初中数学第十九章 一次函数19.3 课题学习 选择方案精品当堂检测题

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知晓结构体系
1夯实必备知识
考点1 一次函数的应用
1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．
2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数．
考点2 一次函数与几何综合
（1）面积问题
通常构造轴边三角形（即有一条边在坐标轴上的三角形）来求解；
（2）存在性质问题
即构成全等三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形，需要结合图形的判定来求解；
考点3 一次函数与实际问题
（1）有图象类问题
通常要结合图象求解析式，结合实际构建方程或不等式求解；
（2）无图象类问题
要结合题意求解析式，结合实际构建方程或不等式求解；
（3）方案问题
通常涉及两个相关量，根据所满足的关系式，列不等式，求解出某一个变量的取值范围，再根据另一个变量所满足的条件，即可确定有多少种方案．
（4）最值问题
（1）将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）求函数关系式，由一次函数的增减性确定最值；若为分段函数，应分类讨论，先计算出每个分段函数的最值，再进行比较，最后确定最值.
2提升学科能力
一、题点一 分配方案问题
1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米B．700千米C．800千米D．900千米
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案．
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费：，
B方案∶ 一共需要花费：，
若选择A方案，，解得：，
若选择B方案，得，
由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米，
故选：C．
2．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
【答案】A
【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，
要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，
∴客车总数为6，，
由题意可得，，
整理可得，
由题意，，
解得，
∵，
∴，
∵中，，y随x的增大而增大，
∴x取最小值时，即，y有最小值，
即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键．
3．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是 元．
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
4．某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双．
【答案】11
【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可．
【详解】解：由题意可得，
当时，，
当时，，
由上可得，与的函数关系式为；
当时，，，
∴y随x的增大而增大，
当时，取得最大值1200，
当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，取得最大值1210，
，
当时，该鞋店获利最多，
答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多．
故答案为：11．
5．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张．
【答案】 一 500 二 200
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可．
【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；
故答案为：，
（3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾．
若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张，
则有，
解得，与已知矛盾；
若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾．
故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二．
此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有，
解得，但此时，矛盾；
若采用方案二的购票超过100张，则有，
解得，此时，符合题意，
再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．
故答案为：一、500，二、200．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题．
6．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”期间两家商场都将让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中，不超过元的部分按原价付费，超过元的部分打折．

(1)以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物所付金额，分别就两家商场的让利方式求出关于的函数解析式，并画出大致图象；
(2)请结合图象直接回答，“五一”期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】(1)甲：；乙：当时，；当时，；

