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    2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学高一上学期12月联合质量检测数学试卷(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.设集合M=x−2( )
    A. 3B. 4C. 7D. 8
    2.已知函数f(x)=−sin x,x<0x12,x⩾0,则ff−π6的值为
    ( )
    A. 4B. 2C. 22D. 14
    3.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是( )
    A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型
    4.不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是
    ( )
    A. m≤−14B. m<−14C. m<−12D. −15.已知sin α+cs α=−12,则cs (π2+α)1−tan (−α)的值为
    ( )
    A. −34B. 34C. −316D. 316
    6.函数f(x)=1−2x1+2x⋅sinx−4≤x≤4的图象大致形状是
    ( )
    A. B.
    C. D.
    7.设a=160.3,b=lg23,c=lg34,则
    ( )
    A. a>b>cB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>c
    8.设函数fx=2x+a,x<14x+ax+2a,x≥1,若fx恰有2个零点,则实数a的取值范围是
    ( )
    A. −2,−12B. −∞,−2∪−1,−12
    C. −∞,−1D. −2,+∞
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列说法正确的有( )
    A. 已知角α的终边经过点P−2,4,则函数sinα−csα的值等于 55
    B. 幂函数y=xα(α>0)的图象始终经过点0,0和1,1
    C. “a>3且b>3”是“ab>9”的充分不必要条件
    D. 若函数fx=lg3x,则∀x1,x2∈0,+∞有fx1+fx22≤fx1+x22
    10.下列函数中最大值为1的有( )
    A. y=x2+14x2B. y=x+1x−3,x<3
    C. y=2exe2x+1,x>0D. y=2x 1−x2,x∈[0,1]
    11.质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动,同时出发.P的角速度大小为2rad/s,起点为圆O与x轴正半轴的交点,Q的角速度大小为5rad/s,起点为角−π3的终边与圆O的交点,则当Q与P重合时,Q的坐标可以为
    ( )
    A. cs2π9,sin2π9B. csπ9,−sinπ9
    C. −cs5π9,−sin5π9D. −csπ9,sinπ9
    12.已知x0是函数fx=ex+2x−4的零点(其中e=2.71828…为自然对数的底数),则下列说法正确的有
    ( )
    A. x0∈12,1B. ln4−2x0=x0
    C. x02−x0>1D. 2x0+1−e−x0>0
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知某扇形的周长为9,圆心角为1rad,则该扇形的面积是 .
    14.若cs5π6−θ=−23,θ∈0,π2,则sinθ+π6的值为________.
    15.已知fx是定义在R上的奇函数,且fx=−fx−2,当x∈0,1时,fx=3x−2,则flg336=_______.
    16.不等式x2−x−2四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    计算:
    (1)0.125−13+ −26+π0+sin20236π;
    (2)设2a=3b=18,求2a+bab.
    18.(本小题12分)
    设全集U=R,集合A=xx2−2x−8≤0,B=xx−2x+6≥0.
    (1)求图中阴影部分表示的集合;
    (2)已知集合C=x∣10−a19.(本小题12分)
    已知角α满足cs α+7sin α=0.
    (1)若−π2<α<0,求sin α,cs α的值;
    (2)若角β的终边与角α的终边关于x轴对称,求sinβ−3csβ2sinβ+csβ的值.
    20.(本小题12分)
    据悉一辆城际列车满载时为550人,人均票价为4元,十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现,每辆列车的单程营业额Y(元)与发车时间间隔t(分钟)相关;当间隔时间到达或超过12分钟后,列车均为满载状态;当8≤t≤12时,单程营业额Y与4t−60t+12成正比;当5≤t≤8时,单程营业额会在t=8时的基础上减少,减少的数量为408−t2.
    (1)求当5≤t≤12时,单程营业额Y关于发车间隔时间t的函数表达式;
    (2)由于工作日和节假日的日运营时长不同,据统计每辆车日均120t次单程运营.为体现节能减排,发车间隔时间t∈8,12,则当发车时间间隔为多少分钟时,每辆列车的日均营业总额R最大?求出该最大值.
    21.(本小题12分)
    已知函数fx=lg39x+1+kx为偶函数.
    (1)求实数k的值;
    (2)设g(x)=lg3(a⋅3x+a)(a≠0),若函数fx与gx的图象有2个不同的公共点,求实数a的取值范围.
    22.(本小题12分)
    已知函数fx=12ex+e−x,gx=12ex−e−x.
