i），
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于故，
因此，
故.
例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
又，所以，即，
所以在点处的切线方程为，即；
（2）证明：设（），则，
，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
恒成立，
由可知，
所以（），
设（），则，
，
所以当时，，单调递增，，
所以单调递增，，
所以．
例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
【解析】（1）
由函数，可得，
因为在R上单调递增，可得在R上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以当时，函数取得极大值，最大值，所以，
即实数a的取值范围为.
（2）当时，，可得
可得，要使得，只需使得，
当时，令，可得，
所以在上单调递增，
又由，所以，所以在上单调递增，
所以；
当时，可得且，所以，满足；
当时，可得，因为且，
所以，所以，
综上可得，对于，都有.
例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时，
【解析】（1），，
当时，易知，所以函数在R上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在R上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，，
，令，，
则，所以在上单调递增，
当时，，又，
有，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又，
所以存在，使得，即，
，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上，当时，成立.
例9．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【解析】（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【过关测试】
1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数是的导函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有唯一零点.
①求实数的取值范围；
②当时，证明：.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，恒成立，此时的单调递增区间是，无单调递减区间，
当时，令得；令得；
此时单调递减区间为；单调递增区间为，
综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，
当时，单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①法一；
当时，没有零点，不符合题意；
当时，由（1）知函数在单调递增，
因为，
取，则，
又，故存在唯一，使得，符合题意；
当时，由（1）可知，有唯一零点只需，
即，解得，
综上，的取值范围为.
法二：
当时，没有零点，不符合题意；
由，得到，
令，则，
当时，，则在区间单调递增，
当时，，则在区间单调递减，
又，，
所以或，
即或，
综上，的取值范围为.
②由①得出，
令，则，
令，则恒成立，
所以单调递增，又，
故当时，，则在区间上单调递减，
当时，，则在区间上单调递增；
故，所以，
要证，只需证明，
即证，
由
，
所以成立，故不等式得证.
2．（2024·江西上饶·一模）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根．
(1)求的取值范围：
(2)①证明：对任意的都有；
②求证：．
【解析】（1），，，，
在上为增函数，在上为减函数
，，当时，，且时，．
故函数的图象如下：
因为方程有两个不同的实数根，
所以；
（2）（ⅰ）记，，
则，，设，
则，
在上为减函数，
，，
存在，使得，
时，；时，，
在上为增函数，在上为减函数，
又，，；
（ⅱ）不妨设，则，
由（1）知，又，，
.
要证，
只要证
，
记，，
，
在上为增函数，，
成立，
成立.
3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
【解析】（1），
令，则，
若，则，从而，所以即在定义域内单调递增，
若，则当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数.
（2）不妨设，
则，
由（1）可知若，则在上是减函数，在上是增函数.
从而，
即在上是增函数，
从而，也就是说当时，.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的反函数为，令
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)证明：.
【解析】（1）由函数的反函数为，
则，可得，
所以，
所以曲线在处的切线的方程为，
即．
（2）证明：由（1）可知，显然为上的增函数．
因为，
所以存在唯一的，使．
可得，即，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当且仅当时，等号成立，而，
所以．
5．（2024·广东广州·一模）已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）函数，，求导得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.
（2）证明：当时，令，
求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，在上单调递增，
因此，所以.
6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数，当时，有极大值.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；
（2）由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）
当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即．
（2）当时，显然，不等式，
令函数，求导得，
显然函数在上单调递增，，
因此函数在上单调递增，于是，即，
所以当时，不等式成立．
8．（2024·高三·浙江·开学考试）设.
(1)若，求；
(2)证明：；
(3)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可知：
（2）证明：先证当时，.
令，则在时恒成立，
在上单调递增，，
即当时，.
要证，只需证明，即证
令，，
则.
（或，当且仅当时等号成立，）
而，则，，
在在上单调递增，，
即
当时，.
（3）令，，则，，
令，则在上单调递减，，，
而，在上递减，在上递增
的值域为
（i）当，即时，恒成立，所以在递增，
，符合题意；
（ii）当，即时，，
存在使得
当时，，递减，此时，不符题意.
综上知，.
9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）当时，，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
（2）（法一）当时，
由（1）可知，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）
（法二）当时，
令，可知
于是在单调递减，在单调递增，
因此，（当且仅当时取得等号）．
令，则由（1）知：故在单调递增，
因此．所以．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明.
【解析】（1）当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（2）的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（3）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即.
11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在上的函数.
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），
为单调递增函数，
当时，恒成立，即恒成立，
令，则，
在上单调递减，
，
，即实数的取值范围为；
（2）只需证明：当时，恒成立，
即证当时，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，
为单调递增函数，
当时，，
即当时，，
为单调递增函数，
当时，，
即当时，，
当时，，
当时，，
即当时，.
12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数，的导函数为.