(2)当时，选择甲商场去购物更省钱，当时，选择甲或乙商场去购物一样省钱，当时，选择乙商场去购物更省钱
【分析】（）根据甲商场所有商品按折出售即可得出，根据乙商场对一次购物中，不超过元的部分按原价付费，超过元的部分打折即可得出，最后描点、连线即可；
（）根据两图象的交点坐标为即可解答．
【详解】（1）解：∵甲商场所有商品按折出售，表示商品原价，表示购物所付金额，
∴甲商场购物所付金额，
∵乙商场对一次购物中，不超过元的部分按原价付费，超过元的部分打折，
∴乙商场购物所付金额，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知，
当时，选择甲商场去购物更省钱，
当时，选择甲或乙商场去购物一样省钱，
当时，选择乙商场去购物更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据已知条件得出关系式是解题的关键．
7．为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元．
(1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？
(2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量．
【答案】(1)1800元
(2)70个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键．
（1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题；
（2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可
【详解】（1）设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，
由图象知点，，
代入得：，
解得：，
月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为，
当时
，
答：他该月得到的工资是1800元．
（2）解：由题意可知，当时，不满足题意；
当时，，
解得：，
所以该实习员工生产产品的件数为70件．
8．甲、乙两个绿化队共同承担两个荒地的绿化任务，在工期内，甲、乙两个绿化队分别可以绿化30万平方米和70万平方米，两个荒地需要绿化的面积分别为60万平方米与40万平方米，且两个绿化队在两个荒地完成1万平方米的绿化任务的成本如下：设甲绿化队在荒地绿化 万平方米 完成这两个荒地共需总成本万元．
(1)求与的函数关系式；
(2)是否能等于 6500万元，请说明理由；
(3)若在施工过程中，甲绿化队在 荒地绿化1万平方米的成本减小元，但仍高于甲绿化队在荒地绿化1万平方米成本，求如何分配绿化任务，使总成本最小．
【答案】(1)
(2)不能等于6500万元， 理由见解析
(3)分配方案见解析
【分析】本题考查一次函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、解一元一次方程、一次函数增减性求最值等知识，读懂题意，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，根据题意，求出表达式即可得到答案；
（2）假设，代入函数关系式，解方程得到，由即可判断；
（3）由题意，可得总成本与 荒地绿化面积的函数关系，讨论一次项系数的正负，利用一次函数增减性分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，
由题意得，
∴与的函数关系式为∶；
（2）解：不能等于6500万元，
理由如下∶
当时，， 解得，
∵，
∴不符合题意，
∴不能等于6500万元；
（3）解：由题意得，
∵，解得，
∴，
①当时，则，
∴随的增大而增大，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化10万平方米，则甲绿化队在荒地绿化20万平方米，乙绿化队在荒地绿化50万平方米，乙绿化队在 荒地绿化20万平方米；
②当时，则，
∴随的增大而减小，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化20万平方米，则甲绿化队在荒地绿化10万平方米，乙绿化队在荒地绿化40万平方米，乙绿化队在 荒地绿化30万平方米；
③当时，总成本与分配绿化任务无关，均是6200万元．
9．今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．
(1)求甲、乙两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．
【答案】(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
(2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用；
（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可
【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：
解得
答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
（2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．
由题意得：．
∴ w随m的增大而增大．
又，
∴．
∴ 当时，w有最小值为（元）．
答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
10．“六一”节将至，某校为营造一个优美的花园式学校，后勤处计划购买甲、乙两种花卉．已知购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元．
(1)求甲、乙两种花每盆分别为多少元？
(2)若购买甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍，设购买甲花盆，总费用为元，请设计出购买这盆花费用最少的购买方案．
(3)根据经验可知甲、乙两种花的成活率分别为，，而后勤处要求总成活率不小于，在（2）的条件下，要想花费最少，花的成活率能不能满足后勤处的要求？
【答案】(1)甲种花每盆为元，乙种花每盆为元
(2)购买盆甲花、盆乙花时，费用最少
(3)花的成活率能满足后勤处的要求
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意、正确列出二元一次方程组和一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，根据“购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据“甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍”，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，设计费用最少的购买方案即可；
（3）根据（2）所求费用最少的购买方案，“甲、乙两种花的成活率分别为，”，计算花的总成活率，和比较大小得出答案即可．
【详解】（1）解：设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种花每盆为元，乙种花每盆为元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，（盆），
∴购买盆甲花、盆乙花时，费用最少；
（3）解：∵由题意得：，
∴花的成活率能满足后勤处的要求，
答：花的成活率能满足后勤处的要求．
二、题点二 最大利润问题
11．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：
设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝1.6x+680B．y＝﹣1.6x+680
C．y＝﹣1.6x﹣680D．y＝﹣1.6x﹣6800
【答案】A
【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解．
【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680，
故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
12．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），
则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是：
y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键．
13．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（ ）
A．63B．59C．53D．43
【答案】D
【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解．
【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b，
将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：，
解得，
∴y＝﹣x+180，
将x＝137代入可得y＝43，
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式．
14．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（ ）
A．与之间的函数关系式为
B．当售价为72元时，月销售利润为7296元
C．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元
D．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元
【答案】C
【分析】根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项A；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项B；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项C；再根据二次函数的性质，即可判断选项D，综合即可得出答案．
【详解】解：∵月销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，
∴设与之间的函数关系式为，
将、代入，
可得：，
解得：，
∴与之间的函数关系式为，故选项A正确；
当时，，
∴月销售利润为：（元），故选项B正确；
设月销售利润为，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故选项C错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故选项D正确．
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的性质，解本题的关键在理解题意，正确得出函数解析式．
15．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．

