湖南省2024届九年级下学期中考模拟数学试卷(含解析)

这是一份湖南省2024届九年级下学期中考模拟数学试卷(含解析)，共14页。
温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
4.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．某科学家研究发现人类头发的直径是分米将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
第4题图 第6题图 第7题图
5．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8B．4.9和4.9C．4.8和4.8D．4.8和4.9
6．如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一次函数与x轴、y轴分别交于两点，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（ ）
第9题图 第13题图 第14题图
A．B．C．D．
10．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（ ）个．
A．4B．8C．10D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．分解因式 ．
13．在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米．
14．如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值为 ．
15．有下列几个数：，0，，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是 ．
16．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形．
第16题图 第17题图 第18题图
17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦，使平分．
18．抛物线的部分图象如图所示，则方程的根是 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）
19．计算：
20．先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
21．体育是湖南省中考的必考科目，现随机抽取初二年级部分学生进行“你最想选择哪个考试科日？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项（A：引体向上；B：仰卧起坐；C：立定跳远；D：实心球：E：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息完成以下问题：
(1)参加本次调查的一共有_______名学生；在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是_____；
(2)请你补全条形统计图；
(3)已知某中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
22．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度的长．（结果精确到，参考数据：，，）

23．我区启动“绿色公园”建设，计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队完成绿化的面积与乙工程队完成绿化的面积所用的时间相同，若甲工程队每天比乙工程队多绿化．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲工程队每天的绿化费用是万元，乙工程队每天的绿化费用是万元，要使这次绿化的总费用不超过30万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
24．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形：
(2)若四边形的面积为72，，求点F到线段的距离．
25．已知四边形内接于，直径于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，过点D作于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，若，，求的长．
26．已知抛物线，其中是实数．
(1)已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，抛物线与轴交于两点（点在轴正半轴），与轴交于点，抛物线的顶点的记为，
①若点在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接交于点，连接．记的面积分别为，求的最大值；
②过点的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作的垂线，交抛物线于点，过的中点作于点．求证：．
参考答案与解析
一、选择题
1．B
解析：解：2024的相反数是，
故选B．
2．D
解析：解：将用科学记数法表示为．
故选：D．
3．D
解析：A．，此项错误；
B．，此项错误；
C．，此项错误；
D．，此项正确．
故选：D．
4．D
解析：解：如图，
∵，
∴．
∵，，．
∴．
故选：D．
5．B
解析：解：视力为的出现人数为，最多，
∴众数是，
∵样本容量为，
∴中位数是第名同学的视力数据和的一半，
∴中位数是，
∴众数是，中位数是，
故选：B．
6．B
解析：解：∵的直径为，
∴ ，
∵，
∴
∴，
故选：B
7．A
解析：解：∵一次函数与x轴、y轴分别交于两点，
∴的解集为，
故选：A．
8．D
解析：解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人．
依题意得：．
故选D．
9．C
解析：延长交于点D，过点B作于点H，连结，
和是圆周角所对的弧，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：C．
10．D
解析：解：依题意有：
|x﹣2|+|y﹣1|=3，
①x﹣2=±3，y﹣1=0，
解得，；
②x﹣2=±2，y﹣1=±1，
解得，，，；
③x﹣2=±1，y﹣1=±2，
解得，，，；
④x﹣2=0，y﹣1=±3，
解得，．
故满足条件的点P有12个．
故选：D．
二、填空题
11．
解析：解：由题意知，
解得，
12．
解析：解：原式
，
13．400
解析：解：如图，周长为800米，分别为的中点，
则均为的中位线，
（米），
即水渠的总长为400米
14．
解析：解：直线与双曲线交于A，B两点，
A，B关于原点对称，则，
，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
．
15．
解析：解：，，
解一元二次方程得，
即5和是一元二次方程的根，
∴从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程的根的概率是，
16．
解析：解：、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
17．解析：即为所求；

连接交于点，连接交圆于点，连接即可．
18．或
解析：解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根是或1，
∴方程的根满足或1，
∴方程的根是或．
三、解答题
19．
解析：解：原式
20．解析：
∵， ，
∴ 当时，原式．
21．解析：（1）解：（人），．
（2）解：C组人数为（人），
B组人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该中学初二年级750名学生中最想选择“跳绳”的大约有225人．
22．解析：解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
则，
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为．
23．解析：（1）解：设乙工程队每天能完成绿化面积，则甲工程队每天能完成绿化面积．
由题意可列方程为，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
所以．
答：甲、乙工程队每天能完成绿化面积分别为．
（2）解：设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得， 得．
再由题意得，
解得：，
所以至少安排乙工程队绿化60天．
答：至少应安排乙工程队绿化60天．
24．解析：（1）∵菱形的对角线和交于点O，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）∵正方形的面积为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴菱形的面积，
∴，
∴，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
∴，
即，
∴．
即点F到线段的距离为．
25．解析：（1）证明：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，设交于点，过点作，
设，则：，
由（2）知：，
∴，
∵直径于点F，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
即：，
解得：（负值舍掉）；
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴
设的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
26．解析：（1）解：∵的顶点坐标为，
∴顶点在直线上，
当时，，
当时，，
∴顶点为，
∴抛物线为；
（2）①过点作 于点，点作 于点，如图，
的面积为 ，
的面积为 则
，
，
令，则，解得或，
∴，，
当时，，
∴
设直线的解析式为 将代入得：
，解得 ，
∴直线的解析式为，
设则直线的解析式为，
设则直线的解析式为 ，
即 ，
整理得：，
则，
，
故当时，有最大值为 ，
即 的最大值是 ；
②连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为： 将
代入求得：
故直线的解析式为：

∵直线与直线 交于点F，
∴将点的纵坐标 代入

得：解得： ，
∴
∴点的横坐标，
∴，
，
∵直线与抛物线交于两点，则，
整理得：
∴，
，
，
即点的横坐标为，
∴，
，
，
，为的中点，
，即，
，
，
在中，
，
在中，
，
即，
，
又，
，
，
∴，
即为直角三角形，
又∵ 为的中点，
∴是斜边上的中线，
．视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
5
7
10
16
12
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
D
D
D
B
B
A
D
C
D