    (1)利用函数单调性的定义,证明:fx在区间0,+∞上是增函数;
    (2)已知Fx=4f2x−4mfx+9,其中m是大于1的实数,当x∈0,lnm时,Fx≥0恒成立,求实数m的取值范围;
    (3)当a≥0,判断gxfx与afx+1−a的大小,并注明你的结论.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算以及集合子集个数的求解,属于基础题.
    利用集合交集的定义求出M∩N,然后利用子集个数的计算公式求解即可.
    【解答】
    解:因为集合M=x−2所以M∩N={0,2,4},
    故 M∩N的子集的个数为23=8.
    故选D.
    2.【答案】C
    【解析】【分析】本题考查求分段函数的函数值,属于基础题.
    利用分段函数解析式,由内向外逐个求解即可.
    【解答】解:因为f(x)=−sin x,x<0,x 12,x⩾0,,
    所以,所以f [f (−π6)]=f12=1212= 22.
    故选C.
    3.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查函数模型的应用,以及几种常规函数的性质,属于基础题.
    根据函数值的增加幅度进行判断即可.
    【解答】
    解:由表格中的数据可得,随着自变量x增加,函数值也在增加,但是增加的幅度越来越小,
    则最可能的函数模型是对数函数模型.
    故选D.
    4.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查充分、必要、充要条件的判断,属于中档题.
    由不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立,可得m<−14,然后根据必要不充分条件的概念逐项判断即可.
    【解答】
    解:∵不等式x2−x−m>0在x∈R上恒成立,
    ∴Δ=(−1)2+4m<0,解得m<−14,
    结合选项可知该条件的一个必要不充分条件是A.
    故选A.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查诱导公式,同角三角函数间的基本关系,属于中档题.
    根据sinα+csα=−12,求出sinαcsα的值,然后化简所求式子,整体代入即可得解.
    【解答】解:sinα+csα=−12①,
    所以(sinα+csα)2=14,
    即sin2α+cs2α+2sinαcsα=14,
    故sinαcsα=−38.
    则cs (π2+α)1−tan (−α)=−sinα1+tanα=−sinαcsαcsα+sinα=−(−38)−12=−34,
    故选:A.
    6.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了函数的奇偶性,函数图象的识别,属于基础题.
    利用偶函数定义得f(x)为偶函数,排除B与D,再利用指数函数和正弦函数性质得当x∈(0,π2)时,f(x)<0,排除A,从而得结论.
    【解答】
    解:因为函数f(x)的定义域为−4,4,
    且f(−x)=1−2−x1+2−x⋅sin(−x)=−2x−12x+1⋅sinx=f(x),
    所以f(x)为偶函数,因此排除B,D ;
    又因为当x∈(0,π2)时,2x>1,所以1−2x1+2x<0,
    而sinx>0,因此f(x)<0,所以排除A,故选C.
    7.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查利用指数函数和对数函数的图象与性质比较实数的大小,属于基础题.
    易知a>2,b<2,利用中间值32比较b和c的大小,即可得出结论.
    【解答】
    解:因为a=160.3=240.3=21.2>21=2,lg22=1所以1,c=lg34<,
    所以a>b>c.
    故选A.
    8.【答案】B
    【解析】解:当a=0时,x<1时,f(x)=2x无零点,
    x≥1时,f(x)=4x2只有一个零点,故排除D,
    当a=−4时,x<1时,f(x)=2x−4=0,解得x=2不符合条件,
    x≥1时,f(x)=4(x−4)(x−8)=0解得x=4或x=8,
    此时f(x)有2个零点,符合条件,排除A,
    当a=−32时,x<1时,f(x)=2x−32=0,解得x=lg2 32符合条件,
    x≥1时,f(x)=4(x−32)(x−3)=0解得x=32或x=3,此时f(x)有3个零点,不符合条件,
    排除C,
    故选:B.
    特值排除法,用a=0代入排除D,用a=−4代入排除A,用a=−32代入排除C,从而得到正确选项.
    本题考查了分段函数的零点,属中档题.
    9.【答案】BCD
    【解析】【分析】
    本题主要考查任意角的三角函数定义,幂函数的图象与性质,充分条件与必要条件判断,对数函数的性质,属于基础题.
    根据任意三角函数的定义可判断A;根据幂函数的性质可判断B;根据不等式的性质及取特殊值即可判断C,根据对数运算性质及基本不等式可判断D.