【答案】
【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．
【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件，
由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元，
所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元；
设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，
把代入得，
解得，
∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，
将点代人，
解得，
所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，
当时，，
将时，
∴此时日销售利润为（元）．
故答案为：，．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．
16．某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元．
(1)求一件A，B商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示：
B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
【答案】(1)160元，150元
(2)最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进230件
【分析】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件，建立不等式组，运用一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用，方案设计问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品件，
由题意：，
解得，，
由表中数据可知，商品A的售价y与销量m是一次函数关系，可设为，
代入两组数据得：，
解得，
，
设总利润为w元，根据题意得，，
，
当时，w随m的增大而减小，
，
当时，w有最大值为，
答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进货230件．
17．某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
(2)若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】(1)600元，1000元
(2)购买A种型号帐篷15顶，购买B种型号帐篷5顶，总费用最低，最低总费用为14000元
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用：
（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）解：设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷顶，
∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，
∴，解得，
根据题意得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，
此时，
∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．
18．某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示：
已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同．
(1)求的值；
(2)该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润．
【答案】(1)
(2)该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，得出需要的函数关系式．
（1）利用数量总价单价，结合该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购进件玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，利用总利润每件玩具的销售利润购进玩具的数量每件玩具的销售利润购进玩具的数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
（2）解：设购进件玩具数量，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值（元）．
答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元．
19．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的销售单价（元/件）与年销售量（万/件）之间的函数图象是如图所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为万元．（毛利润销售额生产费用）
(1)求出与以及与之间的函数关系式；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过万元，求今年可获得最大毛利润．
【答案】(1)，；
(2)与之间的函数关系式为；
(3)今年最多可获得毛利润万元．
【分析】（）利用待定系数法可求出与以及与之间的函数关系式；
（）根据（）的表达式及毛利润销售额生产费用，可得出与之间的函数关系式；
（）首先求出的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可；
本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）图可得函数经过点
设抛物线的解析式为，将点代入得：，
解得：，
故与之间的关系式为，
图可得：函数经过点、，
设，则，
解得：，
故与之间的关系式为；
（2）
，
，
∴与之间的函数关系式为；
（3）令得，
解得：（负值舍去），
由图象可知，当时，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：今年最多可获得毛利润万元．
20．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒．
(1)当时，P等于______；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？
【答案】(1)400；
(2)当时，取最大值，最大值为8750元；
(3)小红错误，理由见详解．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可；
（2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案；
