湖南省常德市津市市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省常德市津市市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年湖南省常德市津市九年级数学一模
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．一元二次方程的一次项系数为（ ）
A．B．C．3D．6
2．“明天下雨的概率为”，下列对这句话的理解正确的是（ ）
A．明天一定下雨B．明天一定不下雨
C．明天80%的地方下雨D．明天下雨的可能性很大
3．二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．一个圆锥的母线长，底面直径长，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
5．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．若将一元二次方程化成的形式，则和的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．如图所示，在平面直角坐标系中，，，四边形是正方形，把正方形绕点A顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点Q的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，为的直径，为上一点，过点作交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点，若，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是 ．
12．某公司购进了一批草莓，并对这批草莓进行了“损坏率”统计，如下表是通过随机取样后，得到的草莓“损坏率”统计表的一部分，由已知数据和图表估计草莓完好的概率为 ．（精确到）
13．如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ．
14．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为直线 ．
15．如图，与相切于点，线段交于点．过点作交于点，连接，，且交于点．若，．则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰中，一边长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
17．直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题：
(1)求证：抛物线与其关联直线一定有公共点；
(2)当时，求抛物线与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母表示）．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，给出了以格点（网格线的交点）为端点的．
(1)以点B为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出；
(2)请你求出点A在（1）中运动的路径长．
19．小明和小刚在玩扑克牌的游戏，他们从一副牌中拿出了如图所示的五张扑克牌．
(1)从一副扑克牌（包含大小王）中随机抽取一张扑克牌，抽到黑桃的概率是多少？
(2)小明从上图所示的五张扑克牌中随机抽取一张，抽到数字的概率是多少？
(3)小明先从上图所示的五张扑克牌中抽取一张，放回后小刚再抽取一张，求两张扑克牌上的数字之和小于的概率．
20．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产台电子产品的成本（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为元，材料成本（单位：元）与成正比例，人工成本（单位：元）与的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若某月平均每台电子产品的成本元，求这个月共生产电子产品多少台？
(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为（单位：元），且有（而且、均为常数），已知当台时，为元，且此时销售利润（单位：元）有最大值，求、的值（提示：销售利润销售收入－成本费用）
21．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，交延长线于点，是的切线，连接．
(1)求证：；
(2)若的半径为，当四边形为菱形时，求的长．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上一动点（直线上方），且，求点P的坐标．
23．已知，，，点是边上一点，过点作于点，连接，点是中点，连接，．
(1)如图①，线段，之间的数量关系为________，的度数为________；
(2)如图②，将绕点按顺时针方向旋转，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)若绕点旋转的过程中，当点落到直线上时，连接，若，，请直接写出的长．
参考答案与解析
1．B
解析：本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案．
解：∵，
∴，
∴其一次项系数为；
故选B
2．D
解析：本题考查概率的意义，解题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．据此可得答案．
解：“明天下雨的概率为”，说明明天下雨的可能性比较大．
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．A
解析：此题考查二次函数图象．根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．
解：由函数图象知，二次函数的图象顶点在第二象限，
∵顶点坐标为，
∴，，
∴，，
故选：A．
4．B
解析：本题考查圆锥的相关计算．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥母线长等于扇形的半径，该扇形的圆心角所对弧的弧长等于圆锥底面圆的周长．据此列式解答即可．
解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
依题意得：，
解得：，
∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故选：B．
5．C
解析：本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，即可求解．
解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，即．
故选：C．
6．C
解析：本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求解阴影面积，再利用几何概率公式计算即可．
解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形的对角线长为，面积为，
∴阴影部分的边长为，
∴S阴影cm2，
∴P（该点取到阴影部分）．
故选C
7．C
解析：本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是能够利用完全平方公式将方程进行变形．据此将方程整理后即可求出与的值．
解：∵，
∴，
∴，即，
∴可化为，
∴和的值分别为a和b的值分别为，．
故选：C．
8．C
解析：本题主要考查了坐标与图形变化，解题时需要找到点的坐标变化规律．
先根据图形判断出，，，，，再得出点的坐标变化规律，最后根据所得规律进行判断即可得到的正方形的顶点的坐标．
根据题意可知，
正方形第1次旋转结束时，
第2次旋转结束时，
第3次旋转结束时，
第4次旋转结束时，
第5次旋转结束时，
即每旋转4次为一个循环，
∵，
则的坐标为．
故选C．
9．B
解析：本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等可得，由圆周角定理可得，继而得到，，由等腰三角形的性质及垂径定理得到，，设，则，，在中，，可得 ，求解即可．掌握圆的基本性质是解题的关键．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，和都是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，．
∴的半径为．
故选：B．
10．C
解析：本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．
解：对抛物线，
当时，得：，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为、，
∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当时，解析式为，即，如图，
当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点，
把代入直线，解得：，
将直线向下平移时，有个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是．
故选：C．
11．
解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
解：关于的一元二次方程的一个根为3，设另一个根为a，
，
解得，
故答案为：．
12．
解析：本题考查频率估计概率，利用频率估计概率得到随试验次数的增多，草莓损坏的频率越来越稳定在左右，由此可估计草莓完好的概率．解题的关键是掌握：频率所求情况数与总情况数之比．
解：由图表可知，草莓损坏的频率约为，
∴（草莓完好）．
故答案为：．
13．5
解析：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出，再运用因式分解法解出（不合题意，舍去），即可作答．
解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为，
∴，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
故x的值为5．
故答案为：5
14．
解析：本题考查二次函数的性质、二次函数的图像，解题的关键是根据，可以得到和的关系，然后根据二次函数对称轴是直线，即可得到二次函数的图像的对称轴．
解：∵，，
∴，
∴，
∴二次函数的图像的对称轴为直线：.