    【解答】
    解:由于角α的终边上的点P的坐标为P(−2,4),则sinα=4 (−2)2+42=2 55,csα=−2 (−2)2+42=− 55,则sin α−cs α=3 55,故选项A错误;
    幂函数y=xα(α>0)的图象始终经过点0,0和1,1,故选项B正确;
    由“a>3且b>3”可得“ab>9”,而“ab>9”,取a=10,b=1,不满足“a>3且b>3”,所以“a>3且b>3”是“ab>3”的充分不必要条件,故选项C正确;
    任意的∀x1,x2∈(0,+∞),要证f(x1)+f(x2)2⩽f(x1+x22),
    即证lg3x1+lg3x22⩽lg3x1+x22,
    即x1x2⩽(x1+x22)2,
    即x12+x22⩾2x1x2,易知成立,故选项D正确.
    故选:BCD.
    10.【答案】BD
    【解析】【分析】
    本题考查利用基本不等式求最值,属于一般题.
    根据基本不等式,逐个求最值即可得出结论.
    【解答】
    解:对于A:y=x2+14x2 ≥2 x2⋅14x2=1,
    当且仅当x2=14x2,即x=± 22时取等号,所以最小值是1,没有最大值,故A错误;
    对于B: ∵x<3, ∴x−3<0,
    则y=x+1x−3=x−3+1x−3+3=−[−(x−3)+ 1−(x−3)]+3≤−2 −(x−3)⋅1−(x−3)+3=1,
    当且仅当−(x−3)=1−(x−3),即x=2时取等号,
    即y=x+1(x−3),x<3的最大值为1,故B正确.
    对于C:y=2exe2x+1=2ex+1ex ≤22 ex⋅1ex=1,
    当且仅当ex=1ex,即x=0时等号成立,但x>0,故函数取不到1,故C错误;
    对于D:因为x∈[0,1],所以y=2x 1−x2=2 x2(1−x2)≤2×x2+1−x22=1,
    当且仅当x2=1−x2,即x= 22时取等号,
    所以y=2x 1−x2,x∈[0,1]的最大值为1,故D正确.
    11.【答案】ACD
    【解析】【分析】
    本题考查终边相同的角,三角函数的定义,以及有点公式的应用,属于基础题.
    确定点Q的初始位置,由题意列出重合时刻t的表达式,进而可得Q点的坐标,通过赋值,利用诱导公式,对比选项即可得解.
    【解答】
    解:由题意,点Q的初始位置Q1的坐标为(12,− 32),锐角∠Q1OP=π3,
    设t时刻两点重合,则5t−2t=π3+2kπ,(k∈N),即t=π9+2k3π,(k∈N),
    此时点Q(cs(−π3+5t),sin(−π3+5t)),
    即Q(cs(2π9+10k3π),sin(2π9+10k3π)),(k∈N),
    当k=0时,Q(cs2π9,sin2π9),故A正确;
    当k=1时,Q(cs32π9,sin32π9),即Q(−cs5π9,−sin5π9),故C正确.
    当k=2时,Q(cs62π9,sin62π9),即Q(−csπ9,sinπ9),故D正确.
    由三角函数的周期性可得,其余各点均与上述三点重合.
    12.【答案】ABD
    【解析】【分析】
    本题考查函数的零点判定定理,涉及命题真假的判断,属于中档题.
    根据题意,依次分析选项是否正确,综合可得答案.
    【解答】解:对于A,因为函数f(x)=ex+2x−4在R上是增函数,f(0)=1−4=−3<0,f12= e−3<0,f(1)=e+2−4>0,
    由零点存在性定理可得:函数的零点x0∈12,1 ,故选项A正确;
    对于B,由f(x0)=ex0+2x0−4=0可得:4−2x0=ex0,
    两边同时取自然对数可得:ln(4−2x0)=x0,故选项B正确;
    对于C,因为x0∈12,1 ,所以2−x0>1,则有x02−x0<1,故选项C错误;
    对于D,因为x0∈12,1 ,所以2x0−e−x0+1=2x0ex0−1+ex0ex0=2x0ex0+(ex0−1)ex0>0,
    故选项D正确,
    故选:ABD.
    13.【答案】92
    【解析】【分析】
    本题主要考查扇形的面积计算,根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键.
    设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=9,l=r,根据扇形的面积公式进行求解,即可得出结论.
    【解答】
    解:设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=9,
    ∵圆心角为1rad的弧长l=r,
    ∴3r=9,则r=3,l=3,
    则对应的扇形的面积S=12lr=12×3×3=92.
    故答案是:92.
    14.【答案】 53
    【解析】【分析】
    本题主要考查诱导公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
    先利用诱导公式求得 cs (θ+π6)=23,并判断得 ,再结合同角三角函数的基本关系求得 sin (θ+π6).
    【解答】
    解:由题意得 ,
    又 θ∈(0,π2),∴ ,
    所以 sin (θ+π6)= 1−cs2(θ+π6)= 1−232= 53.
    15.【答案】−14
    【解析】【分析】
    本题考查函数函数的奇偶性、求函数值,属于基础题.
    利用fx=−fx−2可得f(lg336)=flg349 ,由奇偶性得 f(lg336)=flg349 =−f−lg349=−flg394=−3lg394−2,代入解析式求解.
    【解答】
    解:∵fx=−fx−2,lg336=2+lg34,
    ∴f(lg336)=−flg336−2=−flg34=flg34−2=flg349 ,
    ∵fx是定义在R上的奇函数,
    ∴f(−x)=−f(x),
    ∴f(lg336)=flg349 =−f−lg349=−flg394=−3lg394−2=−94−2=−14,
    故答案为−14.
    16.【答案】(0,2)
    【解析】【分析】
    本题考查利用函数的单调性解不等式,考查函数的单调性的判定,考查解不含参的一元二次不等式,属于中档题.
    不等式x2−x−20,令g(x)=lnx+x,易得g(x)在(0,+∞)上单调递增,再利用函数的单调性解不等式即可.
    【解答】
    解:不等式x2−x−2可化为:x2+lnx20)
    令g(x)=lnx+x,
    任取0则g(x1)−g(x2)=x1+lnx1−x2−lnx2=x1−x2+lnx1x2,
    因为0所以x1−x2<0,0故lnx1x2<0,
    所以g(x1)−g(x2)<0,
    即g(x1)故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
    则由x2+lnx20)
    可得x2即x2−x−2<0,
    解得−1结合x>0,
    故原不等式的解集为(0,2),
    故答案为:(0,2).
    17.【答案】解:(1)0.125−13+ (−2)6+π0+sin 20236π=0.53 −13+8+1−12=2+8+1−12=212;
    (2)∵2a=3b=18,∴a=lg218,b=lg318.
    ∴1a=lg182,1b=lg183
    ∴2a+bab=2b+1a=2⋅lg183+lg182
    =lg189+lg182
    =lg1818=1.
    【解析】本题考查指数与对数运算,属于基础题.
    (1)根据指数幂的运算性质以及三角函数诱导公式化简即可求解;
    (2)根据对数的运算以及换底公式即可求解.
    18.【答案】解:(1)∵A={x|(x−4)(x+2)≤0}={x|−2≤x≤4},B={x|x<−6,或x≥2},
    ∴∁UB={x|−6≤x<2},
    ∴A∩(∁UB)={x|−2≤x<2},
    所以图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|−2≤x<2};
    (2)当C=⌀时,10−a≥2a+1,即a≤3时,满足题意;
    当C≠⌀时,即a>3时,
    由题意可得10−a≥2,或2a+1≤−6,
    又a>3,∴3综上:a≤8,即a的取值范围为(−∞,8].
    【解析】本题主要考查集合的运算,含参数的集合关系的问题,属于基础题.(1)图中阴影部分表示A∩(∁UB),根据交集、补集的定义计算可得;
    (2)依题意分C=⌀与C≠⌀两种情况讨论,列出不等式求解即可.
    19.【答案】解:(1)因为−π2<α<0,所以sinα<0,csα>0
    由csα+7sinα=0,得csα=−7sinα,
    又因为sin2α+cs2α=1,所以50sin2α=1,
    sinα=− 210
    csα=7 210
    (2)因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称,
    所以β=−α+2kπ,k∈Z
    由csα+7sinα=0,得tanα=−17
    则tanβ=−tanα=17
    所以sinβ−3csβ2sinβ+csβ=tanβ−32tanβ+1=17−32×17+1=−209
    【解析】本题考查同角三角函数基本关系,三角函数值的符号特征,属于中档题.