（3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是，
当时，，
故答案为：400．
（2）解：由题意可得，
，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
，
即，解得．
当时，取得最大值，此时，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元；
（3）解：小强：，
设日销售额为元，
，
当时，值最大，此时，
当时，值最大，此时，
小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即，
，解得：，
，
当日销售利润不低于8000元时，．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，．
三、题点三 行程问题
21．“夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动，某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中，骑行的距离h（千米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键，根据公式“路程速度时间”，由“夜骑”爱好者匀速骑行，得到这是一个正比例函数，由正比例函数图象的性质即可得．
【详解】解：设“夜骑”爱好者匀速骑行的速度为k，
由题意可得：
这是一个正比例函数，根据正比例函数图象的性质即可知只有A选项符合题意，
故选：A．
22．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题关键，两人之间的距离时两人相遇，从图象得到A、B两地相距2800米，再从图像得到第二次相遇耗时为60分钟，即可求出第一次相遇的时间c，再根据第一个拐点出现时亮亮到达A地，可求出两人的速度，即可求得a，在时，两人相向而行，最后一段两人相对而行，即可求出b和d，即可得到答案．
【详解】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，
第二次相遇两人共走了米，
且二者速度不变，
∴（分）．
故C选项不符合题意；
∵时，出现拐点，
∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为（米/分），
两人的速度和为（米/分），
明明的速度为（米/分），
∴（米）；
故A选项不符合题意；
第三个拐点处应为明明到达B地，
此时所用时间为（分），
故D选项不符合题意；
此时（米），
故B选项符合题意；
故选：B．
23．某校增设了多种体育选修课来锻炼学生的体能，小颖从教学楼以1米秒的速度步行去操场上乒乓球课，她从教学楼出发的同时小华从操场以5米秒的速度跑步回教学楼拿球拍，再立刻以原速度返回操场上乒乓球课．已知小颖、小华之间的距离（米与出发时间（秒的部分函数图象，则下列说法错误的是（ ）
A．点对应的横坐标表示小华从操场到教学楼所用的时间
B．时两人相距120米
C．小颖、小华在75秒时第二次相遇
D．段的函数解析式为
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用．弄清两人的运动过程，是正确解答本题的关键．小颖、小华分别同时从教学楼和操场相向出发，两人之间的距离一直在缩短，在点处第一次相遇；第一次相遇后，两个继续相向而行，两人之间的距离逐渐增大，在点时小华到达教学楼；之后，小华开始返回，两人变为同向而行，两人之间的距离开始缩短，在点时两人第二次相遇．根据两人的运动过程，逐个选项分析判断即可．
【详解】解：由题意可知，两人在点处第一次相遇，在点处小华到达教学楼．
故A正确，不符合题意．
设所在的直线解析式为．将和代入，
得，解得．
所在的直线解析式为．
当时，．
故B正确，不符合题意．
设小颖、小华在秒时第二次相遇，
根据题意，得，解得．
故C正确，不符合题意．
当时，小华到达教学楼，此时两人距离为（米，
点的坐标为．
由选项可知，小颖、小华在点处第二次相遇，此时．
点的坐标为．
设段的函数解析式为．将和代入，
得，解得．
．
故D错误，符合题意．
故选：D．
24．在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分．
【答案】12或
【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得．
【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为，
当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）；
如图，，，
设的解析式为：，
则，
解得，
的解析式为：，
当时，，解得，
即小明返回离家时，他离开家所用的时间是．
综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或．
故答案为：12或．
25．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发．设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，、与x的函数关系图像如图①，s与x的函数关系图像如图②，则下列判断：
（1）图①中；（2）当时，两车相遇；（3）当时，两车相距；（4）图②中C点坐标为．其中正确的有 （请写出所有正确判断的序号）．
【答案】（1）（2）/
【分析】（1）根据s与x之间的函数关系可得，当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，此时快车到站，因此；
（2）根据相遇可知，列方程求解可得；
（3）分两种情况讨论，相遇前和相遇后两车相距，是相遇前的时间；
（4）由图像先确定C点横坐标，进而可得C点的坐标．
【详解】（1）由s与x之间的函数图像可知，过C点后，两车之间的距离增加变缓，由此可以得到，故（1）正确．
（2）设，将，代入，得，解得，
．
设，将点代入，得，解得，
解析式为．
当时，两车相遇，可得，
解得，故（2）正确．
（3）当时，因为，所以两车相距，
当时，两车相距，故（3）错误．
（4）由函数的图像可以得到点C的横坐标为3，即快车到达乙地，此时慢车所走的路程为，
点坐标为，故（4）错误．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的解法，一次函数解析式的求法，根据待定系数法求一次函数解析式．根据图像准确获取信息是解题的关键，易错点是会忽略分情况讨论．
26．五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求出段图象的函数表达式；
(2)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键；
（1）设段图象的函数表达式为，再建立方程组解题即可；
（2）把代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设段图象的函数表达式为
把、代入，得
解得
所以段图象的函数表达式为
（2）当时，他们离家的距离，
此时，离目的地的距离是；
27．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．

