备战2024年高考数学一轮复习5.4正、余弦定理(精练)(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学一轮复习5.4正、余弦定理(精练)(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了最值问题，几何中的正余弦定理，正余弦定理与其他知识综合运用等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，，，，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的三角形不存在
D．若，则一定是等腰三角形
题组二 最值问题
1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则当取得最小值时（ ）
A．B．C．D．20
4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
6（2022·山东）如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________
7．（2021·上海市进才中学）在锐角中，，则的取值范围为________.
8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．
9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
题组三 三角形解的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）
A．； B．；
C． D．，
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知：，，，如果解该三角形有两解，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河南·许昌高中高三开学考试）在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．
题组四 几何中的正余弦定理
1．（2022·湖南株洲·一模）如图，在四边形中，，且,．
(1)求的长；
(2)若 ，求的面积．
从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
2．（2022·山西）在中，，分别在线段上，且，.()
（1）若，求证：；
（2）设，且，求的最大值.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
4．（2022·云南）如图，△ABC中，点D在AB上且满足：，．
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，，，．
(1)求的值；
(2)若，，求CD的长．
7．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
8．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．
(1)求；
(2)求．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若且，求的大小．
10．（2022·甘肃酒泉·高三期中）在四边形中，∥，．
(1)若，求；
(2)若，求．
题组五 正余弦定理与平面向量的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点G是三角形的重心，以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则三角形是等腰三角形
C．三角形的面积等于，则
D．若，则
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值3
B．面积的最大值为
C．的取值范围是
D．若为中点，则不可能等于
5．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知是的内接正三角形，D是劣弧的中点，动点E，F同时从点A出发以相同的速度分别在AB，AC边上运动到B，C．若的半径为，则的最大值与最小值之和等于______．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形中，，对角线相交于．
（1）设，且，
（ⅰ）用向量表示向量；
（ⅱ）若，记，求的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．
8．（2022·全国·高三专题练习）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.
题组六 正余弦定理与其他知识综合运用
1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西陕西·二模）在中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的外接圆的直径为___________.
3．（2021·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当 取最大值时的余弦值为．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，且，则的值为____．
4．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点，，向量与向量的夹角为，则双曲线的离心率为___________.
5．（2022·甘肃武威）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
6．（2022·重庆一中高三阶段练习）函数，点S是f（x）图像上的一个最高点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为.
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)函数，三角形ABC的三边a，b，c满足，求g（A）的取值范围.
7．（2022·上海·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
8．（2022·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，.
(1)求的大小；
(2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，.
5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）
题组一 判断三角形额形状
1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由题意,,
则,
又，则,
由可得，即，
所以，由，知，
综上可知即的形状是等边三角形.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，
即，所以或者，所以或，
而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，
则中，这时，分母为0无意义所以，选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，整理得：
即，又因为,所以,
所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B
4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，，，，则为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，即，解得，又，故或，
当时，，为直角三角形；当时，，为等腰三角形.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于，若，由余弦定理可知，即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故错误；
对于，因为，可得，可得，设，，，，可得为最大边，为三角形最大角，
根据余弦定理得，可得为锐角，可得一定是锐角三角形，故正确；
对于，因为，可得，整理可得，由正弦定理可得，可得为直角，故错误；
对于，因为由于，整理得，
故，
由于，故，
故，，均为锐角，为锐角三角形，故正确．故选：BD．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
由正弦定理可得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，所以，解得，
因为，所以，即，
所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.
7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则符合条件的三角形不存在
D．若，则一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；
若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；
若，，，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确；
若，则，即,因为,所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC
题组二 最值问题
1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则，，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：
则，，，
在中，由余弦定理得，
，即，当且仅当时取“＝”，
而，所以时，四边形ABCD的周长取最大值，
四边形ABCD的面积.
故选：A
2．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，由，，成等差，可得，
由，得，．
由余弦定理，可得，
又，当且仅当时等号成立，即
，即，解得
所以的取值范围是．
故选：A
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则当取得最小值时（ ）
A．B．C．D．20
【答案】C
【解析】，，
由正弦定理可得
，当且仅当，即，时等号成立，
此时.故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【解析】由于为最大角，则的对边最长，则，得出.，得，由于为锐角三角形，则，，则.
即，整理得，解得. 则实数的最小值是1.故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】若是的中点，则，
在中，由余弦定理可得
即，整理得，
即，所以
在中，由余弦定理得
即，所以
若，，，由上述知
作于点E，由，知，
作于点F，
所以在边上的高为，
所以
因为，，，所以
由余弦定理得
即
当时，有最大值，即，则
所以
故答案为：，
6（2022·山东）如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________
【答案】
【解析】，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，为等边三角形，
设，则，
由余弦定理可得，
，
，
所以，四边形的面积为，
，，
所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.
故答案为：；.
7．（2021·上海市进才中学）在锐角中，，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】，利用余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，，
即，即
又为锐角三角形，，即
，，
又，
令，则
由对勾函数性质知，在上单调递增，
又，，
故答案为：
8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．
【答案】56
【解析】中，，
中，由得，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为56．
故答案为：56．
9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴
，，
∵，∴，，；
(2)∵，∴，∴，
∵△ABC是锐角三角形，∴，
同理，根据正弦定理得，
，
﹒
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由，
利用正弦定理可得：，，
∵，∴，∴；
(2)由D为的中点，∴，
∴，，
又∵，∴ ， ∴，∴，
当且仅当时，取最小值．
题组三 三角形解的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BCD
【解析】根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）
A．； B．；
C． D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，大边对大角，而a0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，即
解得或，因为，则，即．
4．（2022·云南）如图，△ABC中，点D在AB上且满足：，．
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】6.
【解析】在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
∵，
∴，即，则，即是的角平分线；
，，，
在中，由及正弦定理得，，∴，即.
若选①：．
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，csA＝，
∴＝，则，，
∴，
∴．
若选②：．
在中，设，由正弦定理得，则，
∵是的角平分线，故，
在中，由余弦定理得，
，
解得，，BC＝，
故，∴，
则．
若选③：．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
，
解得，BC＝，
则．
5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为,所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD