江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期4月第一次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期4月第一次质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知点,则向量的坐标为( )
A.B.C.D.
2．从5名学生中挑选2人,分别担任两个学科的课代表,则不同的安排方案有________种( )
A.25B.10C.20D.15
3．设m,n是实数,已知点,,在同一直线上,则的值为( )
A.10B.-10C.-15D.20
4．已知四棱锥的底面是平行四边形,E为棱上的点,且,用,,表示向量为( )
A.B.
C.D.
5．有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,在直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )
A.70个B.80个C.82个D.84个
6．的二项展开式中系数最大的项为第______项( )
A.2B.3C.4D.2或3
7．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏,具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营,将､车､马､炮､兵等均为象棋中的棋子,现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列,则下列说法不正确的是( )
A.共有120种排列方式
B.若两个“将”相邻,则有24种排列方式
C.若两个“将”不相邻,则有72种排列方式
D若同色棋子不相邻,则有12种排列方式
8．的展开式中的常数项为( )
A.120B.80C.60D.40
二、多项选择题
9．甲箱中有2个白球和4个黑球,乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,以,分别表示由甲箱中取出是白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以B表示从乙箱中取出的是白球,则下列结论正确的是( )
A.B.C.,互斥D.
10．如图,已知正方体的棱长为1,P,Q,R分别在,,上,并满足,G为的重心.设,,.下列说法正确的是( )
A.
B.
C.是锐角
D.当时,a的取值范围是
11．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人,用二进制记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进,例如：自然数1在二进制中就表示为1,2表示为10,3表示为11,7表示为111,即,,其中,或,记为上述表示中0的个数,如,．则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.
D.1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个
三、填空题
12．已知n为正整数,且,则___________________.
13．三棱锥中,,,两两垂直,,点M为平面内的动点,且满足,记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．
14．设a、b、m为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为;已知,,则满足条件的正整数b中,最小的两位数是_____________．
四、解答题
15．如图在边长是2的正方体中,E,F分别为AB,的中点.
（1）求异面直线EF与所成角的大小.
（2）证明:平面.
16．某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选,求不同的选法总数;
（2）若至多有3名女团员当选,求不同的选法总数;
（3）若既要有组长当选,又要有女团员当选,求不同的选法总数.
17．如图,在四棱锥中,平面,,,,,点E为的中点.
（1）证明：平面;
（2）求点B到直线的距离;
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,M是线段的中点．
（1）求证平面;
（2）求二面角的大小;
（3）试在线段上一点,使得与所成的角是60°．
19．组合数有许多丰富有趣的性质,例如,二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质,请帮他完成下面的探究.
(1)计算：,并与比较,你有什么发现？写出一般性结论并证明;
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,,所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：从5名学生中挑选2人,分别担任两个学科的课代表,
共有种安排方案.
故选：C.
3．答案：B
解析：m,n是实数,若点,,在同一直线上,
则向量与共线．
,,
,,,
．
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意.
故选：A.
5．答案：A
解析：第1类：从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有种方法;
第2类：从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有种方法,
故满足条件的三角形共有个．
故选：A.
6．答案：B
解析：的展开式通项公式为,
设第项为系数最大的项,则有,解得,即.
故选：B.
7．答案：B
解析：A选项,由排列知识可得共有种排列方式,A正确;
B选项,两个“将”捆绑,有种情况,再和剩余的4个棋子进行全排列,故共有种情况,B错误;
C选项,两个“将”不相邻,先将剩余3个棋子进行全排列,共有4个空,再将两个“将”插空,故共有种情况,C正确;
D选项,将2个黑色的棋子进行全排列,共有3个空,再将3个红色的棋子进行插空,则有种排列方式,D正确.
故选：B.
8．答案：A
解析：展开式的通项公式为,
而,
对于,令,易知无整数解,所以其展开式中无常数项;
对于,由,解得,常数项为;
对于,令,解得,常数项为．
故的展开式中的常数项为.
故选：A．
9．答案：BCD
解析：由题意,,所以,A不正确;
从甲箱中取出一个白球放入乙箱,则乙箱有5个白球和2个黑球,所以,B正确;
由互斥事件的概念可知,,互斥,C正确;
,D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABC
解析：由题意,,
所以,A正确;
,
因为G为的重心,所以
,
,B正确;
,
,
因为,且不共线,所以是锐角,C正确;
,
,
若,则,,
由于上式恒成立,即任意时,都有,D不正确.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于选项A：
, 12表示为1100,,
,18表示为10010,,
,故选项A正确,
对于选项B：
,转化为二进制后末尾必为0,
又,
转化为二进制后末尾必为1,
,故选项B正确,
对于选项C：当时,,,
,,
,故选项C错误,
对于选项D：当时,有1个,
当时,有个,
当时,有个,
当时,有个,
当时,有个,
则一共有个,故选项D正确,
故选：ABD．
12．答案：5
解析：由,根据排列数和组合数的公式,可得,解得.
故答案为：5.
13．答案：
解析：因为,,两两垂直,且,所以由勾股定理可知,
所以三棱锥为正三棱锥,记P在底面内的投影为O,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以M的轨迹是以O为圆心半径为的圆,
取中点D,连接,可知经过点O,建立如下图所示的空间直角坐标系：
设,,,,,
所以,,
所以,
设直线与直线的所成角为.
所以
故答案为：.
14．答案：13
解析：根据组合数的计算公式有
=
=
故.
故答案为：13.
15．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：据题意,建立如图坐标系.于是:
,,,,,
,,,.
（1）,
异面直线EF和所成的角为.
（2）
,即
,
即.
又,平面且
平面.
16．答案：（1）2079种
（2）2534种
（3）2058种
解析：（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长,故共有种.
方法二：至少有一名组长可以采用排除法,有种.
（2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故共有种.
（3）既要有组长当选,又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选,有种;第二类：女组长不当选,男组长当选,从剩余7名男团员,5名女团员中选5人,其中至少选择1名女团员,有种.故共有种.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：取的中点F,连接,,因为E为的中点,所以,
又因为且,所以且,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为平面,平面,所以平面.
（2）取的中点G,连接,因为且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以,
因为,所以,
又因为平面,,平面,所以,,
以A为坐标原点,以,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,可得,,,,则,
所以,,则,
可得,所以,
则点B到直线距离为.
（3）由（2）中的空间直角坐标系,可得,
所以,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）点P为线段的中点.
解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系：
设,连接,
则点N、E的坐标分别是、,
,
又点A、M的坐标分别是、,
,
,且与不共线,
,
又平面,平面,
平面.
（2）,,,
平面,
为平面的一个法向量,
,
,
得,,
为平面的一个法向量,
,
,的夹角是,
即所求二面角的大小是.
（3）设,,,
则,
解得或（舍去）,
所以当点P为线段的中点时,直线与所成的角为．
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）,,
规律：,证明如下：
的展开式中,的系数为,
同时,的展开式中的系数为,
所以.
（2）证明：的展开式中的系数为,
又,的展开式中的系数为
,
所以.
（3）证明：由（1）可知,
由（2）可知,
两式相减可得,
即.