(1)图中t的值为 ；
(2)求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式；
(3)直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值．
【答案】(1)1．
(2)．
(3)或
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
（1）求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得；
（2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入可得；
（3）根据甲乙两人相距列方程求值即可．
【详解】（1）由图象可得，乙的速度为（千米时），
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
，
故答案为：1；
（2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，
把，代入得：
，
解得，
甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为；
（3）乙的速度为15千米小时，
乙骑行过程中，关于的函数解析式为，
甲、乙两人相遇前后相距，
则，
解得或
所以当或时，甲乙两人相距．
故答案为：或
28．甲乙两地相距千米，下图中的折线表示小丽骑自行车时，离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的关系．一辆客车时从乙地出发，以千米/小时的速度匀速行驶，并于甲乙两地之间往返（乘客上下车的停留时间忽略不计）．请结合图像解答下列问题：
(1)小丽一共休息 次，共休息了 小时；
(2)请在图中画出时至时之间客车与甲地的距离（千米）随时间（时）变化的图像；
(3)在 时，小丽与客车同时位于 地（填“甲”或“乙”），除此之外的行进过程中，有 次是小丽与客车迎面相遇．
【答案】(1)，
(2)图像见解析
(3)；乙；
【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）观察图像直接作答即可；
（2）根据甲乙两地的距离和客车的速度，利用“时间=路程÷速度”计算出客车往返于甲乙两地单程需要的时间，由客车匀速行驶可知，客车与甲地的距离是时间的一次函数，由此作图即可；
（3）根据两图像在轴上的交点或在直线上的交点作答即可；标出客车从乙地开往甲地的图像，根据这部分图像与小丽的图像的交点并除去前空的交点作答即可；
理解题意并掌握路程、速度、时间三者之间的数量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：小丽一共休息了次，
第一次休息的时间（小时），
第二次休息的时间：（小时），
∴共休息：（小时）．
故答案为：；．
（2）由图像可知，甲乙两地相距千米，
又∵客车时从乙地出发，以千米/小时的速度匀速行驶，
∴客车往返于甲乙两地单程需要的时间为：（小时），
∵客车匀速行驶，
∴客车与甲地的距离是时间的一次函数，
∴时至时之间客车与甲地的距离随时间变化的图像如图所示：
（3）如上图，在点处，即在时，小丽与客车同时位于乙地，
线段、、客车从乙地开往甲地，线段客车从甲地开往乙地，在行进过程中除点之外，小丽与客车分别于点、和处次迎面相遇．
故答案为：；乙；．
29．、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系．
(1)求所在直线的函数表达式．
(2)当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握一次函数图象的性质，行程问题中的数量关系是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，把代入（1）中解析式即可求解．
【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，
直线过点，，
，
解得，
所在直线的表达式为；
（2）解：当时，，（米），
答：此时乙机器人行走的距离为米．
30．每年的12月2日为“全国交通安全日”，考虑将数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣传，遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数（如图1）和一次函数（如图2）表示．
(1)直接写出s关于t的函数表达式和v关于t的函数表达式．（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】(1)，；
(2)它行驶的路程是；
(3)4秒时，两车相距最近，最近距离是．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图象，求出表达式是解题的基本前提．
（1）根据图象，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可；
（2）把代入一次函数解析式求出t，再把t的值代入二次函数解析式求出s即可；
（3）分析得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】（1）由图可知，二次函数的图象经过原点．
设二次函数的表达式为，一次函数的表达式为．