(1)当时，解不等式；
(2)判断的零点个数；
(3)证明：.
【解析】（1）当时，
，
所以，所以，
所以不等式的解集为.
（2）函数的定义域为，.
令，则，
所以在区间上单调递增.
又因为，，
所以存在使得，
所以在区间上有且只有一个零点.
（3）证明：由（2）知，当时，，
在上单调递减，
当时，，
在上单调递增，
所以.
因为，所以，.
所以
，
所以.
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）
因为，所以，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，由，得，函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减.
综上，当时，在R上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）要证，即证，，
即证，，
设，，
故在上单调递增，又，所以，
又因为，所以，
所以，
①当时，因为，，所以；
②当时，，
令，则，
设，则，
因为时，单调递增，所以，
所以即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，
.
综上可知，当时，，
即.
14．（2024·天津河东·一模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值；
(3)函数，证明：．
【解析】（1）
，，切线斜率为
故切线方程为，即.
（2） ，令，可得，
当，；，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数的最小值.
（3），由①
欲证明，只需要，
令，
令
在区间上单调递增，则，故；
则在区间上单调递增，只需证明，
由①可知，
由（2）可知，
只需证明，
化简为：成立即可，令，
则在区间上单调递增，
故，所以得证.
15．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
【解析】（1）
，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
（3）当时，，即证明不等式，
设，，，
设，，，
所以在单调递增，并且，，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则在区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，
所以，即.
16．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当，时，求证：．
【解析】（1），
，
在上单调递减，
的最小值为.
（2）令，则.
在上单调递减，
，
又，，
，
又由（1）知，，
.
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)若，证明：．
【解析】（1）由于，则，
令，则；令，则；
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
则；
（2）证明：由题意知，则，故，
当且仅当，即时取等号，由于，而，
故等号取不到，，故，
要证明，只需证，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
故，即；
故只需证明，即证，
令，，
由（1）知，故，
即在上单调递增，则，
故，即成立，故原命题得证.
18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是自然对数的底数，.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，证明：；
(3)证明：若，则.
【解析】（1）因为定义域为，所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
又，
由零点存在性定理可知在区间和上各存在一个零点，
所以有两个不同零点.
（2）当时，，由，得，
令，则，
当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，
所以，而，且，
所以，即.
（3）由已知，即，
因为，令为开口向上的二次函数，对称轴为，
令，所以，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，
即，故在区间上单调递增，
所以，
从而只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证.
19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是，或．
当时，，当时，，
当时，，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是，或；
（2）当时，我们需证，
设，注意到，
，令得，
即，是的一个极值点．
令，则，
所以单调递增．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
所以在处取得极小值，
即恒成立，．
伯努利不等式对得证．
（3）当时，原不等式即，显然成立．
当时，构造数列：，
则，
若，由上式易得，即；
若，则，所以，
故，
即此时也成立．
所以是一个单调递增的数列（），
由于，所以，
故原不等式成立．
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：；
(3)若且，求证：．
【解析】（1）的定义域为，，
记，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，即，
所以在区间上单调递减．
（2）法一：先证，记，
则，
记，则，所以时，递增；
时，递减．
所以，所以，又，所以，故．
再证，即证，记，
则，
记，则，所以在递增，
所以，所以，即，
所以.
法二：构造函数，
当时，单调递增，，所以，
构造函数，
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以，即，即成立．
所以，
所以，
则只需证明，即，而显然成立，
所以．
（3）法一：由（2）知的最大值为0．
因为且，则之中至少有一个大于1，
不妨设，则，由（1）可知为减函数，所以，
所以，
因为
，
记，则，
因为，所以，所以，所以．
法二：先证，记，
则，
记，则，所以时，递增；
时，递减．
所以，所以，又，所以，故．
所以，
因为且，
所以，
所以，所以，则．
21．（2024·江苏·模拟预测）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
【解析】（1）在上有变号零点，
即在上有变号零点.
①若，即时，只需矛盾，
②若，即时，只需故的取值范围为.
（2）①，
先证右边，证，令
证：，令，
在上单调递增，
再证左边证：，令证令
在上单调递减，，证毕!
②时，关于单调递减
，
设，
当时，，；
当时，，，
在上单调递增，上单调递减，，
所以当时，.
22．（2024·广西南宁·一模）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）由题意知，
当时，，在上单调递增，
而，当时，，与题意不符；
当时，，
由可得，在上单调递增，
此时，不符合题意；
当时，由可得，在上单调递增，
由可得，在上单调递减，
故对于任意的恒成立，符合题意；
当时，，
由可得，在上单调递减，
此时，不符合题意；
综合上述，；
（2）证明：要证，即证；
即，
则，
令，则，
则，即在上单调递增，
又，，
故，使得，即，
则，
则当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
故，
令，
则，
当时，，则，
当时，，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
由于，故时，，
故，即，
即当时，成立.