    20.【答案】解:(1)当8≤t≤12时,
    设Y=a(4t−60t+12),
    由t=12时满载可知Y=2200,
    即 a4×12−6012+12=2200 ,
    则a=40,
    所以当8≤t≤12时,
    Y=160(t−15t+3),
    当5≤t≤8时,
    单程营业额Y=160(8−158+3)−408−t2
    =−40t2+640t−1100,
    则Y=160(t−15t+3),8≤t≤12−40t2+640t−1100,5≤t<8;
    (2)R=160(t−15t+3)⋅120t,t∈[8,12],
    化简得R=19200(−15⋅1t2+3⋅1t+1),t∈[8,12],
    令1t=u∈[112,18],
    则R=19200(−15u2+3u+1),
    当u=110,
    即t=10时,Rmax=22080.
    答;发车时间间隔为10分钟时,每辆列车的日均营业总额最大,最大值为22080元.
    【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题,考查二次函数的最值,属于中档题.
    (1)分别求得当8≤t≤12时,当5≤t≤8时的函数解析式,即可得解.
    (2)R=160(t−15t+3)⋅120t,t∈[8,12],由换元法结合二次函数的性质可得最大值.
    21.【答案】解:(1)函数的定义域为R,函数f(x)=lg3(9x+1)+kx为偶函数,
    所以f(−x)=f(x),即lg3(9−x+1)−kx=lg3(9x+1)+kx,
    2kx=lg3(9−x+1)−lg3(9x+1)=lg39−x+19x+1=−2x,
    所以k=−1;
    (2)因为函数f(x)与g(x)图象有2个不同的公共点,
    所以方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根,
    由(1)知f(x)=lg3(9x+1)−x=lg33x+13x,
    所以方程a⋅3x+a=3x+13x有两个不同的实数根,
    设t=3x>0,则at+a=t+1t,即(a−1)t2+at−1=0,
    又t=3x在R上单调递增,
    所以方程(a−1)t2+at−1=0在(0,+∞)有两个不等根;
    所以a−1≠0△=a2−4(a−1)×(−1)>0−aa−1>0−1a−1>0,解得2 2−2所以a的取值范围为(2 2−2,1).
    【解析】本题考查函数的奇偶性,方程的解,以及换元法,属于中档题.
    (1)由函数为偶函数,满足f(−x)=f(x),即可解出k值;
    (2)将两个函数图象的交点问题转化为方程的解的问题,通过换元,结合二次函数性质即可求实数a的取值范围.
    22.【答案】(1)证明:设x1,x2为区间[0,+∞)上的任意两个值,且x1因为f(x2)−f(x1)=12(ex2+e−x2)−12(ex1+e−x1)
    =12(ex2−ex1)(1−e−x2−x1),
    且ex2−ex1>0,1−e−x2−x1>0,
    所以f(x2)−f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
    故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
    (2)解:F(x)=4f2(x)−4mf(x)+9=(ex+e−x)2−2m(ex+e−x)+9,
    由(1)知,当x∈[0,lnm]时f(x)单调递增,所以f(x)∈[1,12(m+1m)],且m>1.
    设t=ex+e−x=2f(x)∈[2,m+1m],
    记G(t)=t2−2mt+9=(t−m)2+9−m2,
    ①当1只需G(t)min=G(2)=13−4m≥0即可,
    解得m≤134.
    又因为1②当m>2时,G(t)在[2,m]上递减,在[m,m+1m]上递增,
    只需G(t)min=G(m)=9−m2≥0即可,
    解得−3≤m≤3.
    又因为m>2,所以m∈(2,3].
    综上,实数m的取值范围是(1,3].
    (3)g(x)f(x)理由如下:
    gxfx−[af(x)+(1−a)]=1f(x)[g(x)−(a(f(x))2+(1−a)f(x))]
    =1f(x)[a(f(x)−(f(x))2)+(g(x)−f(x))].
    因为f(x)≥f(0)=1,所以f(x)−(f(x))2≤0;
    因为a≥0,所以故a(f(x)−(f(x))2)≤0.
    又因为g(x)−f(x)=−e−x<0,
    所以a(f(x)−(f(x))2)+(g(x)−f(x))<0,
    结合f(x)>0,可得g(x)f(x)−[af(x)+(1−a)]<0.
    故g(x)f(x)【解析】本题考查函数的单调性、指数函数的性质以及利用作差法比较大小,属于拔高题.
    (1)利用定义法进行证明即可;
    (2)设t=ex+e−x=2f(x)∈[2,m+1m],记G(t)=t2−2mt+9=(t−m)2+9−m2,结合二次函数的性质求出最值即可;
    (3)利用作差法进行证明即可.x
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    1.99
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