二次函数经过点，
解得
二次函数表达式为，
一次函数经过点，
解得
一次函数的表达式为．
（2），
∴当时，，解得．
，
∴当时，，
∴当甲车减速至时，它行驶的路程是．
（3）当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变小；
当时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当时，两车之间的距离最小．
将代入，得；
将代入，得，
此时两车之间的距离为．
答：4秒时，两车相距最近，最近距离是．
四、题点四 几何问题
31．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（ ）
A．35B．30C．28D．24
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的面积，明确线段扫过的面积为平行四边形的面积是解决此题的关键；根据题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积，先利用勾股定理求出，再根据平移的性质得到即点的纵坐标为4，进而求出其横坐标为5，得到，从而得到，即可求出平行四边形面积得到答案；
【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积，
点A、B的坐标分别为、，
，
，
在直线上，
解得：，
，
线段扫过的面积为24，
故选：D．
32．如图，在中，，，，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线做匀速运动，点N与点B重合时停止运动．设点N的运动时间为x秒，的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数图象与图形面积的结合，掌握动点的运动于图形面积的计算方法，函数图象的性质即可求解．
根据题意，当点N在初始位置时，；当点N在AC上时，；当N在AB上时，；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，当点N在初始位置时，过点A作于点P，
，，，
，，
，
；
如图所示，当点N在上时，，过点M作于点P，则是等腰直角三角形，
，，，
，
，
；
此时图像是一条线段；
如图3，当N在上时，过点M作于P，，
∴，，
，
此时图像是一条线段．
综合之，函数的图像是B；
故选：B．
33．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点的运算，可得，，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理的运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，
∴，
当点与点重合时，
，
∴，
∴，
当点与点重合时，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，或，
∴或，负值舍去，
当时，，不符合题意（），
∴，
∴，
故选： ．
34．如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，设，，证得出则，进而可得点在上运动，根据，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：设，，
如图所示，过点作轴于点，
∵且，
又
∴，
∴
∴，，
∴
∵是的中点，
∴
∴点在上运动，
当时，，
当时，
∴点运动的距离为
故答案为：．
35．含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点 …，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题．
【详解】解：过点作轴于点，
∵含角的菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
同理可得出：，则，
则点的坐标是：，
∴点的坐标是：．
故答案为：．
36．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为．
(1) ______；
(2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围；
(3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】(1)5
(2)时，；时，；
(3)时，；时，
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
（3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可；
【详解】（1）解：在中，，，，
；
故答案为：．
（2）解：当点P在上，
（秒）
时，；
当点P在上，
（秒）
时，；
（3）解：设点C到直线的距离为h，
，
，
当时，
，
；
当时，
，，
．
37．综合运用
如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B， 点C、D分别在直线、x轴负半轴上运动，且始终满足．连接， 交y轴于点E，以为斜边构造等腰直角三角形，， 且点C、D、F 按顺时针方向排列， 连接、． 点C的横坐标为m（）．