故答案为：．
15．
解析：根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到，根据垂径定理得到的长，再根据圆周角定理发现，从而根据锐角三角函数求得圆的半径，根据全等三角形的判定定理得到，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形的面积．
解：∵与相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
16．(1)且
(2)2或
解析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）分3为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
∴≠，≥
解得：且≠；
（2）解：由题意得，①当腰长为方程的两根时，，
解得代入方程得，解得，
经验证、、符合题意；
②当腰长为时，将代入方程，解得，
代入方程得，解得，，
经验证、、符合题意；
综上所述，的值为或
17．(1)证明见解析
(2)，
解析：本题考查二次函数的性质，二次函数与直线的交点，二次函数图像上点的坐标特征，
（1）联立方程得出，整理成，根据，可得结论；
（2）根据抛物线和直线的特征即可求得；
解题的关键是掌握抛物线与直线的交点坐标的确定方法：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
（1）证明：∵抛物线与直线相交，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴抛物线与其关联直线一定有公共点；
（2）解：当时，
抛物线与其关联直线的解析式分别为：，
当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得：
，，
∴抛物线与其关联直线恒过点；
当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得：
，，
∴抛物线与其关联直线恒过点；
∴当时，抛物线与其关联直线一定经过的定点的坐标为，．
18．(1)见解析
(2)
解析：本题主要考查了作图−旋转变换，弧长的计算等知识．
（1）根据旋转的性质，可画出图形；
（2）先利用勾股定理求得的长，再根据弧长公式计算，从而解决问题．
（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由网格可得，
又∵将顺时针旋转得到，
∴点A在（1）中运动的路径长为．
19．(1)
(2)
(3)
解析：本题考查列表法与树状图法、概率公式，
（1）根据生活常识可以知道一副扑克牌中共有张牌，其中“黑桃”的共有张，根据概率公式可得答案；
（2）共有张牌，其中数字“”的有张，根据概率公式可得答案；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌上的数字之和小于的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解题的关键是掌握：随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
（1）解：一共有（种）等可能的结果，其中抽到黑桃的结果有种，
∴（抽到黑桃），
∴抽到黑桃的概率是；
（2）一共有种等可能的结果，其中抽到数字“”的结果有种，
∴（抽到数字），
∴抽到数字的概率是；
（3）列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和小于的结果有种，
∴（两张扑克牌上的数字之和小于），
∴两张扑克牌上的数字之和小于的概率为．
20．(1)
(2)或
(3)，
解析：本题主要考查二元一次方程组，二次函数与实际问题的综合运用，理解题目中的数量关系列方程是解题的关键．
（1）材料成本（单位：元）与成正比例，则设为，人工成本（单位：元）与的平方成正比例，设为，根据表格信息即可求解；
（2）设生产了台，根据（1）中的解析式即可求解；
（3）设每台电子产品的售价为（单位：元），且有（、均为常数），生产台电子产品的成本（元），销售利润＝销售收入－成本费用，由此即可列方程求解．
（1）解：材料成本（单位：元）与成正比例，则设材料成本为，人工成本（单位：元）与的平方成正比例，设人工成本为，
∴，当时，；当时，，代入得，
，解方程得，，
∴与之间的函数关系式为：．
（2）解：设生产了台，平均每台电子产品的成本元，则该月生产的成本为
∵每月生产台电子产品的成本（元）的函数关系式是，
∴当时，则，解方程得，，，
∴某月平均每台电子产品的成本元，这个月共生产电子产品台或台．
（3）解：根据题意得，，
∵，
∴，则抛物线开口向下，
∴根据顶点公式，当，有最大值，
∴化简得，
∵当台时，为元，
∴，
∴，解方程组得，，
∴，．
21．(1)证明见解析；
(2)．
解析：（）由切线的性质可得，即可证明，得到，进而得到，即可求证；
（）由菱形的性质可得，进而得为等边三角形，即得，再得到，得到，利用勾股定理即可求解．
（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴；
（2）解：如上图，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，的半径为，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
22．(1)
(2)或
解析：本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）把点、的坐标代入函数解析式求出、的值即可；
（2）先在轴上取一点，使的面积为4，求出点的坐标，再求过点平移于的直线解析式，直线于抛物线的交点即为所求．
（1）∵二次函数的图象经过，两点，
，解得
∴二次函数的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
的图象经过，两点，
，解得
∴直线的解析式为，
在y轴上取一点，使的面积为4，
可得，，
则，即，解得，
∴点C的坐标为，
如图①，②，过点C作，交抛物线于点P，则，

设直线的解析式为，将点C的坐标代入，得
∴直线的解析式为
联立
解得或
∴点P的坐标为或．
23．(1)，
(2)，；理由见解析；
(3)的长为或．
解析：（1）要求与之间的数量关系，可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；要求的度数，可根据等腰三角形的性质，进行等角代换求得；
（2）作辅助线，通过构造可求得，的度数可通过等边三角形的性质及等角代换求得；
（3）要分点落在线段上和点落在的延长线上两种情况，通过勾股定理分别求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：，；
（2）解：，；
理由：如图，取的中点，的中点，连接，，，．
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
在和中，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，是等边三角形，，
∴；
（3）解：或．
在中，∵，，
∴，
①如图，当点落在线段上时，过点作于点．
∵，∴，
在中，，，
∴，
在中，∵，，
∴，，
在中，；
②如图，当点落在的延长线上时，过点作于点．
在中，，，
∴，
∴，，
在中，．
综上所述，的长为或．
草莓总质量
损坏草莓质量
草莓损坏的频率
（精确到）
…
…
（单位：台）
（单位：元）
红桃
红桃
黑桃
梅花
方片
红桃
红桃
黑桃
梅花
方片