(1)分别求、的长．
(2)若点C在线段上， 当是直角三角形时，求点C的坐标．
(3)设的面积为S， 求S关于m的表达式．
【答案】(1)，
(2)当是直角三角形时，点的坐标为或
(3)当时，；当时，．
【分析】（1）根据题意求得，，进而可求解；
（2）过点分别作轴，轴，由题意得，则，
由，得，，可知，，再证，可知，进而得，，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可；
（3）过点分别作轴，轴，根据等腰直角三角形的性质可知，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
∴，，
∴，；
（2）过点分别作轴，轴，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，，
∴，，
①当时，则是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，即：，
亦即：，
解得：（舍去），，
∴；
②当时，则是直角三角形，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，，
∴，解得：，
∴；
③当时，
∵，相互矛盾，
∴不存在这种情况；
综上：当是直角三角形时，点的坐标为或；
（3）过点分别作轴，轴，
∵等腰直角三角形，，则，
∴，
∴，
①当时，，，

在中，
，
∵，
∴，
∴；
②当时，，，

在中，
，
同理，
∴；
③当时，，，

在中，
，
∵，即：，
∴，
∴，
综上：当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，图形与坐标，动点问题，利用数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是直线上位于第二象限内的一个动点，过点P作垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．

(1)当时：
①求直线相应的函数表达式；
②当时，求点P的坐标；
(2)是否同时存在a、b，使得是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①直线解析式为；②
(2)或，
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
（1）①由题意确定出B坐标，设直线解析式为，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可求出解析式；②由以及的长，确定出Q纵坐标，根据P与Q关于y轴对称，得出P纵坐标，代入直线解析式求出纵坐标，即可确定出P坐标；
（2）同时存在a、b，使得是等腰直角三角形，分两种情况考虑：①若；②若，分别求出a与b的值即可．
【详解】（1）解：①当时，，
由，
设直线解析式为，
把A与B坐标代入得：
，
解得：，
则直线解析式为 ，
②∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵点P关于y轴的对称点为Q，
∴，
代入直线解析式，
得，
解得
则P坐标得；
（2）①若，如图1所示，
∴Q点的横坐标为，
∴P点的横坐标为，
∴，
∴
即，
设直线的解析式为 ，
将代入得 ，
解得
∴直线解析式为，
∴；
②如图2，若且时，过点Q作轴于点H，
∴，
∴P点的横坐标为a，
∴Q点的横坐标为，
Q的横坐标 ，解得 ，
Q的纵坐标
∴ ， ，
设直线的解析式为 ，
将，代入得
解得
∴直线解析式为，
∴，
∴，，
综上所示，∴；或，．
39．如图．直线经过，
(1)求直线的解析式；
(2)直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．
（1）设直线解析式为，由于直线经过，，将两点坐标代入即可求解；
（2）联立直线与直线的解析式，求出点坐标，再根据直线的解析式求出点坐标，利用三角形面积公式即可求解；
【详解】（1）设直线解析式为，由于直线经过，

解得：，
所以的解析式为：
（2） 直线的解析式为与直线交于点D，
联立：，
解得

令得，

．
40．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、．
(1)求的长；
(2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的坐标是或
(3)的坐标是或
【分析】本题考查了一次函数条件下的平行四边形和正方形的存在性，熟练掌握一线三直角是解题的关键．
（1）过点作轴，垂足为，根据直线的解析式求出点的坐标，再求出，最后根据勾股定理即可求解；
（2）画出图像，分为点在直线的上方和下方两种情况讨论；
（3）分为两种情况讨论，利用一线三直角证明三角形全等，求出点、的坐标，再利用平移的性质得到点的坐标．
【详解】（1）如图1，过点作轴，垂足为，则，
（图1）
对于一次函数，
当时，，，
当时，，，
，
；
（2）如图2，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
（图2）且，
，
或，
点的坐标是或；
（3）分两种情形：
①如图3，过点作于，则，
（图3）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
点的坐标是，
将代入得：，
点的坐标是，
点的坐标是，
由平移可得点的坐标是；
②如图4，过点作轴于．
（图4）四边形是正方形，
，，
，
，．
设，则，
则，
点的坐标是，
，
，
点的坐标是，
点的坐标是，
由平移可得点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或．
五、单选题
六、填空题
七、解答题
明确学习目标
课标要求
熟悉理解一次函数几种常见的实际应用问题思路方法；能应用一次函数图像性质解决实际问题
重点难点
熟悉理解一次函数几种常见的实际应用问题思路方法；能应用一次函数图像性质解决实际问题
甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金（单位：元/辆）
400
280
荒地完成1万平方米绿化的成本
荒地完成1万平方米绿化的成本
甲绿化队
90万元
70万元
乙绿化队
60万元
50万元
甲（元/个）
乙（元/个）
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.6
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
售价（元/千克）
50
60
70
80
…
销售量（千克）
250
240
230
220
…
A型商品的销量（件）
0
5
10
15
20
…
A型商品的售价（元/件）
240
230
220
210
200
…
进价元件
售价元件